AP Calculus BC

sự phân kỳ của chuỗidivergence of a series

divergence of a seriesVietnamese: sự phân kỳ của chuỗi

Sự phân kỳ của chuỗi (divergence of a series) là việc cộng càng nhiều số hạng thì tổng càng không tiến về một số thực cố định, nên chuỗi không có tổng.The divergence of a series means that adding more and more terms does not make the sum approach any fixed real number, so the series has no sum.

Trực giác: Giống như theo dõi số dư tài khoản: nếu số dư cứ tăng mãi, hoặc cứ nhảy qua lại mà không tiến dần về một con số, thì chuỗi phân kỳ.Intuition: Think of tracking a bank balance: if the balance keeps growing forever, or keeps jumping back and forth without settling toward a single number, the series diverges.

Công thức chínhKey formula

S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Chuỗi $\sum a_n$ phân kỳ khi cộng càng nhiều số hạng thì tổng không tiến về một số thực cố định. Gọi $S_N=a_1+\cdots+a_N$ là tổng của $N$ số hạng đầu (tổng riêng). Chuỗi phân kỳ khi $S_N$ không có giới hạn hữu hạn lúc $N$ tăng mãi.

Với $\sum 1$ , ta có $S_N=N$ tăng mãi. Với $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n$ , $S_N$ lần lượt là $1,0,1,0,\dots$ nên cũng phân kỳ. Nếu $a_n$ không tiến về $0$ thì chuỗi phân kỳ. Chiều ngược lại sai: $\sum\frac1n$ có $\frac1n\to 0$ nhưng vẫn phân kỳ.

The divergence of a series $\sum a_n$ occurs when the sum does not approach a fixed real number as more terms are added. Let $S_N=a_1+\cdots+a_N$ be the sum of the first $N$ terms (the partial sum). The series diverges when $S_N$ has no finite limit as $N$ increases without bound.

For $\sum 1$ , $S_N=N$ grows without bound. For $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n$ , the partial sums $S_N$ alternate $1,0,1,0,\dots$ , so this series also diverges. If $a_n$ does not approach $0$ , the series diverges. The converse is false: $\sum\frac1n$ has $\frac1n\to 0$ but still diverges.

Ký hiệuNotation

• $S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n$ là tổng riêng
•chuỗi $\sum a_n$ phân kỳ khi $\lim_{N\to\infty} S_N$ không tồn tại hoặc bằng $\pm\infty$ . Trong đề AP thường viết "the series diverges".

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

S_n=\htmlClass{fp-1}{\sum_{k=1}^{n}\htmlClass{fp-0}{a_k}}

Dùng khi xét hội tụ theo định nghĩa: chuỗi phân kỳ nếu $\lim S_n$ không tồn tại hoặc bằng $\pm\infty$ .Use this when testing convergence from the definition: a series diverges if $\lim S_n$ does not exist or equals $\pm\infty$ .

Trong đóWhere

S_n

tổng riêng thứ

n

, là tổng của

n

số hạng đầu tiên của chuỗi

a_k

số hạng thứ

k

của chuỗi

n

số số hạng được cộng lại, là chỉ số của tổng riêng

\htmlClass{fp-0}{\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0} \implies \htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-1}{\sum_{n=1}^{\infty} a_n} \text{ diverges}}

Dùng để kết luận nhanh chuỗi phân kỳ khi $a_n$ không về 0; nếu $\lim a_n=0$ thì phép thử không kết luận được.Use this to conclude quickly that a series diverges when $a_n$ does not approach 0; if $\lim a_n=0$ , the test is inconclusive.

Trong đóWhere

a_n

số hạng thứ

n

của chuỗi

\lim_{n\to\infty} a_n

giới hạn của số hạng tổng quát khi

n

tiến ra vô cùng; "

\neq 0

" gồm cả trường hợp giới hạn không tồn tại

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Số hạng tiến về 0 chưa đủ để kết luận chuỗi hội tụ.

Đây chỉ là điều kiện cần. Chuỗi $\sum\frac1n$ có $\frac1n\to 0$ nhưng tổng riêng tăng không giới hạn, nên vẫn phân kỳ. Khi $a_n\to 0$ , phép thử số hạng thứ n không kết luận được.

Phân kỳ không có nghĩa là tổng tiến ra vô cùng.

Tổng riêng dao động cũng là phân kỳ. Chuỗi $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n$ có tổng riêng $1,0,1,0,\dots$ nên không tiến về số nào. Hãy xét tổng riêng có dần về một số cố định hay không, đừng chỉ xem nó có "nổ" không.

