AP Calculus BCAP Calculus AB

tổng Riemann điểm giữamidpoint rule

midpoint ruleVietnamese: tổng Riemann điểm giữa

Còn gọi:Also called: midpoint Riemann sum · midpoint sum

Tổng Riemann điểm giữa (midpoint rule) là cách xấp xỉ tích phân xác định bằng các hình chữ nhật có chiều cao lấy tại trung điểm mỗi đoạn con.The midpoint rule approximates a definite integral using rectangles whose heights are taken at the midpoint of each subinterval.

Trực giác: Đo diện tích một mảnh vườn cong bằng những tấm ván chữ nhật, mỗi tấm được cắt cho vừa bằng độ cao của mảnh vườn ngay tại chính giữa tấm ván.Intuition: Imagine measuring the area of a curved garden with rectangular boards, where each board is cut to match the height of the garden at the exact center of that board.

Công thức chínhKey formula

M_n=\sum_{i=1}^{n} f(m_i)\,\Delta x\approx\int_a^b f(x)\,dx

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tổng Riemann điểm giữa $M_n$ chia $[a,b]$ thành $n$ đoạn con rộng bằng nhau, mỗi đoạn rộng $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ . Chiều cao mỗi hình chữ nhật lấy tại trung điểm $m_i$ của đoạn thứ $i$ . Ví dụ: với $f(x)=x^2$ trên $[0,2]$ và $n=2$ thì $\Delta x=1$ , $m_1=0{,}5$ , $m_2=1{,}5$ , nên $M_2=1\cdot(0{,}25+2{,}25)=2{,}5$ . Tích phân thật là $\frac83\approx 2{,}67$ .

Cùng $n$ , cách này thường chính xác hơn tổng trái hay tổng phải. Giả sử đạo hàm cấp hai $f''$ giữ nguyên dấu trên $[a,b]$ . Nếu $f''>0$ thì $M_n$ nhỏ hơn tích phân. Nếu $f''<0$ thì $M_n$ lớn hơn.

The midpoint rule $M_n$ divides $[a,b]$ into $n$ subintervals of equal width $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ . The height of each rectangle is the value of the function at the midpoint $m_i$ of the $i$ th subinterval. For example, for $f(x)=x^2$ on $[0,2]$ with $n=2$ , $\Delta x=1$ , $m_1=0.5$ , and $m_2=1.5$ , so $M_2=1\cdot(0.25+2.25)=2.5$ . The exact integral is $\frac83\approx 2.67$ .

For the same $n$ , the midpoint rule is usually more accurate than a left or right Riemann sum. Suppose the second derivative $f''$ keeps the same sign on $[a,b]$ . If $f''>0$ , then $M_n$ underestimates the integral. If $f''<0$ , then $M_n$ overestimates it.

Ký hiệuNotation

M_n=\sum_{i=1}^{n} f(m_i)\,\Delta x

, với

\Delta x=\dfrac{b-a}{n}

và

m_i=\dfrac{x_{i-1}+x_i}{2}

là trung điểm của đoạn con thứ

i

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

M_n=\htmlClass{fp-3}{\sum_{i=1}^{n} \htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{f(m_i)}\,\htmlClass{fp-1}{\Delta x}}}\htmlClass{fp-4}{\approx\int_a^b f(x)\,dx}

Dùng ước lượng tích phân xác định khi khó tìm nguyên hàm hoặc đề cho bảng; thường chính xác hơn tổng trái, tổng phải cùng $n$ .Use it to estimate a definite integral when an antiderivative is hard to find or when the problem gives a table of values. For the same $n$ , it is usually more accurate than a left or right Riemann sum.

Trong đóWhere

M_n

giá trị xấp xỉ tích phân bằng quy tắc điểm giữa với

n

đoạn con

n

số đoạn con bằng nhau mà

[a,b]

được chia ra

\Delta x

bề rộng mỗi đoạn con,

\Delta x=\dfrac{b-a}{n}

m_i

trung điểm của đoạn con thứ

i

f(m_i)

giá trị hàm số tại trung điểm, dùng làm chiều cao hình chữ nhật

m_i=\dfrac{x_{i-1}+x_i}{2}

Dùng để tìm trung điểm của đoạn con thứ $i$ : lấy trung bình cộng hai mút của đoạn đó.Use it to find the midpoint of the $i$ th subinterval: average the two endpoints of that subinterval.

Trong đóWhere

m_i

trung điểm của đoạn con thứ

i

x_{i-1}

mút trái của đoạn con thứ

i

x_i

mút phải của đoạn con thứ

i

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Phải lấy trung điểm của từng đoạn con, không phải của cả $[a,b]$ .

