DucklingStudyDucklingStudy
Đăng nhậpSign in

AP Calculus BCAP Calculus AB

định lý RolleRolle’s theorem

Rolle’s theoremVietnamese: định lý Rolle

Định lý Rolle (Rolle’s theorem) là kết quả nói hàm liên tục trên đoạn, có đạo hàm bên trong, cùng giá trị hai đầu mút thì có điểm đạo hàm bằng không.Rolle’s theorem states that if a function is continuous on a closed interval, differentiable on the open interval, and takes equal values at both endpoints, then its derivative equals zero at some point inside the interval.

Trực giác: Bạn đi trên đường đồi mượt, không gãy, rồi dừng ở đúng độ cao lúc xuất phát. Giữa đường chắc chắn có lúc mặt đường nằm ngang: ở đỉnh đồi hoặc đáy thung lũng.Intuition: Imagine walking along a smooth, unbroken hilly road and stopping at exactly the same elevation where you started. Somewhere along the way the road must be level, at the top of a hill or the bottom of a valley.

Công thức chínhKey formula

f continuous on [a,b], f differentiable on (a,b), f(a)=f(b)  ⟹  ∃ c∈(a,b), f′(c)=0f \text{ continuous on } [a,b],\ f \text{ differentiable on } (a,b),\ f(a)=f(b) \;\Longrightarrow\; \exists\, c\in(a,b),\ f'(c)=0
Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Cho hàm ff và đoạn [a,b][a,b]. Nếu ff liên tục trên [a,b][a,b], có đạo hàm trên (a,b)(a,b) và f(a)=f(b)f(a)=f(b), thì tồn tại c∈(a,b)c\in(a,b) sao cho f′(c)=0f'(c)=0. Nói cách khác, đồ thị có ít nhất một điểm ở giữa mà tiếp tuyến nằm ngang.

Thiếu một giả thiết thì kết luận có thể sai. Hàm f(x)=∣x∣f(x)=|x| trên [−1,1][-1,1] có f(−1)=f(1)=1f(-1)=f(1)=1, nhưng không có đạo hàm tại 00. Ở mọi chỗ khác, f′(x)=±1f'(x)=\pm1, nên không có cc. Định lý chỉ nói cc tồn tại, không nói cc duy nhất.

Rolle’s theorem: Let ff be a function and [a,b][a,b] an interval. If ff is continuous on [a,b][a,b], differentiable on (a,b)(a,b), and f(a)=f(b)f(a)=f(b), then there exists c∈(a,b)c\in(a,b) such that f′(c)=0f'(c)=0. In other words, the graph has at least one point between the endpoints where the tangent line is horizontal.

If any one hypothesis is dropped, the conclusion can fail. The function f(x)=∣x∣f(x)=|x| on [−1,1][-1,1] satisfies f(−1)=f(1)=1f(-1)=f(1)=1, but it is not differentiable at 00. Everywhere else, f′(x)=±1f'(x)=\pm1, so no such cc exists. The theorem guarantees only that cc exists, not that it is unique.

Ký hiệuNotation
  • •f′(c)=0f'(c)=0 với c∈(a,b)c\in(a,b)
  • •giả thiết: ff liên tục trên [a,b][a,b], khả vi trên (a,b)(a,b), f(a)=f(b)f(a)=f(b).
Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula
f continuous on [a,b], f differentiable on (a,b), f(a)=f(b)  ⟹  ∃ c∈(a,b), f′(c)=0\htmlClass{fp-0}{f \text{ continuous on } [a,b]},\ \htmlClass{fp-1}{f \text{ differentiable on } (a,b)},\ \htmlClass{fp-2}{f(a)=f(b)} \;\Longrightarrow\; \htmlClass{fp-3}{\exists\, c\in(a,b)},\ \htmlClass{fp-4}{f'(c)=0}

Dùng sau khi kiểm tra đủ ba giả thiết, để chứng tỏ f′f' triệt tiêu trong khoảng, hoặc để chặn số nghiệm khi f′(x)≠0f'(x)\neq 0.Use this after verifying all three hypotheses, either to show that f′f' vanishes somewhere in the interval or to bound the number of roots when f′(x)≠0f'(x)\neq 0.

Trong đóWhere

ffhàm số đang xéta, ba,\ bhai đầu mút của đoạn đang xét, với a<ba<bccmột số nằm trong khoảng (a,b)(a,b) mà tại đó đạo hàm của ff bằng 00f′(c)f'(c)giá trị đạo hàm của ff tại cc, tức hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ cc
Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Chỉ có f(a)=f(b)f(a)=f(b) thì chưa dùng được định lý Rolle.

Phải có thêm ff liên tục trên [a,b][a,b] và có đạo hàm trên (a,b)(a,b). Ví dụ ∣x∣|x| trên [−1,1][-1,1] không có đạo hàm tại 00. Hàm f(x)=xf(x)=x với 0≤x<10\le x<1 và f(1)=0f(1)=0 gián đoạn tại 11, mà f′=1f'=1 nên cũng không có cc.

Định lý Rolle cho ít nhất một điểm cc, không cho cc duy nhất.

Hàm sin⁡x\sin x trên [0,2π][0,2\pi] có f(0)=f(2π)=0f(0)=f(2\pi)=0 và có cả c=π2c=\dfrac{\pi}{2} lẫn c=3π2c=\dfrac{3\pi}{2}. Muốn chứng minh cc duy nhất, phải lập luận thêm, chẳng hạn xét dấu f′f'.

Từ f′(c)=0f'(c)=0 không suy ra f(a)=f(b)f(a)=f(b).