Terms that approach 0 do not guarantee that a series converges.

This is only a necessary condition. The series $\sum\frac1n$ has $\frac1n\to 0$ , yet its partial sums grow without bound, so it diverges. When $a_n\to 0$ , the nth-term test is inconclusive.

Divergence does not always mean the sum goes to infinity.

A series whose partial sums oscillate also diverges. The series $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n$ has partial sums $1,0,1,0,\dots$ , which do not approach any number. Check whether the partial sums settle toward a fixed number, not just whether they "blow up."

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Tính $\lim a_n$ rồi mới kết luận, và kết luận đúng chiều.

Bài AP chấm theo bước. Nếu giới hạn khác 0, ghi "chuỗi phân kỳ theo phép thử số hạng thứ n". Nếu bằng 0, ghi phép thử không kết luận được và đổi sang phép thử khác.

Với chuỗi hình học, kiểm tra $|r|<1$ trước khi dùng công thức tổng.

Chuỗi hình học là $a+ar+ar^2+\cdots$ với $a\neq 0$ , $r$ là công bội. Khi $|r|\ge 1$ chuỗi phân kỳ, kể cả $r=1$ và $r=-1$ . Chỉ khi $|r|<1$ mới dùng $\frac{a}{1-r}$ .

Compute $\lim a_n$ before drawing a conclusion, and state the conclusion in the correct direction.

AP free-response questions are scored step by step. If the limit is nonzero, write "the series diverges by the nth-term test." If the limit is 0, state that the test is inconclusive and switch to another test.

For a geometric series, check that $|r|<1$ before using the sum formula.

A geometric series has the form $a+ar+ar^2+\cdots$ with $a\neq 0$ , where $r$ is the common ratio. When $|r|\ge 1$ the series diverges, including the cases $r=1$ and $r=-1$ . Use $\frac{a}{1-r}$ only when $|r|<1$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1821Nicole OresmeAugustin-Louis Cauchy

Thời trung cổ Oresme chứng minh chuỗi điều hòa phân kỳ; năm 1821 Cauchy định nghĩa hội tụ qua tổng riêng, nên phân kỳ là trường hợp không hội tụ.

In the Middle Ages, Oresme proved that the harmonic series diverges. In 1821, Cauchy defined convergence using partial sums, so divergence is simply the case where a series does not converge.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên "phân kỳ" không mang hình ảnh gì riêng, vì nó chỉ là phủ định của "hội tụ". Chuỗi $\sum a_n$ hội tụ khi giới hạn $\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N} a_n$ tồn tại và hữu hạn, tức là dãy các tổng riêng tiến tới một số xác định. Nếu giới hạn ấy không tồn tại hoặc không hữu hạn, chuỗi được gọi là phân kỳ. Vì vậy, một cái tên duy nhất phải gộp cả những chuỗi tăng vô hạn như $1+2+3+4+\cdots$ lẫn những chuỗi dao động mãi như $1-1+1-1+\cdots$ . Cách đặt tên này gắn với một bước ngoặt lịch sử. Sau khi Cauchy đưa ra định nghĩa hội tụ, cùng tiêu chuẩn Cauchy (Cauchy criterion) cho phép kiểm tra hội tụ mà không cần biết trước giới hạn, nhiều nhà toán học trở nên e dè với chuỗi phân kỳ, một phần vì chưa ai định nghĩa được "tổng" của chúng. Abel từng nói rằng chuỗi phân kỳ là phát minh của quỷ dữ và dựa vào chúng để chứng minh điều gì là đáng xấu hổ. Các nguồn đã đọc không nêu gốc từ Latinh của chữ "diverge", nên phần này chỉ dừng ở nghĩa được định nghĩa qua sự hội tụ.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi vô hạn hội tụ và phân kỳDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn số hạng thứ n cho phân kỳDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi điều hòa và chuỗi pDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firsttổng riêngpartial sum chuỗi vô hạninfinite series

Dẫn tớiLeads totiêu chuẩn phân kỳdivergence test

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

dãy số phân kỳdivergent sequence

Khác nhau ở đâuHow they differDãy số phân kỳ khi chính các số hạng

a_n

không có giới hạn hữu hạn. Chuỗi phân kỳ khi dãy tổng riêng

S_n

không có giới hạn hữu hạn.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

a_n \to 0

rồi hỏi chuỗi

\sum a_n

có hội tụ không: số hạng dần về 0 chưa đủ để kết luận chuỗi hội tụ, như chuỗi điều hoà.

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Học tiếp từ đâyKeep learning

Hay nhầm vớiOften confused with

Cùng chủ đềSame topic