AP Calculus BCAP Calculus AB

định lý giá trị cực biênextreme value theorem

extreme value theoremVietnamese: định lý giá trị cực biên

Định lý giá trị cực biên (extreme value theorem) là định lý khẳng định hàm liên tục trên đoạn đóng luôn đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.The extreme value theorem states that a function continuous on a closed interval always attains both a maximum and a minimum value on that interval.

Trực giác: Đi trên con đường liền mạch, có điểm đầu và điểm cuối. Nhất định có một chỗ cao nhất và một chỗ thấp nhất trên đoạn đường đó.Intuition: Imagine walking along an unbroken path with a starting point and an ending point. Somewhere along it there must be a highest spot and a lowest spot.

Công thức chínhKey formula

f(d)\le f(x)\le f(c),\quad \forall x\in[a,b]

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Nếu hàm $f$ liên tục trên đoạn $[a,b]$ thì có $c,d\in[a,b]$ sao cho $f(d)\le f(x)\le f(c)$ với mọi $x\in[a,b]$ . Khi đó $f(c)$ là giá trị lớn nhất, $f(d)$ là giá trị nhỏ nhất. Với $f(x)=x^2$ trên $[-1,2]$ : nhỏ nhất là $0$ tại $d=0$ , lớn nhất là $4$ tại $c=2$ .

Thiếu liên tục hoặc thiếu đoạn $[a,b]$ thì có thể không có giá trị lớn nhất. Ví dụ $f(x)=\frac1x$ liên tục trên $(0,1)$ nhưng $f(x)$ lớn tùy ý khi $x$ gần $0$ . Định lý chỉ nói các giá trị này tồn tại, không nói ở đâu. Chúng nằm ở đầu mút hoặc điểm tới hạn trong $(a,b)$ (đạo hàm bằng $0$ hoặc không tồn tại).

The extreme value theorem says that if $f$ is continuous on $[a,b]$ , then there exist $c,d\in[a,b]$ such that $f(d)\le f(x)\le f(c)$ for all $x\in[a,b]$ . Thus $f(c)$ is the maximum value and $f(d)$ is the minimum value. For example, for $f(x)=x^2$ on $[-1,2]$ , the minimum is $0$ at $d=0$ and the maximum is $4$ at $c=2$ .

If continuity fails or the interval is not of the form $[a,b]$ , a maximum may not exist. For instance, $f(x)=\frac1x$ is continuous on $(0,1)$ , but $f(x)$ becomes arbitrarily large as $x$ approaches $0$ . The theorem only guarantees that these values exist; it does not say where they occur. They occur either at an endpoint or at a critical point in $(a,b)$ , where the derivative equals $0$ or does not exist.

Ký hiệuNotation

• $f$ liên tục trên $[a,b]$ ⇒ tồn tại $c,d\in[a,b]$ với $f(d)\le f(x)\le f(c)$ mọi $x\in[a,b]$
• $f(c)$ là giá trị lớn nhất, $f(d)$ là giá trị nhỏ nhất.

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{f(d)}\le \htmlClass{fp-1}{f(x)}\le \htmlClass{fp-2}{f(c)},\quad \htmlClass{fp-3}{\forall x\in[a,b]}

Dùng khi $f$ liên tục trên $[a,b]$ , để chắc cực trị tồn tại trước khi tìm chúng ở đầu mút và điểm tới hạn.Use this when $f$ is continuous on $[a,b]$ to confirm that extreme values exist before you look for them at the endpoints and critical points.

Trong đóWhere

f

hàm số liên tục trên đoạn

[a,b]

[a,b]

đoạn đóng hữu hạn, gồm cả hai đầu mút

a

và

b

c

một điểm trong

[a,b]

tại đó

f

đạt giá trị lớn nhất

f(c)

; có thể trùng với đầu mút

d

một điểm trong

[a,b]

tại đó

f

đạt giá trị nhỏ nhất

f(d)

; có thể trùng với đầu mút

x

điểm bất kỳ thuộc

[a,b]

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Liên tục trên miền xác định chưa đủ để dùng định lý.

Hàm $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}$ liên tục trên $[0,+\infty)$ nhưng $f(x)$ lớn tùy ý khi $x$ lớn dần, nên không có giá trị lớn nhất. Không mâu thuẫn, vì $[0,+\infty)$ không phải đoạn $[a,b]$ hữu hạn.

Định lý chỉ bảo đảm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tồn tại, không cho biết ở đâu.

Muốn có giá trị cụ thể, vẫn phải xét các điểm tới hạn và hai đầu mút.

