DucklingStudyDucklingStudy
Đăng nhậpSign in

AP Calculus BCAP Calculus AB

giá trị trung bình của hàm sốaverage value of a function

average value of a functionVietnamese: giá trị trung bình của hàm số

Giá trị trung bình của hàm số (average value of a function) là tích phân xác định của hàm trên một đoạn chia cho độ dài đoạn đó.The average value of a function is the definite integral of the function over an interval divided by the length of that interval.

Trực giác: Như san phẳng mặt nước gợn sóng mà không đổ thêm hay bớt nước: độ cao mặt nước lúc phẳng chính là giá trị trung bình.Intuition: Imagine leveling a rippled water surface without adding or removing any water: the height of the flat surface is the average value.

Công thức chínhKey formula

fave=1b−a∫abf(x) dxf_{\text{ave}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx
Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Giá trị trung bình của hàm số liên tục ff trên [a,b][a,b] (average value of a function) là độ cao của hình chữ nhật có đáy [a,b][a,b] và có cùng diện tích với miền dưới đồ thị. Phần đồ thị nằm dưới trục OxOx được tính là diện tích âm. Ta ký hiệu giá trị này là favef_{\text{ave}} và lấy tích phân xác định chia cho b−ab-a.

Với f(x)=x2f(x)=x^2 trên [0,3][0,3], ta có ∫03x2 dx=9\int_0^3 x^2\,dx=9, nên fave=93=3f_{\text{ave}}=\frac{9}{3}=3. Khi ff liên tục, có một số cc thuộc [a,b][a,b] để f(c)=favef(c)=f_{\text{ave}}. Ở ví dụ trên, c=3c=\sqrt{3}. Đừng nhầm với tốc độ biến thiên trung bình f(b)−f(a)b−a\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. Đại lượng này là giá trị trung bình của f′f' khi f′f' liên tục.

The average value of a continuous function ff on [a,b][a,b] is the height of the rectangle with base [a,b][a,b] that has the same area as the region under the graph. Any part of the graph below the xx-axis counts as negative area. This value is denoted favef_{\text{ave}} and is found by dividing the definite integral by b−ab-a.

For f(x)=x2f(x)=x^2 on [0,3][0,3], ∫03x2 dx=9\int_0^3 x^2\,dx=9, so fave=93=3f_{\text{ave}}=\frac{9}{3}=3. When ff is continuous, there is a number cc in [a,b][a,b] such that f(c)=favef(c)=f_{\text{ave}}. In the example above, c=3c=\sqrt{3}. Do not confuse this with the average rate of change f(b)−f(a)b−a\frac{f(b)-f(a)}{b-a}, which is the average value of f′f' when f′f' is continuous.

Ký hiệuNotation
  • •favef_{\text{ave}} hoặc f‾\overline{f}
  • •công thức 1b−a∫abf(x) dx\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx
  • •điểm cc thỏa f(c)=favef(c)=f_{\text{ave}}.
Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas
fave=1b−a∫abf(x) dxf_{\text{ave}}=\htmlClass{fp-3}{\htmlClass{fp-2}{\frac{1}{b-a}}\htmlClass{fp-1}{\int_a^b \htmlClass{fp-0}{f(x)}\,dx}}

Dùng khi cần độ cao trung bình của hàm liên tục trên [a,b][a,b], như nhiệt độ hay vận tốc trung bình trong một khoảng thời gian.Use this when you need the average height of a continuous function on [a,b][a,b], such as the average temperature or velocity over a time interval.

Trong đóWhere

favef_{\text{ave}}giá trị trung bình của hàm ff trên đoạn [a,b][a,b][a,b][a,b]đoạn đang xét, với aa và bb là hai cận của tích phânb−ab-ađộ dài của đoạn [a,b][a,b]f(x)f(x)hàm số liên tục trên [a,b][a,b] cần lấy giá trị trung bình
f(c)=1b−a∫abf(x) dx\htmlClass{fp-0}{f(c)}=\htmlClass{fp-1}{\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx}

Dùng khi đề hỏi tìm cc để f(c)=favef(c)=f_{\text{ave}}: tính favef_{\text{ave}} trước, giải phương trình, chọn nghiệm thuộc [a,b][a,b].Use this when a problem asks for cc such that f(c)=favef(c)=f_{\text{ave}}: compute favef_{\text{ave}} first, solve the equation, and choose the solution in [a,b][a,b].

