AP Calculus BC

chuỗi vô hạninfinite series

infinite seriesVietnamese: chuỗi vô hạn

Chuỗi vô hạn (infinite series) là tổng của vô số số hạng nối tiếp; nếu tổng các số hạng đầu tiến tới một số hữu hạn khi cộng mãi, số đó là tổng của chuỗi.An infinite series is the sum of infinitely many terms added in order; if the sum of the first n terms approaches a finite number as more terms are added, that number is the sum of the series.

Trực giác: Mỗi bước đi một nửa quãng còn lại tới bức tường. Đi mãi không dừng, tổng quãng đường tiến sát khoảng cách từ chỗ xuất phát đến tường.Intuition: Suppose each step covers half of the remaining distance to a wall. Walking on forever, the total distance traveled gets arbitrarily close to the distance from the starting point to the wall.

Công thức chínhKey formula

\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} s_n,\qquad s_n=\sum_{k=1}^{n} a_k

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Chuỗi vô hạn là phép cộng không dừng $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ , với $a_n$ là số hạng thứ $n$ . Vì không thể cộng xong vô hạn số hạng, ta xét tổng riêng $s_n = a_1 + \cdots + a_n$ , là tổng $n$ số hạng đầu.

Nếu $n$ càng lớn thì $s_n$ càng gần một số hữu hạn $S$ , chuỗi hội tụ và có tổng $S$ . Nếu không, chuỗi phân kì và không có tổng. Chẳng hạn $0{,}333\ldots = \dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{100}+\cdots$ có $s_1=0{,}3$ , $s_2=0{,}33$ , $s_3=0{,}333$ , … càng lúc càng gần $\dfrac13$ . Vậy tổng là $\dfrac13$ .

An infinite series is an addition that never ends: $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ , where $a_n$ is the $n$ th term. Because we cannot actually finish adding infinitely many terms, we look at the partial sums $s_n = a_1 + \cdots + a_n$ , the sum of the first $n$ terms.

If $s_n$ gets closer and closer to a finite number $S$ as $n$ grows, the series converges and has sum $S$ . Otherwise, the series diverges and has no sum. For example, $0.333\ldots = \dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{100}+\cdots$ has $s_1=0.3$ , $s_2=0.33$ , $s_3=0.333$ , and so on, which get closer and closer to $\dfrac13$ . So the sum is $\dfrac13$ .

Ký hiệuNotation

• $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ là chuỗi với số hạng tổng quát $a_n$
• $s_n = a_1+\cdots+a_n$ là tổng riêng thứ $n$
• $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$ nghĩa là $\lim_{n\to\infty} s_n = S$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}=\htmlClass{fp-1}{\lim_{n\to\infty} s_n},\qquad \htmlClass{fp-2}{s_n=\sum_{k=1}^{n} a_k}

Dùng để định nghĩa tổng của chuỗi vô hạn: chuỗi hội tụ khi $s_n$ có giới hạn hữu hạn, ngược lại thì phân kì.This defines the sum of an infinite series: the series converges when $s_n$ has a finite limit, and diverges otherwise.

Trong đóWhere

a_n

số hạng thứ

n

của chuỗi

s_n

tổng riêng (partial sum) thứ

n

, tức tổng của

n

số hạng đầu tiên

n

số nguyên dương chỉ số lượng số hạng đang cộng; cho

n\to\infty

để xét toàn chuỗi

k

chỉ số chạy từ

1

đến

n

khi cộng các số hạng của tổng riêng

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Số hạng $a_n \to 0$ chưa đủ để kết luận chuỗi hội tụ.

Nếu $a_n$ không tiến tới $0$ thì chuỗi chắc chắn phân kì. Chuỗi điều hòa $\sum \dfrac{1}{n}$ có $\dfrac{1}{n}\to 0$ nhưng vẫn phân kì.

Dãy tổng riêng không có giới hạn thì chuỗi phân kì, không có tổng.

Chuỗi $1-1+1-1+\cdots$ có $s_n$ luân phiên $1, 0, 1, 0, \dots$ nên không có giới hạn. Không được tự chọn $1$ , $0$ hay $\tfrac12$ làm "tổng".

Having $a_n \to 0$ is not enough to conclude that a series converges.

If $a_n$ does not approach $0$ , the series definitely diverges, but the converse fails: the harmonic series $\sum \dfrac{1}{n}$ has $\dfrac{1}{n}\to 0$ and still diverges.

If the sequence of partial sums has no limit, the series diverges and has no sum.

The series $1-1+1-1+\cdots$ has partial sums $s_n$ alternating $1, 0, 1, 0, \dots$ , so there is no limit. You cannot simply choose $1$ , $0$ , or $\tfrac12$ as the "sum."

Mẹo phòng thiExam tips1 mẹo1 tip

Ghi điều kiện trước khi dùng kiểm định.

Kiểm định tích phân cần $a_n=f(n)$ với $f$ dương, liên tục, nghịch biến khi $x\ge1$ . Chuỗi hình học cần ghi số hạng đầu $a$ , công bội $r$ và $|r|<1$ . Thang chấm thường cho điểm riêng các dòng này.

State the conditions before applying a test.

The integral test requires $a_n=f(n)$ with $f$ positive, continuous, and decreasing for $x\ge1$ . For a geometric series, state the first term $a$ , the common ratio $r$ , and $|r|<1$ . Scoring rubrics often award separate points for these lines.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

thế kỷ 17 (thuật ngữ); ý tưởng cộng vô hạn số hạng có từ thời Hy Lạp cổ đạiJames GregoryArchimedesNicole OresmeIsaac NewtonCarl Friedrich GaussAugustin-Louis Cauchy

Archimedes đã dùng ý cộng vô hạn số hạng để tính diện tích dưới cung parabol; khái niệm giới hạn về sau đặt ý đó trên nền chặt chẽ.

Archimedes used the idea of adding infinitely many terms to find the area under a parabolic arc; the concept of a limit later put that idea on a rigorous foundation.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi vô hạn hội tụ và phân kỳDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi hình học: nhận diện và tính tổngDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDãy số & chuỗi vô hạnDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firsttổng riêngpartial sum ký hiệu sigmasigma notation

Dẫn tớiLeads tochuỗi TaylorTaylor series

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

dãy sốsequence

Khác nhau ở đâuHow they differDãy số là danh sách các số hạng

a_1, a_2, a_3,\dots

xếp theo thứ tự. Chuỗi vô hạn là tổng của tất cả các số hạng đó, và được xét qua dãy tổng riêng.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

a_n \to 0

rồi hỏi chuỗi

\sum a_n

có hội tụ không: dãy hội tụ về 0 chưa đủ để kết luận chuỗi hội tụ, chẳng hạn chuỗi điều hoà vẫn phân kỳ.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 39–40, 129.