DucklingStudyDucklingStudy
Đăng nhậpSign in

AP Calculus BCAP Calculus AB

cực đạilocal maximum

local maximumVietnamese: cực đại

Còn gọi:Also called: relative maximum

Cực đại (local maximum) là giá trị của hàm số tại một điểm mà quanh điểm đó không có giá trị nào của hàm lớn hơn nó, giống đỉnh của một đoạn đồ thị.A local maximum is the value of a function at a point where no nearby input gives a larger value, like the peak of one section of a graph.

Trực giác: Cực đại giống đỉnh một ngọn đồi nhỏ: đứng trên đỉnh, quanh mình không chỗ nào cao hơn, dù ở xa vẫn có thể có ngọn núi cao hơn.Intuition: A local maximum is like the top of a small hill: standing on the summit, nothing around you is higher, even though a taller mountain may exist farther away.

Công thức chínhKey formula

f(c)≥f(x)∀x∈If(c)\ge f(x)\quad \forall x\in I
Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm ff có cực đại tại cc khi có khoảng mở II chứa cc sao cho f(c)≥f(x)f(c)\ge f(x) với mọi xx thuộc II. Với f(x)=4−(x−2)2f(x)=4-(x-2)^2 ta có f(x)≤4=f(2)f(x)\le 4=f(2), nên ff có cực đại tại 22. Cực đại chỉ so với các điểm gần cc. Nên hàm có thể có nhiều cực đại, và cực đại chưa chắc là giá trị lớn nhất.

Nếu ff có cực đại (hoặc cực tiểu) tại cc và f′(c)f'(c) tồn tại thì f′(c)=0f'(c)=0 (định lý Fermat). Điều ngược lại không đúng: f′(c)=0f'(c)=0 chưa chắc có cực trị. Giả sử ff liên tục tại cc. Nếu f′f' đổi dấu từ dương sang âm tại cc thì ff có cực đại. Đổi dấu ngược lại thì có cực tiểu.

A function ff has a local maximum at cc if there is an open interval II containing cc such that f(c)≥f(x)f(c)\ge f(x) for all xx in II. For f(x)=4−(x−2)2f(x)=4-(x-2)^2, we have f(x)≤4=f(2)f(x)\le 4=f(2), so ff has a local maximum at 22. A local maximum is compared only with points near cc, so a function can have several local maxima, and a local maximum is not necessarily the absolute maximum.

If ff has a local maximum (or local minimum) at cc and f′(c)f'(c) exists, then f′(c)=0f'(c)=0 (Fermat's theorem). The converse is false: f′(c)=0f'(c)=0 does not guarantee a local extremum. Suppose ff is continuous at cc. If f′f' changes sign from positive to negative at cc, then ff has a local maximum there. If f′f' changes sign from negative to positive, ff has a local minimum.

Ký hiệuNotation
  • •f(c)f(c) là giá trị cực đại tại x=cx=c
  • •điều kiện f′(x)>0f'(x)>0 rồi f′(x)<0f'(x)<0 khi xx đi qua cc cho biết dấu của f′f' đổi từ dương sang âm.
Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas
f(c)≥f(x)∀x∈I\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{f(c)}\ge \htmlClass{fp-1}{f(x)}}\quad \htmlClass{fp-3}{\forall x\in I}

Dùng khi cần kiểm tra theo định nghĩa: f(c)f(c) không nhỏ hơn mọi giá trị f(x)f(x) trong một khoảng mở quanh cc.Use this to check the definition directly: f(c)f(c) is no smaller than every value f(x)f(x) in an open interval around cc.

Trong đóWhere

ccđiểm tại đó hàm đạt cực đạiIIkhoảng mở chứa cc, đủ nhỏ để f(c)f(c) là giá trị lớn nhất trong khoảng đóf(c)f(c)giá trị cực đại của hàmxxđiểm bất kỳ trong khoảng II
f′(x)>0 (x<c),f′(x)<0 (x>c)\htmlClass{fp-0}{f'(x)>0\ (x<c)},\qquad \htmlClass{fp-1}{f'(x)<0\ (x>c)}

Dùng với điểm tới hạn cc để nhận ra cực đại: f′f' đổi dấu từ dương sang âm tại cc; chiều ngược lại là cực tiểu.Use this at a critical point cc to identify a local maximum: f′f' changes from positive to negative at cc; the reverse change indicates a local minimum.

Trong đóWhere

f′(x)f'(x)đạo hàm của ff tại xx, cho biết hàm đồng biến hay nghịch biếnccsố tới hạn của ff, tức điểm ứng viên để có cực trị
Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

f′(c)=0f'(c)=0 chưa chắc cho cực đại.

