AP Calculus BC

chuỗi điều hoàharmonic series

harmonic seriesVietnamese: chuỗi điều hoà

Chuỗi điều hoà (harmonic series) là chuỗi cộng nghịch đảo của các số nguyên dương, 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …, và nó phân kỳ dù số hạng tiến về 0.The harmonic series is the sum of the reciprocals of the positive integers, $1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$ , and it diverges even though its terms approach 0.

Trực giác: Đi từng bước, bước nào cũng ngắn hơn bước trước và nhỏ dần về 0. Nhưng cộng tất cả các bước lại thì vẫn đi xa tuỳ ý.Intuition: Imagine taking a walk in which each step is shorter than the last and the steps shrink toward 0. Even so, the total distance you cover can grow beyond any limit.

Công thức chínhKey formula

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Chuỗi điều hoà (harmonic series) là chuỗi $1+\frac12+\frac13+\cdots$ , cộng nghịch đảo của các số nguyên dương. Số hạng thứ $n$ là $\frac1n$ , tiến về $0$ khi $n$ lớn dần. Gọi $s_k$ là tổng $k$ số hạng đầu. Khi $k$ lớn dần, $s_k$ tăng không giới hạn, nên chuỗi phân kỳ. Cụ thể, $s_{2^n}\ge 1+\frac n2$ với mọi $n\ge 0$ .

Vậy số hạng tiến về $0$ chỉ là điều kiện cần, chưa đủ để hội tụ. Chuỗi $\sum\frac1{n^p}$ hội tụ khi $p>1$ và phân kỳ khi $p\le 1$ . Chuỗi điều hoà ứng với $p=1$ .

The harmonic series is the series $1+\frac12+\frac13+\cdots$ , the sum of the reciprocals of the positive integers. Its $n$ th term is $\frac1n$ , which approaches $0$ as $n$ grows. Let $s_k$ be the sum of the first $k$ terms. As $k$ grows, $s_k$ increases without bound, so the series diverges. Specifically, $s_{2^n}\ge 1+\frac n2$ for all $n\ge 0$ .

Thus, terms that approach $0$ are a necessary condition for convergence, but not a sufficient one. The series $\sum\frac1{n^p}$ converges when $p>1$ and diverges when $p\le 1$ . The harmonic series is the case $p=1$ .

Ký hiệuNotation

• $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$
•tổng riêng $s_n = 1+\tfrac12+\cdots+\tfrac1n$ (còn ký hiệu $H_n$ )
•trường hợp $p=1$ của $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-1}{\sum_{n=1}^{\infty}\htmlClass{fp-0}{\frac{1}{n}}}=\htmlClass{fp-2}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots}

Dùng khi số hạng tổng quát là $1/n$ : chuỗi phân kỳ, và là chuỗi chuẩn để so sánh (chuỗi $p$ với $p=1$ ).Use this when the general term is $1/n$ : the series diverges, and it serves as the standard series for comparison (the $p$ -series with $p=1$ ).

Trong đóWhere

n

chỉ số của số hạng, chạy qua các số nguyên dương

1, 2, 3, \dots

\frac{1}{n}

số hạng thứ

n

của chuỗi

\htmlClass{fp-0}{s_{2^n}}\ge\htmlClass{fp-2}{1+\htmlClass{fp-1}{\frac{n}{2}}}

Dùng khi chứng minh phân kỳ bằng cách gom nhóm: $s_{2^n}$ lớn hơn cận dưới tiến ra vô cùng nên tổng riêng không bị chặn.Use this when proving divergence by grouping terms: the lower bound for $s_{2^n}$ goes to infinity, so the partial sums are unbounded.

Trong đóWhere

s_k

tổng riêng (partial sum) của

k

số hạng đầu:

s_k=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{k}

n

số nhóm đã gom, nguyên dương; tổng riêng lấy đến số hạng thứ

2^n

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Số hạng tiến về $0$ chưa đủ để chuỗi hội tụ.

Ở chuỗi điều hoà, $\frac1n\to 0$ nhưng $s_k$ vẫn tăng mãi, nên chuỗi phân kỳ. Khi số hạng tiến về $0$ , ta phải dùng thêm một tiêu chuẩn khác.

Chuỗi điều hoà khác chuỗi điều hoà đan dấu.

$\sum \frac{1}{n}$ phân kỳ, còn $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ hội tụ theo tiêu chuẩn chuỗi đan dấu. Dấu $(-1)^{n+1}$ làm đổi kết luận.

Phân kỳ không có nghĩa là tổng rất lớn nhưng hữu hạn.

Tổng tăng chậm nên dễ tạo cảm giác "sắp dừng". 1000 số hạng đầu mới cho tổng khoảng $7{,}5$ , nhưng tổng vẫn vượt mọi số cho trước. Đừng đoán hội tụ từ vài chục số hạng đầu.

