AP Calculus BCAP Calculus AB

tích phân sốnumerical integration

numerical integrationVietnamese: tích phân số

Tích phân số (numerical integration) là nhóm phương pháp tính gần đúng tích phân xác định bằng tổng hữu hạn khi không tìm được nguyên hàm.Numerical integration is a family of methods that approximate a definite integral by a finite sum when no antiderivative can be found.

Trực giác: Giống như đo diện tích một mảnh đất có bờ cong bằng cách chia thành nhiều dải hẹp rồi cộng diện tích từng dải, thay vì tìm công thức cho cả đường bờ.Intuition: It is like measuring the area of a plot of land with a curved boundary by cutting it into many narrow strips and adding up their areas, instead of looking for a formula for the whole boundary.

Công thức chínhKey formula

T_n=\dfrac{\Delta x}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tích phân số tính gần đúng $\int_a^b f(x)\,dx$ bằng một tổng hữu hạn. Chia $[a,b]$ thành $n$ đoạn bằng nhau, mỗi đoạn rộng $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ . Trên mỗi đoạn, thay đồ thị bằng hình đơn giản: hình chữ nhật ở điểm giữa, đoạn thẳng (quy tắc hình thang), hoặc cung parabol (quy tắc Simpson, cần $n$ chẵn).

Ví dụ: với $f(x)=x^2$ trên $[0,2]$ , $n=2$ , quy tắc hình thang cho $\dfrac12(0+2\cdot1+4)=3$ , còn giá trị đúng là $\dfrac83$ . Tăng $n$ thì chặn sai số giảm theo $\dfrac1{n^2}$ (hình thang) hoặc $\dfrac1{n^4}$ (Simpson). Trong chặn sai số, hình thang cần số $K$ với $|f''(x)|\le K$ trên $[a,b]$ . Simpson cần số $K$ với $|f^{(4)}(x)|\le K$ trên $[a,b]$ . Đây là hai số $K$ khác nhau.

Numerical integration approximates $\int_a^b f(x)\,dx$ by a finite sum. Divide $[a,b]$ into $n$ equal subintervals, each of width $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ . On each subinterval, replace the graph with a simple shape: a rectangle at the midpoint, a line segment (the trapezoidal rule), or a parabolic arc (Simpson's rule, which requires $n$ to be even).

Example: for $f(x)=x^2$ on $[0,2]$ with $n=2$ , the trapezoidal rule gives $\dfrac12(0+2\cdot1+4)=3$ , while the exact value is $\dfrac83$ . As $n$ increases, the error bound shrinks in proportion to $\dfrac1{n^2}$ (trapezoidal) or $\dfrac1{n^4}$ (Simpson). In the error bound, the trapezoidal rule needs a number $K$ with $|f''(x)|\le K$ on $[a,b]$ , while Simpson's rule needs a number $K$ with $|f^{(4)}(x)|\le K$ on $[a,b]$ . These are two different values of $K$ .

Ký hiệuNotation

• $M_n$ , $T_n$ , $S_n$ lần lượt là xấp xỉ bằng quy tắc điểm giữa, hình thang và Simpson với $n$ đoạn chia
• $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$ .

Công thức chi tiếtFormula details5 công thức5 formulas

T_n=\htmlClass{fp-0}{\dfrac{\Delta x}{2}}\left[\htmlClass{fp-1}{f(x_0)}+\htmlClass{fp-2}{2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})}+\htmlClass{fp-3}{f(x_n)}\right]

Ước lượng tích phân khi chỉ biết $f$ tại các điểm chia đều. Kết quả thừa nếu $f''>0$ , thiếu nếu $f''<0$ .Estimates the integral when $f$ is known only at equally spaced points. The result is an overestimate if $f''>0$ and an underestimate if $f''<0$ .

Trong đóWhere

T_n

giá trị xấp xỉ tích phân theo quy tắc hình thang với

n

khoảng chia

\Delta x

bề rộng mỗi khoảng chia,

\Delta x=\dfrac{b-a}{n}

x_i

các điểm chia,

x_i=a+i\,\Delta x

, với

x_0=a

và

x_n=b

n

số khoảng chia (số hình thang)

M_n=\Delta x\left[f(\bar{x}_1)+f(\bar{x}_2)+\cdots+f(\bar{x}_n)\right],\quad \bar{x}_i=\dfrac{x_{i-1}+x_i}{2}

Dùng khi tính được $f$ tại trung điểm mỗi khoảng chia; là tổng Riemann với điểm mẫu ở trung điểm.Used when $f$ can be evaluated at the midpoint of each subinterval; it is a Riemann sum with sample points at the midpoints.

