AP Calculus BCAP Calculus AB

ký hiệu sigmasigma notation

sigma notationVietnamese: ký hiệu sigma

Còn gọi:Also called: summation notation

Ký hiệu sigma (sigma notation) là cách viết gọn một tổng nhiều số hạng cùng dạng bằng chữ Σ, kèm chỉ số chạy từ cận dưới đến cận trên.Sigma notation is a compact way to write a sum of many terms of the same form using the symbol Σ, with an index that runs from a lower limit to an upper limit.

Trực giác: Ký hiệu sigma giống như tờ phiếu thu ghi gọn "cộng các khoản từ số 1 đến số 20" thay vì chép ra cả hai mươi dòng.Intuition: Sigma notation works like a receipt that says "add the charges from item 1 to item 20" instead of listing all twenty lines.

Công thức chínhKey formula

\sum_{i=m}^{n} a_i = a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Ký hiệu sigma dùng chữ Hy Lạp $\Sigma$ để viết gọn một tổng dài có các số hạng cùng dạng. Chỉ số $i$ chạy từ giá trị ghi dưới $\Sigma$ (số hạng đầu) đến giá trị ghi trên $\Sigma$ (số hạng cuối). Ví dụ: $\sum_{i=1}^{4} i^2 = 1+4+9+16=30$ .

Tổng từ $i=m$ đến $i=n$ có $n-m+1$ số hạng. Đổi tên chỉ số ( $i$ thành $j$ ) không làm đổi giá trị tổng. Còn đổi cận thì phải kiểm tra lại số hạng đầu và cuối. Tổng Riemann trong bài tích phân cũng được viết bằng $\Sigma$ .

Sigma notation uses the Greek letter $\Sigma$ to write a long sum whose terms all have the same form. The index $i$ runs from the value written below $\Sigma$ (the first term) to the value written above it (the last term). For example, $\sum_{i=1}^{4} i^2 = 1+4+9+16=30$ .

A sum from $i=m$ to $i=n$ has $n-m+1$ terms. Renaming the index (changing $i$ to $j$ ) does not change the value of the sum, but if you change the limits, you must recheck the first and last terms. Riemann sums in integration are also written with $\Sigma$ .

Ký hiệuNotation

• $\sum_{i=m}^{n} a_i$ là tổng $a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n$
• $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ là dạng tổng Riemann thường gặp trong đề.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\sum_{\htmlClass{fp-0}{i=m}}^{\htmlClass{fp-1}{n}} \htmlClass{fp-2}{a_i} = \htmlClass{fp-3}{a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n}

Dùng khi cần viết gọn một tổng nhiều số hạng theo quy luật chung, nhất là tổng Riemann $\sum f(x_i)\Delta x$ .Use this to write a sum of many terms that follow a common pattern in compact form, especially a Riemann sum $\sum f(x_i)\Delta x$ .

Trong đóWhere

\sum

Chữ sigma Hy Lạp viết hoa, báo hiệu phép cộng các số hạng

i

Chỉ số chạy, nhận lần lượt các giá trị nguyên từ

m

đến

n

m

Giá trị đầu của chỉ số (cận dưới), thường là

1

hoặc

0

n

Giá trị cuối của chỉ số (cận trên)

a_i

Số hạng thứ

i

của tổng, thường là một biểu thức theo

i

\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Dùng khi tính diện tích dưới đường cong bằng giới hạn tổng Riemann, để rút gọn các số hạng $i^2$ trước khi cho $n\to\infty$ .Use this when finding the area under a curve as the limit of a Riemann sum, to simplify the $i^2$ terms before letting $n\to\infty$ .

Trong đóWhere

i

Chỉ số chạy từ

1

đến

n

n

Số số hạng của tổng, là một số nguyên dương

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Tổng $\sum_{i=m}^{n} a_i$ có $n-m+1$ số hạng, không phải $n$ số hạng.

Chỉ số được đếm cả hai đầu. Chẳng hạn $\sum_{i=3}^{8} a_i$ có sáu số hạng, không phải tám.

Tổng các tích nói chung không bằng tích các tổng.

Nghĩa là $\sum a_ib_i \neq \left(\sum a_i\right)\left(\sum b_i\right)$ . Chẳng hạn với $n=2$ : $\sum i^2=1+4=5$ còn $\left(\sum i\right)^2=3^2=9$ . Chỉ được đưa hằng số ra ngoài và tách $\sum (a_i+b_i)$ thành hai tổng.