Định lý không áp dụng được thì chưa kết luận được là không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.

Định lý chỉ là điều kiện đủ. Ví dụ $f(x)=x^2$ trên $(-1,1)$ không phải đoạn đóng nhưng vẫn có giá trị nhỏ nhất $0$ . Khi thiếu điều kiện, chỉ nói định lý không bảo đảm.

Continuity on the domain alone is not enough to apply the theorem.

The function $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}$ is continuous on $[0,+\infty)$ , but $f(x)$ grows arbitrarily large as $x$ increases, so it has no maximum. This does not contradict the theorem, because $[0,+\infty)$ is not a bounded closed interval $[a,b]$ .

The theorem guarantees only that a maximum and minimum exist, not where they occur.

To find their actual values, you still have to check the critical points and both endpoints.

If the theorem does not apply, you cannot conclude that no maximum or minimum exists.

The theorem gives a sufficient condition only. For example, $f(x)=x^2$ on $(-1,1)$ is not a closed interval, yet it still has a minimum value of $0$ . When a hypothesis fails, say only that the theorem does not guarantee extreme values.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Nêu đúng điều kiện của định lý bị vi phạm.

Với câu 'vì sao không mâu thuẫn' trên $[0,+\infty)$ , hãy viết: khoảng này không bị chặn, không phải đoạn $[a,b]$ . Đừng viết 'hàm không liên tục' khi hàm thực ra liên tục.

Viết câu viện dẫn định lý trước khi so sánh giá trị.

Ghi: « $f$ liên tục trên $[a,b]$ nên có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất». Rồi so sánh $f$ tại điểm tới hạn và hai đầu mút. Thiếu câu này có thể mất điểm dù đáp số đúng.

State exactly which hypothesis of the theorem fails.

To explain why there is no contradiction on $[0,+\infty)$ , write that the interval is unbounded and not of the form $[a,b]$ . Do not write that the function is not continuous when it actually is.

Cite the theorem before comparing values.

Write: " $f$ is continuous on $[a,b]$ , so it has a maximum and a minimum." Then compare $f$ at the critical points and the two endpoints. Omitting this statement can cost you points even if your final answer is correct.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

thập niên 1830 (Bolzano); 1861 (Weierstrass)Bernard BolzanoKarl Weierstrass

Bolzano chứng minh vào thập niên 1830 (công bố năm 1930); Weierstrass chứng minh năm 1861, để khẳng định khi nào hàm chắc chắn có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Bolzano proved it in the 1830s (published in 1930), and Weierstrass proved it in 1861, to establish when a function is certain to have a maximum and a minimum value.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi nhắc đến giá trị cực biên, tức giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, vì định lý đảm bảo cả hai giá trị này đều tồn tại. Định lý còn được gọi là định lý giá trị cực biên Weierstrass (Weierstrass extreme value theorem), gắn với tên Weierstrass vì ông phát biểu nó cho hàm liên tục trên không gian compact (compact space) và có chứng minh năm 1861. Chứng minh của Bolzano, vốn có trước, dựa vào kết quả ngày nay gọi là định lý Bolzano–Weierstrass (Bolzano–Weierstrass theorem), nên tên hai nhà toán học này gắn với nhau trong cả hai định lý. Các nguồn đã đọc không giải thích thêm về nguồn gốc chữ "extreme" trong tên gọi.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhép thử ứng viên tìm cực trị tuyệt đốiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhép thử ứng viên tìm cực trị tuyệt đốiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstgiá trị lớn nhất của hàm sốabsolute maximum

Dẫn tớiLeads tophương pháp xét điểm ứng viêncandidates test bài toán tối ưuoptimization problem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

cực trị toàn cụcabsolute extremum

Khác nhau ở đâuHow they differĐịnh lý giá trị cực biên là một khẳng định về sự tồn tại, có giả thiết liên tục trên đoạn đóng. Cực trị toàn cục là chính giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất mà định lý nói tới.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi vì sao hàm có giá trị lớn nhất trên

[a,b]

thì phải nêu định lý và kiểm tra tính liên tục, không chỉ tính ra giá trị.

định lý giá trị trung gianintermediate value theorem

Khác nhau ở đâuHow they differĐịnh lý giá trị cực biên cho biết hàm đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn. Định lý giá trị trung gian cho biết hàm nhận mọi giá trị nằm giữa hai giá trị đã biết.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề yêu cầu chứng minh phương trình

f(x)=k

có nghiệm thì dùng định lý giá trị trung gian, không dùng định lý giá trị cực biên.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 310, 319–320.