Định lý chỉ đi một chiều. Ví dụ f(x)=x3f(x)=x^3 trên [−1,2][-1,2] có f′(0)=0f'(0)=0 với 0∈(−1,2)0\in(-1,2), nhưng f(−1)=−1≠8=f(2)f(-1)=-1\ne 8=f(2).

f(a)=f(b)f(a)=f(b) alone is not enough to apply Rolle’s theorem.

The function must also be continuous on [a,b][a,b] and differentiable on (a,b)(a,b). For example, ∣x∣|x| on [−1,1][-1,1] is not differentiable at 00. Likewise, f(x)=xf(x)=x for 0≤x<10\le x<1 with f(1)=0f(1)=0 is discontinuous at 11, and since f′=1f'=1, there is no such cc either.

Rolle’s theorem guarantees at least one point cc, not a unique one.

The function sin⁡x\sin x on [0,2π][0,2\pi] has f(0)=f(2π)=0f(0)=f(2\pi)=0 and has both c=π2c=\dfrac{\pi}{2} and c=3π2c=\dfrac{3\pi}{2}. To show that cc is unique, you need extra reasoning, such as analyzing the sign of f′f'.

f′(c)=0f'(c)=0 does not imply f(a)=f(b)f(a)=f(b).

The theorem works in only one direction. For example, f(x)=x3f(x)=x^3 on [−1,2][-1,2] has f′(0)=0f'(0)=0 with 0∈(−1,2)0\in(-1,2), but f(−1)=−1≠8=f(2)f(-1)=-1\ne 8=f(2).

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi dùng định lý Rolle, hãy nêu đủ ba điều kiện và lý do mỗi điều kiện đúng.

Ở câu tự luận, chỉ ghi "theo định lý Rolle" mà thiếu bước kiểm tra thì thường mất điểm. Với đa thức, viết "vì ff là đa thức nên liên tục và khả vi trên R\mathbb{R}".

Để tìm cc, giải f′(c)=0f'(c)=0 rồi chỉ giữ nghiệm thuộc khoảng mở (a,b)(a,b).

Nghiệm nằm ngoài khoảng hoặc trùng đầu mút phải loại. Cuối bài, ghi rõ c∈(a,b)c\in(a,b).

State all three conditions and justify each one whenever you use Rolle’s theorem.

On free-response questions, writing only “by Rolle’s theorem” without verifying the hypotheses usually loses points. For a polynomial, write “since ff is a polynomial, it is continuous and differentiable on R\mathbb{R}.”

To find cc, solve f′(c)=0f'(c)=0 and keep only the solutions in the open interval (a,b)(a,b).

Discard any solution that lies outside the interval or equals an endpoint. At the end, state clearly that c∈(a,b)c\in(a,b).

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common
Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common
Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1691Michel RolleBhāskara IICauchyMoritz Wilhelm DrobischGiusto Bellavitis

Năm 1691, Michel Rolle chứng minh định lý này cho đa thức, không dùng phép tính vi phân vì khi đó ông xem phép tính này là sai lầm.
In 1691, Michel Rolle proved this theorem for polynomials without using calculus, because he considered calculus unsound at the time.

Vì sao mang đúng cái tên này? Định lý mang tên Michel Rolle (1652–1719), người đã chứng minh nó vào năm 1691. Cái tên này có phần nghịch lý, vì chứng minh của Rolle chỉ bao quát hàm đa thức và không dựa vào phép tính vi phân, thứ mà khi ấy ông còn cho là sai lầm. Dạng tổng quát chỉ được Cauchy chứng minh năm 1823. Cũng không phải Rolle đặt tên cho định lý. Cụm từ "định lý Rolle" được Moritz Wilhelm Drobisch (Đức) dùng đầu tiên vào năm 1834, sau đó Giusto Bellavitis (Ý) dùng vào năm 1846, tức là rất lâu sau khi Rolle qua đời.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý giá trị trung bình (MVT)Ứng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý giá trị trung bình (MVT)Ứng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB
Cần trướcLearn firsttính liên tụccontinuity
Dẫn tớiLeads tođịnh lý giá trị trung bìnhmean value theorem
Liên quanRelatedhàm số khả vidifferentiable functionđịnh lý giá trị cực biênextreme value theoremđiểm tới hạn của hàm sốcritical point
Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

định lý giá trị trung bìnhmean value theorem
Khác nhau ở đâuHow they differĐịnh lý Rolle yêu cầu f(a)=f(b)f(a)=f(b) và kết luận f′(c)=0f'(c)=0. Định lý giá trị trung bình bỏ điều kiện đó và kết luận f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho một hàm liên tục, khả vi và hỏi có tồn tại cc với f′(c)f'(c) bằng một giá trị cụ thể hay không. Hãy kiểm tra f(a)=f(b)f(a)=f(b): nếu có và đạo hàm cần bằng 0 thì dùng Rolle, nếu không thì dùng định lý giá trị trung bình.
định lý giá trị trung gianintermediate value theorem
Khác nhau ở đâuHow they differĐịnh lý Rolle khẳng định có điểm làm đạo hàm bằng 0. Định lý giá trị trung gian khẳng định hàm số nhận mọi giá trị nằm giữa f(a)f(a) và f(b)f(b).
Hay nhầm khiMixed up whenCả hai đều bắt đầu từ giả thiết liên tục trên đoạn đóng nên dễ nhầm. Nếu đề hỏi nghiệm của f(x)=kf(x)=k thì dùng giá trị trung gian, còn nếu hỏi nghiệm của f′(x)=0f'(x)=0 thì dùng Rolle.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

  1. [1]Stewart. tr. 319–321.

Biên soạn bởi DucklingStudy, bản quyền thuộc DucklingStudy.Written by DucklingStudy. © DucklingStudy. Xuất bảnPublished .