AP Calculus BCAP Calculus AB

tổng Riemann phảiright-endpoint approximation

right-endpoint approximationVietnamese: tổng Riemann phải

Còn gọi:Also called: right Riemann sum · right sum

Tổng Riemann phải (right-endpoint approximation) là phép xấp xỉ diện tích dưới đường cong bằng các hình chữ nhật có chiều cao tại mút phải mỗi đoạn.A right-endpoint approximation estimates the area under a curve using rectangles whose heights are the function values at the right endpoint of each subinterval.

Trực giác: Giống như xếp các tấm ván đứng sát nhau dưới một sườn dốc, mỗi tấm cao bằng độ cao của sườn dốc tại mép phải của nó.Intuition: Picture standing boards side by side under a slope, each board as tall as the slope is at the board's right edge.

Công thức chínhKey formula

R_n=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tổng Riemann phải (right-endpoint approximation) ước lượng diện tích dưới đồ thị $f$ trên $[a,b]$ . Ta chia $[a,b]$ thành $n$ đoạn con. Trên mỗi đoạn, hình chữ nhật có chiều cao bằng giá trị của $f$ tại mút phải. Ví dụ: $f(x)=x^2$ trên $[0,2]$ , $n=2$ , mỗi đoạn rộng $1$ , tổng là $f(1)\cdot 1+f(2)\cdot 1=1+4=5$ .

Nếu các đoạn con không bằng nhau, hãy nhân mỗi chiều cao với độ rộng của đoạn đó. Nếu $f$ đồng biến thì tổng là ước lượng thừa. Nếu $f$ nghịch biến thì tổng là ước lượng thiếu. Với $f$ liên tục, $n$ càng lớn thì tổng càng gần $\int_a^b f(x)\,dx$ .

A right-endpoint approximation estimates the area under the graph of $f$ on $[a,b]$ . Divide $[a,b]$ into $n$ subintervals; on each one, draw a rectangle whose height is the value of $f$ at the right endpoint. For example, for $f(x)=x^2$ on $[0,2]$ with $n=2$ , each subinterval has width $1$ , so the sum is $f(1)\cdot 1+f(2)\cdot 1=1+4=5$ .

If the subintervals have unequal widths, multiply each height by the width of its own subinterval. If $f$ is increasing, the sum is an overestimate; if $f$ is decreasing, it is an underestimate. For continuous $f$ , the sum gets closer to $\int_a^b f(x)\,dx$ as $n$ increases.

Ký hiệuNotation

• $R_n$ hoặc RRAM
• $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ với $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ và $x_i=a+i\,\Delta x$

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

R_n=\htmlClass{fp-3}{\sum_{i=1}^{n}\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{f(x_i)}\,\htmlClass{fp-1}{\Delta x}}}

Dùng để xấp xỉ diện tích dưới đồ thị hay $\int_a^b f(x)\,dx$ khi chia $[a,b]$ thành $n$ đoạn bằng nhau, lấy chiều cao tại mút phải.Use this to approximate the area under the graph, or $\int_a^b f(x)\,dx$ , when $[a,b]$ is divided into $n$ equal subintervals and the heights are taken at the right endpoints.

Trong đóWhere

R_n

tổng Riemann phải với

n

hình chữ nhật, dùng làm giá trị xấp xỉ diện tích

n

số đoạn con (cũng là số hình chữ nhật)

x_i

mút phải của đoạn con thứ

i

f(x_i)

giá trị của hàm tại mút phải, chính là chiều cao hình chữ nhật thứ

i

\Delta x

độ dài mỗi đoạn con, cũng là bề rộng mỗi hình chữ nhật

\Delta x=\dfrac{b-a}{n},\qquad x_i=a+i\,\Delta x

Dùng để tìm bề rộng mỗi đoạn con và mút phải $x_i$ ; mút phải cuối cùng $x_n$ trùng với $b$ .Use these to find the width of each subinterval and the right endpoint $x_i$ ; the last right endpoint $x_n$ equals $b$ .

Trong đóWhere

a

đầu mút trái của khoảng lấy diện tích

b

đầu mút phải của khoảng lấy diện tích

n

số đoạn con bằng nhau

\Delta x

độ dài mỗi đoạn con

x_i

mút phải của đoạn con thứ

i

, với

i=1,2,\dots,n

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Tổng Riemann phải không phải lúc nào cũng là ước lượng thừa.

