AP Calculus BC

tiêu chuẩn tích phânintegral test

integral testVietnamese: tiêu chuẩn tích phân

Tiêu chuẩn tích phân (integral test) là phép thử cho chuỗi số dương giảm: chuỗi hội tụ khi và chỉ khi tích phân suy rộng tương ứng hội tụ.The integral test determines whether a series of positive, decreasing terms converges: the series converges if and only if the corresponding improper integral converges.

Trực giác: Xếp thanh gỗ rộng 1 đơn vị sát nhau dưới sườn dốc đi xuống. Diện tích dưới dốc hữu hạn thì tổng diện tích thanh gỗ hữu hạn, và ngược lại.Intuition: Picture planks of width 1 placed side by side under a downward-sloping curve. If the area under the curve is finite, the total area of the planks is finite, and vice versa.

Công thức chínhKey formula

a_n=f(n),\quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n \;\text{and}\; \int_1^{\infty} f(x)\,dx \;\text{both converge or both diverge}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tiêu chuẩn tích phân (integral test) cho biết chuỗi số dương $\sum a_n$ hội tụ hay phân kỳ bằng cách so với diện tích dưới một đường cong. Với $a_n=1/n^2$ , lấy $f(x)=1/x^2$ . Tích phân $\int_1^\infty f(x)\,dx=1$ hữu hạn, nên chuỗi hội tụ. Điều kiện: $f(n)=a_n$ và $f$ dương, liên tục, nghịch biến trên $[1,\infty)$ . Khi đó chuỗi và tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Ba điều kiện này chỉ cần đúng từ một số $N$ trở đi, khi đó ta xét $\int_N^\infty f(x)\,dx$ . Tiêu chuẩn không cho biết tổng chuỗi, nhưng giúp ước lượng nó. Gọi $R_n$ là phần dư sau $n$ số hạng, tức tổng các số hạng từ $a_{n+1}$ trở đi. Nếu $f$ dương, liên tục, nghịch biến trên $[n,\infty)$ thì $\int_{n+1}^{\infty} f(x)\,dx \le R_n \le \int_{n}^{\infty} f(x)\,dx$ . Chuỗi $\sum 1/n^p$ hội tụ khi và chỉ khi $p>1$ .

The integral test decides whether a series of positive terms $\sum a_n$ converges or diverges by comparing it with the area under a curve. For $a_n=1/n^2$ , take $f(x)=1/x^2$ . The improper integral $\int_1^\infty f(x)\,dx=1$ is finite, so the series converges. The test requires $f(n)=a_n$ and $f$ positive, continuous, and decreasing on $[1,\infty)$ . Under these conditions, the series and the integral either both converge or both diverge.

These three conditions only need to hold from some number $N$ onward, in which case we examine $\int_N^\infty f(x)\,dx$ . The test does not give the sum of the series, but it helps estimate it. Let $R_n$ be the remainder after $n$ terms, that is, the sum of the terms from $a_{n+1}$ onward. If $f$ is positive, continuous, and decreasing on $[n,\infty)$ , then $\int_{n+1}^{\infty} f(x)\,dx \le R_n \le \int_{n}^{\infty} f(x)\,dx$ . The series $\sum 1/n^p$ converges if and only if $p>1$ .

Ký hiệuNotation

• $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ là chuỗi cần xét
• $f(x)$ là hàm thỏa $f(n)=a_n$
• $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ là tích phân suy rộng, hiểu là $\lim_{b\to\infty}\int_1^b f(x)\,dx$ .

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

\htmlClass{fp-0}{a_n=f(n)},\quad \htmlClass{fp-1}{\sum_{n=1}^{\infty} a_n} \;\text{and}\; \htmlClass{fp-2}{\int_1^{\infty} f(x)\,dx} \;\htmlClass{fp-3}{\text{both converge or both diverge}}

Dùng khi $a_n>0$ , $a_n=f(n)$ với $f$ liên tục, nghịch biến và $\int f(x)\,dx$ tính được, để xét chuỗi hội tụ hay phân kỳ.Use this when $a_n>0$ and $a_n=f(n)$ , where $f$ is continuous and decreasing and $\int f(x)\,dx$ can be evaluated, to decide whether the series converges or diverges.

Trong đóWhere

a_n

số hạng thứ

n

của chuỗi, dương

f

hàm liên tục, dương, nghịch biến trên

[1,\infty)

với

f(n)=a_n

\int_1^{\infty} f(x)\,dx

tích phân suy rộng, hiểu là

\lim_{t\to\infty}\int_1^t f(x)\,dx

\int_{n+1}^{\infty} f(x)\,dx \le R_n \le \int_{n}^{\infty} f(x)\,dx

Khi chuỗi hội tụ, dùng để ước lượng sai số $R_n=s-s_n$ và chọn $n$ đủ lớn cho độ chính xác cần.When the series converges, use this to estimate the error $R_n=s-s_n$ and to choose $n$ large enough for the required accuracy.