Đó mới là điểm tới hạn, tức chỉ là ứng viên. Chẳng hạn f(x)=x3f(x)=x^3 có f′(0)=0f'(0)=0 nhưng f′f' không đổi dấu nên không có cực trị. Phải xét dấu f′f' hai phía.

Cực đại ứng với f′f' đổi dấu từ dương sang âm, không phải từ âm sang dương.

Hàm phải tăng rồi giảm mới tạo đỉnh. Đổi dấu từ âm sang dương cho cực tiểu.

Cực đại không nhất thiết là giá trị lớn nhất của hàm.

Định nghĩa chỉ so sánh gần cc, nên nơi khác hàm vẫn có thể lớn hơn. Muốn tìm giá trị lớn nhất của hàm liên tục trên [a,b][a,b], hãy so sánh các cực đại với giá trị tại hai đầu mút.

f′(c)=0f'(c)=0 does not guarantee a local maximum.

It only identifies a critical point, which is merely a candidate. For example, f(x)=x3f(x)=x^3 has f′(0)=0f'(0)=0, but f′f' does not change sign, so there is no extremum; you must check the sign of f′f' on both sides.

A local maximum occurs where f′f' changes from positive to negative, not from negative to positive.

The function must increase and then decrease to form a peak. A sign change from negative to positive gives a local minimum.

A local maximum is not necessarily the absolute maximum of the function.

The definition compares values only near cc, so the function may be larger elsewhere. To find the absolute maximum of a continuous function on [a,b][a,b], compare the local maxima with the values at the two endpoints.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Trong câu tự luận, phải nêu rõ f′f' đổi dấu từ dương sang âm tại x=cx=c.

Chỉ ghi "f′(c)=0f'(c)=0 nên có cực đại" là không đủ. Hãy viết đủ điểm cc, chiều đổi dấu của f′f' và kết luận về ff.

Đầu mút của đoạn không là cực đại.

Định nghĩa cần một khoảng mở quanh cc. Khi tìm cực đại trên [a,b][a,b], chỉ xét dấu f′f' ở các điểm bên trong. Nhưng tìm giá trị lớn nhất thì vẫn phải xét hai đầu mút.

On a free-response question, state explicitly that f′f' changes from positive to negative at x=cx=c.

Writing only "f′(c)=0f'(c)=0, so there is a local maximum" is not sufficient. Give the point cc, the direction of the sign change of f′f', and the conclusion about ff.

An endpoint of an interval is not a local maximum.

The definition requires an open interval around cc. When finding local maxima on [a,b][a,b], check the sign of f′f' only at interior points, but when finding the absolute maximum, you must still evaluate both endpoints.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common
Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common
Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat nhận ra bài toán tìm cực đại, cực tiểu quy về tìm chỗ tiếp tuyến nằm ngang, trước giải tích của Newton và Leibniz cuối thế kỷ 17.
Pierre de Fermat recognized that finding maxima and minima reduces to finding where the tangent line is horizontal, before Newton and Leibniz developed calculus in the late 17th century.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc nhất tìm cực trị địa phươngỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc nhất tìm cực trị địa phươngỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB
Cần trướcLearn firstđiểm tới hạn của hàm sốcritical point
Dẫn tớiLeads totiêu chuẩn đạo hàm cấp mộtfirst derivative testtiêu chuẩn đạo hàm cấp haisecond derivative test
Liên quanRelatedđạo hàmderivativecực tiểulocal minimumgiá trị lớn nhất của hàm sốabsolute maximum
Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

giá trị lớn nhất của hàm sốabsolute maximum
Khác nhau ở đâuHow they differCực đại là giá trị lớn nhất của hàm số trong một khoảng nhỏ quanh điểm đang xét. Giá trị lớn nhất là giá trị cao nhất trên cả đoạn hoặc cả tập xác định đang xét.
Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho đoạn [a,b][a,b] và hỏi giá trị lớn nhất: học sinh chỉ tìm cực đại mà quên so sánh với f(a)f(a) và f(b)f(b) ở hai đầu mút.
cực tiểulocal minimum
Khác nhau ở đâuHow they differCực đại là điểm đồ thị cao hơn các điểm lân cận, nơi f′f' đổi dấu từ dương sang âm. Cực tiểu là điểm thấp hơn các điểm lân cận, nơi f′f' đổi dấu từ âm sang dương.
Hay nhầm khiMixed up whenKhi dùng đạo hàm cấp hai, học sinh hay lẫn dấu: f′′(c)<0f''(c)<0 cho cực đại còn f′′(c)>0f''(c)>0 cho cực tiểu.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

  1. [1]Stewart. tr. 326–327, 329.

Biên soạn bởi DucklingStudy, bản quyền thuộc DucklingStudy.Written by DucklingStudy. © DucklingStudy. Xuất bảnPublished .