Nếu $f$ đồng biến trên $[a,b]$ , mút phải cho giá trị lớn nhất trên mỗi đoạn con nên tổng thừa. Nếu $f$ nghịch biến thì tổng thiếu. Hàm lúc tăng lúc giảm thì không kết luận chung được.

Độ rộng mỗi hình chữ nhật không phải lúc nào cũng là $\frac{b-a}{n}$ .

Công thức đó chỉ dùng khi các đoạn con bằng nhau. Với bảng số liệu có mốc cách nhau không đều, mỗi số hạng là $f(x_i)(x_i-x_{i-1})$ .

Tổng Riemann phải dùng $f(x_1),\dots,f(x_n)$ , không dùng $f(x_0)$ .

Đó là điểm khác tổng Riemann trái. Với bảng số liệu, giá trị ở mốc đầu không có trong tổng, còn giá trị ở mốc cuối thì bắt buộc có. Có $n$ đoạn con thì có đúng $n$ số hạng.

A right-endpoint approximation is not always an overestimate.

If $f$ is increasing on $[a,b]$ , the right endpoint gives the maximum value on each subinterval, so the sum overestimates; if $f$ is decreasing, it underestimates. If $f$ both increases and decreases, no general conclusion is possible.

The width of each rectangle is not always $\frac{b-a}{n}$ .

That formula applies only when the subintervals have equal width. For a table with unevenly spaced values, each term is $f(x_i)(x_i-x_{i-1})$ .

A right-endpoint approximation uses $f(x_1),\dots,f(x_n)$ , not $f(x_0)$ .

This is what distinguishes it from a left-endpoint approximation. With a table, the first value is not in the sum, but the last value must be included. With $n$ subintervals, there are exactly $n$ terms.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết biểu thức tổng với số cụ thể trước khi tính ra số.

Với bảng có các mốc 0, 3, 7, viết $3f(3)+4f(7)$ . Mỗi số hạng là (độ rộng đoạn) × (giá trị hàm tại mút phải). Phần tự luận chấm cách thiết lập tổng, nên chỉ ghi đáp số sai thì không còn gì để chấm.

Muốn nói ước lượng thừa hay thiếu, hãy dựa vào đồng biến hoặc nghịch biến.

Ví dụ: $f'(x)>0$ nên $f$ đồng biến, mút phải cho giá trị lớn nhất mỗi đoạn, nên tổng lớn hơn tích phân. Với bảng số liệu, chỉ kết luận khi đề nói $f$ đồng biến hoặc nghịch biến.

Write the sum with specific numbers before you evaluate it.

For a table with $x$ -values 0, 3, 7, write $3f(3)+4f(7)$ . Each term is (subinterval width) × (function value at the right endpoint). Free-response questions award credit for setting up the sum, so a wrong final answer alone earns nothing.

To justify an overestimate or underestimate, rely on whether $f$ is increasing or decreasing.

For example, $f'(x)>0$ means $f$ is increasing, so the right endpoint gives the largest value on each subinterval and the sum is greater than the integral. With a table, draw this conclusion only if the problem states that $f$ is increasing or decreasing.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Chọn mút phải, kéo n — xem hình nào nhô lên, hình nào hụt xuống

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ diện tích bằng tổng RiemannTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ diện tích bằng tổng RiemannTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstphân hoạchpartition ký hiệu sigmasigma notation

Dẫn tớiLeads totích phân xác địnhdefinite integral

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tổng Riemann trái (left-endpoint approximation)left-endpoint approximation

Khác nhau ở đâuHow they differTổng Riemann phải lấy chiều cao hình chữ nhật tại đầu mút phải của mỗi đoạn con. Tổng Riemann trái lấy chiều cao tại đầu mút trái.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề cho bảng giá trị rồi hỏi ước lượng bằng tổng phải hay trái, học sinh hay bỏ nhầm

f(a)

hoặc

f(b)

. Hàm đồng biến thì tổng phải lớn hơn tích phân, còn hàm nghịch biến thì ngược lại.

tổng Riemann điểm giữa (midpoint rule)midpoint rule

Khác nhau ở đâuHow they differTổng Riemann phải đo chiều cao tại đầu mút phải của đoạn con. Tổng điểm giữa đo tại trung điểm nên thường sát giá trị tích phân hơn.

Hay nhầm khiMixed up whenBảng giá trị không đều hoặc chia thiếu điểm giữa thì không dùng được quy tắc điểm giữa. Khi đó đề thường chỉ cho phép dùng tổng trái hoặc tổng phải.

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Học tiếp từ đâyKeep learning

Hay nhầm vớiOften confused with

Cùng chủ đềSame topic