AP Calculus BC

bị chặn dướibounded below

bounded belowVietnamese: bị chặn dưới

Bị chặn dưới (bounded below) là tính chất của dãy số hoặc hàm số khi tồn tại một số thực nhỏ hơn hoặc bằng mọi giá trị của nó.Bounded below is a property of a sequence or function: there is a real number that is less than or equal to every one of its values.

Trực giác: Bị chặn dưới giống như sàn nhà của một căn phòng: quả bóng có thể nảy thế nào thì nảy, nhưng không bao giờ lọt xuống thấp hơn mặt sàn.Intuition: Being bounded below is like having a floor in a room: the ball can bounce however it likes, but it never drops below the floor.

Công thức chínhKey formula

\exists m \in \mathbb{R},\ \forall n \ge 1:\ m \le a_n

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Dãy số $a_1, a_2, a_3,\dots$ bị chặn dưới nếu có số $m$ sao cho $a_n \ge m$ với mọi số hạng $a_n$ . Số $m$ gọi là một cận dưới. Ví dụ, dãy $a_n=n$ có $a_n\ge 1$ với mọi $n$ , nên bị chặn dưới bởi $1$ .

Cận dưới không duy nhất, vì mọi số nhỏ hơn $m$ cũng là cận dưới. Nên chỉ cần chỉ ra một cận. Dãy $a_n=n$ không bị chặn trên. Dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ, nên ta biết dãy có giới hạn mà chưa cần tính nó.

A sequence $a_1, a_2, a_3,\dots$ is bounded below if there is a number $m$ such that $a_n \ge m$ for every term $a_n$ . The number $m$ is called a lower bound. For example, the sequence $a_n=n$ satisfies $a_n\ge 1$ for all $n$ , so it is bounded below by $1$ .

A lower bound is not unique, because any number less than $m$ is also a lower bound, so it is enough to exhibit just one. The sequence $a_n=n$ is not bounded above. A decreasing sequence that is bounded below converges, so we know the sequence has a limit without having to compute it.

Ký hiệuNotation

• $m \le a_n$ với mọi $n$
• $m$ là cận dưới của dãy $\{a_n\}$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{\exists m \in \mathbb{R}},\ \htmlClass{fp-1}{\forall n \ge 1}:\ \htmlClass{fp-2}{m \le a_n}

Dùng để kiểm tra dãy có cận dưới; kết hợp với tính nghịch biến để kết luận dãy hội tụ. $m$ không cần là số hạng nhỏ nhất.Use this to check whether a sequence has a lower bound; combined with the sequence being decreasing, it shows the sequence converges. The number $m$ need not be the smallest term.

Trong đóWhere

m

một hằng số thực làm cận dưới của dãy; mọi số nhỏ hơn

m

cũng là một cận dưới

a_n

số hạng thứ

n

của dãy

\{a_n\}

n

chỉ số của số hạng, chạy qua các số nguyên dương

1, 2, 3, \dots

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Bị chặn dưới không có nghĩa là dãy đạt giá trị nhỏ nhất.

Cận dưới chỉ cần nhỏ hơn hoặc bằng mọi số hạng, không cần là số hạng của dãy. Dãy $a_n=1/n$ bị chặn dưới bởi $0$ dù không số hạng nào bằng $0$ .

Bị chặn dưới không có nghĩa là bị chặn.

Dãy bị chặn phải có cả cận trên lẫn cận dưới. Dãy $a_n=n^2$ bị chặn dưới bởi $0$ nhưng không có cận trên.

Cận dưới không phải là giới hạn của dãy.

Cận dưới có vô số lựa chọn, còn giới hạn chỉ có một. Dãy $a_n=2+1/n$ có cận dưới $0$ , $1$ , $2$ nhưng giới hạn là $2$ .

Being bounded below does not mean the sequence attains a minimum value.

A lower bound only has to be less than or equal to every term, and it need not be a term of the sequence. The sequence $a_n=1/n$ is bounded below by $0$ even though no term equals $0$ .

Being bounded below does not mean the sequence is bounded.

A bounded sequence must have both an upper bound and a lower bound. The sequence $a_n=n^2$ is bounded below by $0$ but has no upper bound.

A lower bound is not the limit of the sequence.

A sequence has infinitely many lower bounds but only one limit. The sequence $a_n=2+1/n$ has lower bounds $0$ , $1$ , and $2$ , but its limit is $2$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Dãy tăng luôn bị chặn dưới bởi số hạng đầu $a_1$ .

Các số hạng sau chỉ lớn hơn hoặc bằng $a_1$ . Vì vậy với dãy tăng, bài toán thường chỉ còn hỏi có bị chặn trên không.

Dãy giảm phải có thêm cận dưới mới kết luận được hội tụ.

Chỉ giảm thì chưa đủ. Dãy $a_n=-n$ giảm nhưng không có cận dưới, nên không hội tụ.

An increasing sequence is always bounded below by its first term $a_1$ .

Every later term is greater than or equal to $a_1$ . So for an increasing sequence, the only question left is usually whether it is bounded above.

A decreasing sequence needs a lower bound before you can conclude that it converges.

Decreasing alone is not enough. The sequence $a_n=-n$ is decreasing but has no lower bound, so it does not converge.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCÍt gặpUncommon

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi vô hạn hội tụ và phân kỳDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDãy số & chuỗi vô hạnDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction tập giá trịrange

Dẫn tớiLeads tođịnh lý giá trị cực biênextreme value theorem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

bị chặn trênbounded above

Khác nhau ở đâuHow they differBị chặn dưới nghĩa là tồn tại số

m

sao cho

f(x)\ge m

với mọi

x

. Bị chặn trên nghĩa là tồn tại số

M

sao cho

f(x)\le M

với mọi

x

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề hỏi hàm như

f(x)=x^2

hay

f(x)=e^{-x}

có bị chặn không, học sinh hay chỉ xét một phía. Cần kiểm tra riêng từng phía:

x^2

bị chặn dưới bởi

0

nhưng không bị chặn trên.

giá trị nhỏ nhất của hàm sốabsolute minimum

Khác nhau ở đâuHow they differBị chặn dưới chỉ đòi hỏi có một số không lớn hơn mọi giá trị của hàm. Giá trị nhỏ nhất còn đòi hỏi số đó phải được hàm đạt tới tại một điểm nào đó.

Hay nhầm khiMixed up whenHàm

f(x)=e^{x}

bị chặn dưới bởi

0

nhưng không bao giờ bằng

0

, nên không có giá trị nhỏ nhất. Đề hay dùng ví dụ này để kiểm tra sự khác biệt.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 461, 733–734.