Trong đóWhere

M_n

giá trị xấp xỉ tích phân theo quy tắc điểm giữa với

n

khoảng chia

\bar{x}_i

trung điểm của khoảng thứ

i

, tức đoạn

[x_{i-1},x_i]

\Delta x

bề rộng mỗi khoảng chia,

\Delta x=\dfrac{b-a}{n}

n

số khoảng chia

S_n=\dfrac{\Delta x}{3}\left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots+2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]

Dùng khi cần chính xác hơn hình thang với cùng số khoảng chia; $n$ chẵn, hệ số xen kẽ $4$ và $2$ , hai đầu mút là $1$ .Used when more accuracy than the trapezoidal rule is needed with the same number of subintervals; $n$ must be even, the coefficients alternate between $4$ and $2$ , and the endpoints have coefficient $1$ .

Trong đóWhere

S_n

giá trị xấp xỉ tích phân theo quy tắc Simpson

\Delta x

bề rộng mỗi khoảng chia,

\Delta x=\dfrac{b-a}{n}

n

số khoảng chia, bắt buộc là số chẵn

|E_T|\le\dfrac{K(b-a)^3}{12n^2}

Chọn trước $n$ để sai số quy tắc hình thang không vượt mức cho phép, khi biết $K\ge|f''(x)|$ trên $[a,b]$ .Choose $n$ in advance so that the trapezoidal rule error does not exceed a given tolerance, given that $K\ge|f''(x)|$ on $[a,b]$ .

Trong đóWhere

E_T

sai số của quy tắc hình thang, tức hiệu giữa tích phân thật và

T_n

K

một cận trên của

|f''(x)|

với mọi

x

thuộc

[a,b]

n

số khoảng chia

|E_S|\le\dfrac{K(b-a)^5}{180n^4}

Chọn $n$ chẵn để sai số quy tắc Simpson dưới một ngưỡng cho trước, khi biết $K\ge|f^{(4)}(x)|$ trên $[a,b]$ .Choose an even $n$ so that the Simpson's rule error falls below a given threshold, given that $K\ge|f^{(4)}(x)|$ on $[a,b]$ .

Trong đóWhere

E_S

sai số của quy tắc Simpson, tức hiệu giữa tích phân thật và

S_n

K

một cận trên của

|f^{(4)}(x)|

với mọi

x

thuộc

[a,b]

n

số khoảng chia, là số chẵn

Hay hiểu saiCommon misconceptions4 ý · 1 phút đọc4 points · 1 min read

Không viết dấu bằng cho kết quả tích phân số.

Hãy viết $\approx$ . Tổng hình thang chỉ gần đúng, nên viết $\int_a^b f(x)\,dx=$ một con số là sai và có thể mất điểm trình bày.

Tổng trái không phải lúc nào cũng thiếu.

Hàm đồng biến thì tổng trái thiếu, tổng phải thừa. Hàm nghịch biến thì ngược lại. Quy tắc hình thang cho kết quả thừa khi $f''>0$ , thiếu khi $f''<0$ .

Khoảng chia không đều thì không dùng chung một độ rộng.

Với các mốc $t_0<t_1<\cdots$ trong bảng, hình thang thứ $i$ có diện tích $\dfrac12(t_{i+1}-t_i)\big(f(t_i)+f(t_{i+1})\big)$ . Tính từng hình thang rồi cộng lại.

Hai chặn sai số dùng hai số $K$ khác nhau.

Hình thang dùng cận của $|f''|$ , Simpson dùng cận của $|f^{(4)}|$ . Dùng nhầm một $K$ cho cả hai sẽ ra chặn sai số sai.

Never write an equals sign for a numerical integration result; write $\approx$ .

A trapezoidal sum is only an approximation, so writing $\int_a^b f(x)\,dx=$ a decimal is incorrect and can cost presentation points.