Đoạn thứ $i$ có trung điểm $m_i=a+\left(i-\tfrac12\right)\Delta x$ . Viết $a+i\,\Delta x$ là đầu mút phải, vì thiếu $\tfrac12$ .

Tổng điểm giữa không phải lúc nào cũng thấp hơn hay cao hơn tích phân.

Nếu $f''>0$ trên cả $[a,b]$ thì $M_n$ nhỏ hơn tích phân. Nếu $f''<0$ thì lớn hơn. Quy tắc hình thang cho chiều ngược lại.

Khi các đoạn con không bằng nhau, mỗi đoạn dùng độ rộng riêng của nó.

Nhân giá trị tại trung điểm với độ rộng đoạn đó rồi cộng. Ví dụ bảng tại $t=0,1,2,4,6$ : chia $[0,2]$ và $[2,6]$ cho $2f(1)+4f(4)$ .

Use the midpoint of each subinterval, not the midpoint of the whole interval $[a,b]$ .

The $i$ th subinterval has midpoint $m_i=a+\left(i-\tfrac12\right)\Delta x$ . Writing $a+i\,\Delta x$ gives the right endpoint, because the $\tfrac12$ is missing.

The midpoint rule does not always underestimate or always overestimate the integral.

If $f''>0$ on all of $[a,b]$ , then $M_n$ underestimates the integral, and if $f''<0$ , it overestimates. The trapezoidal rule errs in the opposite direction.

When the subintervals have unequal widths, each one uses its own width.

Multiply the function value at each midpoint by the width of that subinterval, then add the products. For example, for a table with values at $t=0,1,2,4,6$ , splitting into $[0,2]$ and $[2,6]$ gives $2f(1)+4f(4)$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi hỏi ước lượng thừa hay thiếu, hãy nêu dấu của $f''$ trên cả đoạn rồi mới kết luận.

Ví dụ: "Vì $f''>0$ trên $[a,b]$ nên đồ thị cong lên, do đó tổng điểm giữa nhỏ hơn tích phân." Chỉ nói "hàm tăng" là không đủ. Tăng giảm quyết định chiều của tổng trái, không phải tổng điểm giữa.

Viết tổng điểm giữa với số cụ thể trước khi bấm máy, ví dụ $4f(2)+4f(6)$ .

Thiết lập đúng vẫn được điểm dù tính sai. Khi dùng máy tính, giữ ít nhất ba chữ số thập phân.

When asked whether an estimate is an overestimate or underestimate, state the sign of $f''$ on the whole interval before concluding.

For example: "Since $f''>0$ on $[a,b]$ , the graph is concave up, so the midpoint rule underestimates the integral." Saying only "the function is increasing" is not enough. Whether the function increases or decreases determines the direction of error for a left sum, not for the midpoint rule.

Write out the midpoint sum with specific numbers before using a calculator, for example $4f(2)+4f(6)$ .

A correct setup earns credit even if the arithmetic is wrong. When using a calculator, keep at least three decimal places.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo số mảnh n — nhìn hình chữ nhật điểm giữa bám sát đường cong

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ diện tích bằng tổng RiemannTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ diện tích bằng tổng RiemannTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsttổng RiemannRiemann sum phân hoạchpartition

Dẫn tớiLeads totích phân xác địnhdefinite integral tích phân sốnumerical integration

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tổng Riemann tráileft-endpoint approximation

Khác nhau ở đâuHow they differTổng Riemann điểm giữa lấy giá trị hàm tại trung điểm của mỗi đoạn con. Tổng Riemann trái lấy giá trị tại đầu mút trái của đoạn đó.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề cho bảng giá trị với các mốc cách đều, thí sinh hay lấy nhầm mốc đầu đoạn thay vì mốc ở giữa. Điểm giữa cần các mốc nằm giữa mỗi đoạn con, nên số đoạn phải tương thích với bảng.

tổng hình thangtrapezoidal sum

Khác nhau ở đâuHow they differTổng Riemann điểm giữa dùng các hình chữ nhật có chiều cao

f

tại trung điểm. Tổng hình thang lấy trung bình hai đầu mút của mỗi đoạn con.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi hỏi xấp xỉ nào lớn hơn hay nhỏ hơn giá trị thật của tích phân, thí sinh hay nhầm chiều: với hàm lõm xuống thì điểm giữa lớn hơn còn hình thang nhỏ hơn.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 19, 417, 455.