Với $c$ là hằng số, $\sum_{i=1}^{n} c = nc$ , không phải $c$ .

Biểu thức bên trong không chứa $i$ nên có $n$ số hạng bằng nhau. Chẳng hạn $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}=n\cdot\frac{1}{n}=1$ .

The sum $\sum_{i=m}^{n} a_i$ has $n-m+1$ terms, not $n$ terms.

Both endpoints of the index range are counted. For example, $\sum_{i=3}^{8} a_i$ has six terms, not eight.

In general, a sum of products does not equal the product of the sums.

That is, $\sum a_ib_i \neq \left(\sum a_i\right)\left(\sum b_i\right)$ . For example, with $n=2$ : $\sum i^2=1+4=5$ , but $\left(\sum i\right)^2=3^2=9$ . You may only factor constants out of a sum and split $\sum (a_i+b_i)$ into two sums.

For a constant $c$ , $\sum_{i=1}^{n} c = nc$ , not $c$ .

The expression inside does not contain $i$ , so the sum has $n$ equal terms. For example, $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}=n\cdot\frac{1}{n}=1$ .

Mẹo phòng thiExam tips3 mẹo3 tips

Viết ra vài số hạng đầu và số hạng cuối trước khi biến đổi tổng.

Cách này cho biết có bao nhiêu số hạng và tránh lệch chỉ số.

Gặp tổng dạng $a_{i+1}-a_i$ , hãy viết ra vài số hạng.

Các số hạng ở giữa triệt tiêu từng cặp. Do đó $\sum_{i=m}^{n}(a_{i+1}-a_i)=a_{n+1}-a_m$ .

Gặp $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}\,f\!\left(\frac{i}{n}\right)$ , với $n$ là số hình chữ nhật, hãy nhận ra đây là tổng Riemann trên đoạn $[0;1]$ .

Khi đó giới hạn bằng $\int_0^1 f(x)\,dx$ , nếu $f$ liên tục.

Write out the first few and last few terms before you manipulate a sum.

This shows how many terms there are and helps you avoid index-shift errors.

When a sum has the form $a_{i+1}-a_i$ , write out several terms.

The middle terms cancel in pairs, so $\sum_{i=m}^{n}(a_{i+1}-a_i)=a_{n+1}-a_m$ .

When you see $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}\,f\!\left(\frac{i}{n}\right)$ , where $n$ is the number of rectangles, recognize it as a Riemann sum on the interval $[0, 1]$ .

If $f$ is continuous, the limit equals $\int_0^1 f(x)\,dx$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1755Leonhard EulerGottfried Wilhelm LeibnizJoseph-Louis LagrangeJoseph Fourier

Năm 1755, Euler dùng chữ Σ làm ký hiệu tổng để viết gọn các tổng dài; năm 1820, Fourier viết thêm cận dưới và cận trên cho Σ.

In 1755, Euler used the letter Σ as a summation symbol to write long sums compactly; in 1820, Fourier added the lower and upper limits to Σ.

Vì sao mang đúng cái tên này? Σ là dạng viết hoa của chữ cái sigma trong bảng chữ cái Hy Lạp, tên gọi bắt nguồn từ từ σίγμα và tương ứng với chữ S. Chọn chữ này cũng hợp với thông lệ trước đó, vì chữ S hoa đã được dùng phổ biến để chỉ phép lấy tổng. Leibniz cũng dùng chữ S kéo dài cho cả tổng lẫn tích phân. Dấu ∫ có hình chữ S vì ông muốn chỉ tổng của các vi phân, tức calculus summatorius trong tiếng Latin. Kí hiệu ∑ cỡ lớn ngày nay chỉ là dạng phóng to của chữ sigma hoa đứng nét.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ diện tích bằng tổng RiemannTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ diện tích bằng tổng RiemannTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstdãy sốsequence

Dẫn tớiLeads totổng RiemannRiemann sum chuỗi vô hạninfinite series

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tổng riêngpartial sum

Khác nhau ở đâuHow they differKý hiệu sigma là cách viết gọn cho mọi tổng có quy luật. Tổng riêng là một tổng cụ thể của

n

số hạng đầu trong một chuỗi.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

\sum_{k=1}^{n} a_k

và hỏi tổng riêng thứ

n

hay hội tụ của chuỗi: ký hiệu sigma chỉ là cách viết, còn tổng riêng mới là đại lượng được xét giới hạn khi

n\to\infty

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 12, 18, 404.