A left sum is not always an underestimate.

For an increasing function the left sum underestimates and the right sum overestimates; for a decreasing function it is the reverse. The trapezoidal rule overestimates when $f''>0$ and underestimates when $f''<0$ .

Unequal subintervals cannot share one common width.

For the table values $t_0<t_1<\cdots$ , the $i$ th trapezoid has area $\dfrac12(t_{i+1}-t_i)\big(f(t_i)+f(t_{i+1})\big)$ . Compute each trapezoid separately, then add them.

The two error bounds use two different values of $K$ .

The trapezoidal rule uses a bound on $|f''|$ , and Simpson's rule uses a bound on $|f^{(4)}|$ . Using the same $K$ for both gives an incorrect error bound.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết nguyên biểu thức số học trước khi bấm máy.

Ví dụ $\dfrac12(t_1-t_0)\big(f(t_0)+f(t_1)\big)+\cdots$ , với $t_0,t_1$ là hai mốc đầu trong bảng. Biểu thức thiết lập đúng vẫn được điểm dù bấm máy sai. Chỉ ghi một con số sai thì không có gì để chấm.

Câu hỏi thừa hay thiếu cần một lý do viết ra.

Ví dụ: "vì $f'(x)>0$ trên $[a,b]$ nên tổng trái cho giá trị thiếu". Với quy tắc hình thang, lý do dựa vào dấu $f''$ . Đáp án đúng mà thiếu lý do thường không được trọn điểm.

Write out the full arithmetic expression before using your calculator.

For example, write $\dfrac12(t_1-t_0)\big(f(t_0)+f(t_1)\big)+\cdots$ , where $t_0,t_1$ are the first two values in the table. A correctly set-up expression earns credit even if the calculator entry is wrong, whereas a single incorrect number gives the grader nothing to score.

Any overestimate/underestimate question needs a written justification.

For example: "because $f'(x)>0$ on $[a,b]$ , the left sum is an underestimate." For the trapezoidal rule, base the reason on the sign of $f''$ . A correct answer without a reason usually does not earn full credit.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1915David GibbGottfried Wilhelm LeibnizEudoxusArchimedes

Từ Hy Lạp cổ đại, Eudoxus đưa ra phương pháp vét cạn và Archimedes phát triển nó để tính diện tích, thể tích hình không phải đa giác.

Numerical integration traces back to ancient Greece, where Eudoxus introduced the method of exhaustion and Archimedes developed it to find areas and volumes of shapes that are not polygons.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cụm từ "numerical integration" xuất hiện lần đầu năm 1915 trong công trình của David Gibb về nội suy và tích phân số dành cho phòng thí nghiệm toán. Trước đó, bài toán tính diện tích thường được gọi bằng tên truyền thống là cầu phương (quadrature). Khi phép tính tích phân cho phép tính diện tích theo một cách chung, từ "cầu phương" dần nhường chỗ cho cách nói hiện đại hơn là "tính một tích phân xác định của hàm một biến". Phần "tích phân" trong tên gọi gắn với kí hiệu $\int$ do Leibniz đưa ra năm 1675. Ông lấy kí hiệu này từ chữ ſ (chữ s dài), viết tắt của chữ Latin summa, nghĩa là "tổng". Cách viết hiện đại với cận trên và cận dưới được Joseph Fourier dùng lần đầu vào khoảng 1819–1820.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Đổi phương pháp, gấp đôi số mảnh — xem sai số co lại thế nào

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ diện tích bằng tổng RiemannTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ diện tích bằng tổng RiemannTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsttích phân xác địnhdefinite integral

Dẫn tớiLeads tođịnh lý cơ bản của giải tíchfundamental theorem of calculus

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tổng RiemannRiemann sum

Khác nhau ở đâuHow they differTích phân số là tên chung cho mọi cách tính gần đúng một tích phân xác định. Tổng Riemann chỉ là một nhóm cách cụ thể trong đó, gồm tổng trái, phải và điểm giữa.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề yêu cầu xấp xỉ tích phân từ bảng số liệu mà không nói rõ phương pháp, học sinh dễ tưởng chỉ có tổng Riemann và bỏ qua tổng hình thang.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 411, 555, 557.