Trong đóWhere

ccđiểm thuộc [a,b][a,b] mà tại đó hàm nhận giá trị trung bìnhf(c)f(c)giá trị của hàm tại điểm cc
Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Giá trị trung bình của hàm không phải f(a)+f(b)2\frac{f(a)+f(b)}{2}.

Hai giá trị ở đầu mút không cho biết đồ thị cong thế nào ở giữa. Ví dụ f(x)=x2f(x)=x^2 trên [0,3][0,3] cho 33, còn f(0)+f(3)2=4,5\frac{f(0)+f(3)}{2}=4{,}5.

Không lấy trung bình cộng hai giá trị trung bình trên hai khoảng con có độ dài khác nhau.

Khoảng dài hơn đóng góp nhiều hơn. Hãy nhân mỗi giá trị trung bình với độ dài khoảng của nó, cộng lại, rồi chia cho độ dài cả khoảng.

Khi gộp hai khoảng con thành [p,q][p,q], mẫu số là q−pq-p, không phải độ dài một khoảng con.

Nếu cận là số âm, hãy viết rõ q−pq-p rồi mới thay số.

The average value of a function is not f(a)+f(b)2\frac{f(a)+f(b)}{2}.

The two endpoint values say nothing about how the graph curves in between. For example, f(x)=x2f(x)=x^2 on [0,3][0,3] has average value 33, while f(0)+f(3)2=4.5\frac{f(0)+f(3)}{2}=4.5.

Do not simply average the average values on two subintervals of different lengths.

The longer subinterval contributes more, so multiply each average value by the length of its subinterval, add the results, and divide by the length of the whole interval.

When combining two subintervals into [p,q][p,q], the denominator is q−pq-p, not the length of one subinterval.

If a bound is negative, write q−pq-p explicitly before substituting numbers.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết fave=1b−a∫abf(x) dxf_{\text{ave}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx trước khi thay số.

Bài AP chấm theo từng bước, nên dòng này thường được tính điểm riêng. Khi đề cho hai khoảng liền kề, hãy viết riêng từng tích phân con.

Tự kiểm tra: giá trị trung bình trên khoảng lớn phải nằm giữa hai giá trị trung bình trên hai khoảng con.

Nó gần giá trị của khoảng dài hơn. Nếu không đúng, hãy rà lại phép nhân với độ dài và mẫu số.

Write fave=1b−a∫abf(x) dxf_{\text{ave}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx before substituting any numbers.

AP exams award points step by step, so this line often earns its own point. When a problem gives two adjacent intervals, write each integral separately.

Check your answer: the average value on the whole interval must lie between the average values on the two subintervals.

It will be closer to the value on the longer subinterval. If it is not, recheck the multiplication by lengths and the denominator.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common
Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo cận a, b và điểm chia c — nhìn đường trung bình dịch lên xuống

Kéo cận a, b và điểm chia c — nhìn đường trung bình dịch lên xuống

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiá trị trung bình của hàm số trên một khoảngỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích & tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý giá trị trung bình (MVT)Ứng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiá trị trung bình của hàm số trên một khoảngỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus AB
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích & tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý giá trị trung bình (MVT)Ứng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB
Dẫn tớiLeads tovận tốc trung bìnhaverage velocityđịnh lý cơ bản của giải tíchfundamental theorem of calculus
Liên quanRelatedtích phân xác địnhdefinite integralđịnh lý giá trị trung bình cho tích phânmean value theorem for integralstốc độ biến thiên trung bìnhaverage rate of change
Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

tốc độ biến thiên trung bìnhaverage rate of change
Khác nhau ở đâuHow they differGiá trị trung bình của hàm số là 1b−a∫abf(x) dx\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx, tức mức cao trung bình của ff. Tốc độ biến thiên trung bình là f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}, tức hệ số góc của cát tuyến.
Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho đồ thị hoặc bảng của ff rồi hỏi "average value of ff" thì phải tích phân ff; còn hỏi "average rate of change of ff" thì chỉ lấy hiệu f(b)−f(a)f(b)-f(a) chia cho b−ab-a.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

  1. [1]Stewart. tr. 7, 493, 495.

Biên soạn bởi DucklingStudy, bản quyền thuộc DucklingStudy.Written by DucklingStudy. © DucklingStudy. Xuất bảnPublished .