Terms approaching $0$ do not guarantee that a series converges.

In the harmonic series, $\frac1n\to 0$ , yet $s_k$ keeps growing, so the series diverges. When the terms approach $0$ , you need another test to decide convergence.

The harmonic series is not the same as the alternating harmonic series.

$\sum \frac{1}{n}$ diverges, while $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ converges by the Alternating Series Test. The factor $(-1)^{n+1}$ changes the conclusion.

A divergent series does not have a very large but finite sum.

The partial sums grow so slowly that they can seem to level off. The first 1000 terms add up to only about $7.5$ , yet the sums eventually exceed any given number. Do not infer convergence from the first few dozen terms.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi so sánh với $\sum\frac1n$ , hãy xét đúng hướng bất đẳng thức.

Nếu $a_n\ge\frac1n$ với mọi $n$ thì $\sum a_n$ phân kỳ. Nếu $a_n\le\frac1n$ thì chưa kết luận được. Ví dụ $\frac1{n^2}\le\frac1n$ nhưng $\sum\frac1{n^2}$ hội tụ.

Chuỗi điều hoà có mẫu số đúng bằng $n$ và không có dấu đan.

Các chuỗi dễ nhầm với nó là $\sum\frac1{n^2}$ , $\sum\frac1{2^n}$ và chuỗi đan dấu $\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ . Cả ba đều hội tụ.

When comparing with $\sum\frac1n$ , check the direction of the inequality.

If $a_n\ge\frac1n$ for all $n$ , then $\sum a_n$ diverges. If $a_n\le\frac1n$ , the test is inconclusive. For example, $\frac1{n^2}\le\frac1n$ , but $\sum\frac1{n^2}$ converges.

The harmonic series has denominator exactly $n$ and no alternating signs.

Series easily confused with it are $\sum\frac1{n^2}$ , $\sum\frac1{2^n}$ , and the alternating series $\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ . All three converge.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1350Nicole OresmePietro MengoliJohann BernoulliJacob Bernoulli

Năm 1350, Nicole Oresme chứng minh chuỗi điều hoà phân kỳ bằng cách gộp số hạng thành các khối 2, 4, 8, … số hạng, mỗi khối có tổng lớn hơn

\frac12

In 1350, Nicole Oresme proved that the harmonic series diverges by grouping its terms into blocks of 2, 4, 8, … terms, each block summing to more than

\frac12

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên "điều hoà" bắt nguồn từ khái niệm họa âm (harmonics) trong âm nhạc. Khi một sợi dây đàn rung, bước sóng của các họa âm lần lượt ứng với các số hạng $\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ của chuỗi. Vì vậy dãy nghịch đảo của các số nguyên dương được gọi là "điều hoà", theo đúng quan hệ giữa các âm cùng vang trên một dây. Ý niệm này có gốc rất xa. Việc nghiên cứu các dãy điều hoà đã có ít nhất từ thế kỷ 6 trước Công nguyên, khi Pythagoras và các môn đồ tìm hiểu mối liên hệ giữa toán học và âm thanh. Người ta cho rằng Archytas hoặc một người cùng thời đã gọi một loại trung bình là "điều hoà", vì nó cho một cách chia quãng tám (octave) trong âm nhạc. Tuy nhiên, các nguồn không nói chắc ai là người đầu tiên dùng đúng cụm từ "chuỗi điều hoà" trong ngữ cảnh toán học.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi điều hòa và chuỗi pDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn số hạng thứ n cho phân kỳDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn tích phân cho hội tụ của chuỗi sốDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstchuỗi vô hạninfinite series tổng riêngpartial sum

Dẫn tớiLeads totiêu chuẩn tích phânintegral test tiêu chuẩn so sánhcomparison test

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

chuỗi hình họcgeometric series

Khác nhau ở đâuHow they differChuỗi điều hoà có số hạng

\tfrac1n

giảm chậm nên luôn phân kỳ. Chuỗi hình học có số hạng nhân với công bội

r

và hội tụ khi

|r|<1

Hay nhầm khiMixed up whenCả hai đều có số hạng tiến về 0, nên dễ cho rằng chuỗi điều hoà cũng hội tụ như chuỗi hình học có

|r|<1

chuỗi đan dấualternating series

Khác nhau ở đâuHow they differChuỗi điều hoà có mọi số hạng dương và phân kỳ. Chuỗi điều hoà đan dấu

\sum (-1)^{n+1}/n

thì hội tụ có điều kiện.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

\sum (-1)^{n+1}/n

và hỏi hội tụ tuyệt đối hay có điều kiện; học sinh quên rằng chuỗi các giá trị tuyệt đối chính là chuỗi điều hoà phân kỳ.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 745, 759–760.