Trong đóWhere

R_n

phần dư

s-s_n

, tức tổng của các số hạng từ

a_{n+1}

trở đi

f

hàm liên tục, dương, nghịch biến với

f(k)=a_k

n

số số hạng đã cộng trong tổng riêng

s_n

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\ \text{converges} \iff p>1

Dùng để kết luận chuỗi $p$ hội tụ khi $p>1$ ; thường làm chuỗi mốc để so sánh.Use this to conclude that the $p$ -series converges when $p>1$ ; it is often used as a benchmark series for comparison.

Trong đóWhere

p

số mũ của

n

ở mẫu số, là hằng số thực

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Tích phân hội tụ không cho biết tổng chuỗi.

Với $f(x)=1/x^2$ , tích phân $\int_1^\infty f(x)\,dx$ bằng $1$ , còn $\sum 1/n^2=\pi^2/6\approx 1{,}645$ . Hai giá trị này khác nhau, tích phân chỉ giúp chặn tổng.

Chuỗi có số hạng đổi dấu thì không dùng được tiêu chuẩn này.

Tiêu chuẩn cần $f$ dương. Với $\sum \cos n/e^n$ , hàm $\cos x/e^x$ lúc âm lúc dương. Không dùng được không có nghĩa là chuỗi phân kỳ.

Phải tích phân đúng hàm $f$ có $f(n)=a_n$ .

Với $a_n=\frac{n}{n^2+1}$ , nếu viết nhầm $\int_1^\infty \frac{dx}{x^2+1}$ thì ra hội tụ. Tích phân đúng $\int_1^\infty \frac{x}{x^2+1}\,dx$ phân kỳ, nên chuỗi phân kỳ.

A convergent integral does not give the sum of the series.

For $f(x)=1/x^2$ , the integral $\int_1^\infty f(x)\,dx$ equals $1$ , while $\sum 1/n^2=\pi^2/6\approx 1.645$ . The two values differ; the integral only bounds the sum.

The integral test cannot be applied to a series whose terms change sign.

The test requires $f$ to be positive. For $\sum \cos n/e^n$ , the function $\cos x/e^x$ is sometimes negative and sometimes positive. Being unable to use the test does not mean the series diverges.

You must integrate the function $f$ that satisfies $f(n)=a_n$ .

For $a_n=\frac{n}{n^2+1}$ , mistakenly writing $\int_1^\infty \frac{dx}{x^2+1}$ gives convergence. The correct integral $\int_1^\infty \frac{x}{x^2+1}\,dx$ diverges, so the series diverges.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Trước khi tính tích phân, hãy nêu $N$ và kiểm tra $f$ dương, liên tục, giảm trên $[N,\infty)$ .

Với $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$ , ghi $x\ge 2$ vì $\ln 1=0$ . Chứng minh giảm bằng $f'(x)<0$ , hoặc mẫu số tăng khi tử số là hằng số dương. Bài tự luận AP thường cho điểm riêng bước này.

Muốn chọn đúng bất đẳng thức, hãy vẽ các hình chữ nhật rộng 1.

Với $f$ giảm, hình chữ nhật lấy chiều cao bên phải nằm dưới đường cong, nên $\sum_{n=2}^{\infty}a_n\le\int_1^\infty f(x)\,dx$ . Lấy chiều cao bên trái thì ngược lại: $\sum_{n=1}^{\infty}a_n\ge\int_1^\infty f(x)\,dx$ . Chú ý tổng bắt đầu từ $n=1$ hay $n=2$ .

State $N$ and verify that $f$ is positive, continuous, and decreasing on $[N,\infty)$ before evaluating the integral.

For $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$ , write $x\ge 2$ because $\ln 1=0$ . Show that $f$ is decreasing by using $f'(x)<0$ , or by noting that the denominator increases while the numerator is a positive constant. AP free-response questions often award a separate point for this step.

To choose the correct inequality, sketch rectangles of width 1.

For decreasing $f$ , rectangles using right-endpoint heights lie below the curve, so $\sum_{n=2}^{\infty}a_n\le\int_1^\infty f(x)\,dx$ . Using left-endpoint heights reverses the inequality: $\sum_{n=1}^{\infty}a_n\ge\int_1^\infty f(x)\,dx$ . Watch whether the sum starts at $n=1$ or $n=2$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn tích phân cho hội tụ của chuỗi sốDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi điều hòa và chuỗi pDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân suy rộng: xử lý cận vô cực và hàm không bị chặnTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstchuỗi vô hạninfinite series

Dẫn tớiLeads tochuỗi pp-series chuỗi điều hoàharmonic series

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tiêu chuẩn so sánhcomparison test

Khác nhau ở đâuHow they differTiêu chuẩn tích phân so chuỗi với một tích phân suy rộng của hàm tương ứng. Tiêu chuẩn so sánh đặt chuỗi cạnh một chuỗi khác đã biết hội tụ hay phân kỳ.

Hay nhầm khiMixed up whenChuỗi có dạng

f(n)

với

f

dương, giảm và dễ lấy nguyên hàm (như

\dfrac{1}{n\ln n}

) thì dùng tiêu chuẩn tích phân. Chuỗi trông gần giống chuỗi p hay chuỗi hình học (như

\dfrac{1}{n^2+1}

) thì dùng tiêu chuẩn so sánh.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 9, 762, 782.