AP Calculus BCAP Calculus AB

cận tích phânlimits of integration

limits of integrationVietnamese: cận tích phân

Cận tích phân (limits of integration) là hai số a và b, cận dưới và cận trên, xác định khoảng mà hàm số được lấy tích phân trong tích phân xác định.The limits of integration are the two numbers a and b, the lower and upper limits, that set the interval over which a function is integrated in a definite integral.

Trực giác: Cận tích phân giống hai cột mốc đầu và cuối của một quãng đường: ta chỉ cộng dồn những gì xảy ra giữa hai cột mốc ấy.Intuition: The limits of integration are like the start and end markers of a stretch of road: you accumulate only what happens between the two markers.

Công thức chínhKey formula

\int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Cận tích phân (limits of integration) là hai giá trị của biến tích phân, đặt ở chân và đỉnh dấu $\int$ . Chúng cho biết hàm được cộng dồn trên đoạn nào.

Trong $\int_a^b f(x)\,dx$ , $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên. Khi $a$ , $b$ là số cố định, kết quả là một số, không phải hàm của $x$ . Đổi chỗ hai cận thì tích phân đổi dấu. Hai cận trùng nhau thì tích phân bằng 0. Khi đặt $u=g(x)$ , cận phải đổi thành $u=g(a)$ và $u=g(b)$ , vì cận cũ là giá trị của $x$ , không phải của $u$ .

The limits of integration are the two values of the variable of integration written at the bottom and top of the $\int$ sign. They specify the interval over which the function is accumulated.

In $\int_a^b f(x)\,dx$ , $a$ is the lower limit and $b$ is the upper limit. When $a$ and $b$ are fixed numbers, the result is a single number, not a function of $x$ . Swapping the two limits changes the sign of the integral, and if the limits are equal, the integral is 0. When you substitute $u=g(x)$ , the limits must change to $u=g(a)$ and $u=g(b)$ , because the original limits are values of $x$ , not of $u$ .

Ký hiệuNotation

• $\int_a^b f(x)\,dx$ , trong đó $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên
•sau khi đổi biến $u=g(x)$ thì cận trở thành $g(a)$ và $g(b)$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{\int_a^b} \htmlClass{fp-1}{f(g(x))\,g'(x)\,dx}=\htmlClass{fp-2}{\int_{g(a)}^{g(b)}} \htmlClass{fp-3}{f(u)\,du}

Dùng khi đổi biến $u=g(x)$ trong tích phân xác định: đổi cận thành $g(a)$ , $g(b)$ rồi tính hẳn theo $u$ .Use this when you substitute $u=g(x)$ in a definite integral: change the limits to $g(a)$ and $g(b)$ , then evaluate entirely in terms of $u$ .

Trong đóWhere

a

cận dưới của tích phân theo biến

x

b

cận trên của tích phân theo biến

x

u=g(x)

biến mới sau phép đặt;

g

là hàm đổi biến có đạo hàm liên tục

g(a),\ g(b)

cận dưới và cận trên mới, là các giá trị của

u

ứng với

x=a

và

x=b

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)

Dùng khi tính tích phân xác định bằng nguyên hàm $F$ : thay cận trên rồi trừ giá trị tại cận dưới.Use this when you evaluate a definite integral with an antiderivative $F$ : substitute the upper limit, then subtract the value at the lower limit.

Trong đóWhere

F

một nguyên hàm của

f

, tức

F'(x)=f(x)

a,\ b

cận dưới và cận trên của tích phân

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Đổi biến xong mà giữ cận cũ là sai.

Nếu đặt $u=g(x)$ , cận $a,b$ thành $g(a),g(b)$ . Chỉ khi quay lại biến $x$ mới dùng cận cũ.

Đổi chỗ hai cận làm tích phân đổi dấu, không giữ nguyên.

Ta có $\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$ , nên viết nhầm cận cho đáp số trái dấu. Đề vẫn có thể cho $a>b$ ; đừng tự đổi chỗ cho "đẹp" mà quên đổi dấu.

Cận tích phân là giá trị của biến lấy tích phân, không phải của $y$ .

Chẳng hạn $\int_1^3 f(x)\,dx$ lấy từ $x=1$ đến $x=3$ , không phải từ $y=1$ đến $y=3$ .

Keeping the original limits after a change of variable is wrong.

With $u=g(x)$ , the limits $a,b$ become $g(a),g(b)$ . You use the original limits only if you return to the variable $x$ .

Swapping the limits changes the sign of the integral; it does not leave it unchanged.

Since $\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$ , writing the limits in the wrong order gives an answer with the opposite sign. A problem may still give $a>b$ , so do not reorder the limits to make them look neater without also changing the sign.

The limits of integration are values of the variable of integration, not of $y$ .

For example, $\int_1^3 f(x)\,dx$ runs from $x=1$ to $x=3$ , not from $y=1$ to $y=3$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi đổi biến, viết cận mới ngay ở dòng đặt $u$ .

Ghi $x=a\Rightarrow u=g(a)$ và $x=b\Rightarrow u=g(b)$ trước khi tính tiếp. Như vậy bạn không quên đổi cận, và người chấm thấy rõ bước này.

Với $\int_a^b f'(x)\,dx$ , hãy viết $f(b)-f(a)$ trước khi tính số.

Dạng này hay gặp trong đề AP. Ghi rõ thay $b$ rồi thay $a$ vào $f$ , để người chấm thấy từng bước.

When you substitute, write the new limits on the same line where you define $u$ .

Write $x=a\Rightarrow u=g(a)$ and $x=b\Rightarrow u=g(b)$ before continuing. This keeps you from forgetting to change the limits and shows the grader that step clearly.

For $\int_a^b f'(x)\,dx$ , write $f(b)-f(a)$ before computing any numbers.

This form appears often on the AP exam. Show the substitution of $b$ and then $a$ into $f$ so the grader can follow each step.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

khoảng 1819–1820Joseph FourierGottfried Wilhelm Leibniz

Khoảng 1819–1820, Joseph Fourier lần đầu đặt hai cận ở trên và dưới dấu tích phân để ghi rõ đoạn mà tích phân xác định được tính.

Around 1819–1820, Joseph Fourier first placed the two limits above and below the integral sign to show clearly the interval over which a definite integral is evaluated.

Vì sao mang đúng cái tên này? Nguồn đã đọc không giải thích vì sao các giá trị ở hai đầu được gọi là "limits" (cận), nên không thể nói chắc về lai lịch của riêng chữ này. Điều nguồn xác nhận là về ký hiệu đi kèm: dấu ∫ do Leibniz lấy từ chữ ſ (chữ s dài, long s) trong từ Latin summa, nghĩa là "tổng". Còn việc đặt các cận ngay trên và dưới dấu ∫ là sáng kiến của Fourier.

Nguồn đối chiếuSources

en.wikipedia.orgIntegral - Wikipedia

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân bằng phép đổi biếnTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích & tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân bằng phép đổi biếnTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích & tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsttập xác địnhdomain

Dẫn tớiLeads totích phân xác địnhdefinite integral hàm tích luỹaccumulation function

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tích phân bất địnhindefinite integral

Khác nhau ở đâuHow they differCận tích phân có mặt ở tích phân xác định và làm kết quả trở thành một số. Tích phân bất định không có cận nên kết quả là họ nguyên hàm kèm hằng số

C

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề viết

\int f(x)\,dx

mà không có cận thì phải thêm

+C

; khi có cận thì tính hiệu

F(b)-F(a)

và không có

C

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 411, 448, 485.