AP Calculus BC

tiêu chuẩn phân kỳdivergence test

divergence testVietnamese: tiêu chuẩn phân kỳ

Còn gọi:Also called: nth term test · nth-term test for divergence

Tiêu chuẩn phân kỳ (divergence test) là cách kiểm tra nhanh: nếu số hạng tổng quát của chuỗi không tiến về 0 thì chuỗi đó phân kỳ.The divergence test is a quick check: if the terms of a series do not approach 0, the series diverges.

Trực giác: Nếu mỗi bước đi bạn vẫn bước một đoạn không nhỏ dần về 0, thì đi mãi bạn sẽ không bao giờ dừng lại ở một điểm cố định.Intuition: If every step you take stays a noticeable length and never shrinks toward 0, you will never settle at a fixed point, no matter how long you walk.

Công thức chínhKey formula

\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \;\Rightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ diverges}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tiêu chuẩn phân kỳ (divergence test) là cách kiểm tra nhanh chuỗi $\sum a_n$ , với $a_n$ là số hạng thứ $n$ . Nếu $a_n$ không tiến về 0 khi $n$ tăng, kể cả khi giới hạn không tồn tại, thì chuỗi phân kỳ. Ví dụ $a_n=\frac{n}{n+1}$ tiến về $1\neq 0$ , nên $\sum \frac{n}{n+1}$ phân kỳ.

Tiêu chuẩn chỉ đi một chiều. Nếu $a_n \to 0$ thì chưa kết luận được gì. Chuỗi điều hòa $\sum \frac{1}{n}$ có $\frac{1}{n}\to 0$ nhưng vẫn phân kỳ. Vậy $a_n \to 0$ là điều kiện cần, chưa đủ để chuỗi hội tụ.

The divergence test is a quick check for a series $\sum a_n$ , where $a_n$ is the $n$ th term. If $a_n$ does not approach 0 as $n$ increases, including when the limit does not exist, then the series diverges. For example, $a_n=\frac{n}{n+1}$ approaches $1\neq 0$ , so $\sum \frac{n}{n+1}$ diverges.

The test works in only one direction. If $a_n \to 0$ , the test is inconclusive. The harmonic series $\sum \frac{1}{n}$ has $\frac{1}{n}\to 0$ yet still diverges. So $a_n \to 0$ is a necessary condition for convergence, but it is not sufficient.

Ký hiệuNotation

• $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ hoặc giới hạn không tồn tại $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ phân kỳ
• $a_n$ là số hạng tổng quát (general term) của chuỗi.

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{\lim_{n\to\infty} a_n} \htmlClass{fp-1}{\neq 0} \;\htmlClass{fp-2}{\Rightarrow}\; \htmlClass{fp-3}{\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ diverges}}

Bước thử đầu tiên: nếu $\lim a_n$ khác 0 hoặc không tồn tại thì chuỗi phân kỳ; nếu bằng 0 thì chuyển sang tiêu chuẩn khác.This is the first test to try: if $\lim a_n$ is nonzero or does not exist, the series diverges; if the limit is 0, move on to another test.

Trong đóWhere

a_n

số hạng tổng quát thứ

n

của chuỗi

n

chỉ số của số hạng, chạy từ

1

đến vô cực

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

chuỗi vô hạn (tổng của tất cả các số hạng

a_n

)

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Số hạng tiến về 0 chưa đủ để kết luận chuỗi hội tụ.

Khi $a_n \to 0$ , tiêu chuẩn phân kỳ không cho biết gì. Chuỗi điều hòa $\sum \frac{1}{n}$ có $\frac{1}{n} \to 0$ mà vẫn phân kỳ.

Số hạng đổi dấu không có nghĩa là tiêu chuẩn phân kỳ kết luận được.

Với $a_n=(-1)^n$ , $a_n$ không tiến về 0 nên chuỗi phân kỳ. Với $a_n=\frac{(-1)^n}{n}$ , $a_n\to 0$ nên tiêu chuẩn không kết luận được. Chuỗi này hội tụ nhờ tiêu chuẩn chuỗi đan dấu.

Tiêu chuẩn phân kỳ xét giới hạn của số hạng $a_n$ , không xét tổng riêng.

Tổng riêng $S_n$ là tổng $n$ số hạng đầu. Chuỗi hội tụ khi $S_n$ có giới hạn hữu hạn.

Terms that approach 0 do not guarantee that a series converges.

When $a_n \to 0$ , the divergence test tells you nothing. The harmonic series $\sum \frac{1}{n}$ has $\frac{1}{n} \to 0$ and still diverges.

Alternating signs do not make the divergence test conclusive.

For $a_n=(-1)^n$ , the terms do not approach 0, so the series diverges. For $a_n=\frac{(-1)^n}{n}$ , $a_n\to 0$ , so the test is inconclusive; this series converges by the alternating series test.

The divergence test examines the limit of the terms $a_n$ , not the partial sums.

The partial sum $S_n$ is the sum of the first $n$ terms, and a series converges when $S_n$ has a finite limit.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi dùng tiêu chuẩn phân kỳ, hãy ghi rõ giá trị của $\lim a_n$ .

Chỉ viết "phân kỳ" thì giám khảo không có căn cứ chấm. Ví dụ, một dòng như " $\lim a_n = 1 \neq 0$ , nên chuỗi phân kỳ" là đủ.

Nếu $a_n \to 0$ , hãy ghi rằng tiêu chuẩn phân kỳ không kết luận được rồi đổi tiêu chuẩn.

Viết "giới hạn bằng 0 nên chuỗi hội tụ" là lỗi lập luận. Thử tiêu chuẩn so sánh, tích phân, tỉ số hoặc chuỗi đan dấu, tùy dạng số hạng.

State the value of $\lim a_n$ when you apply the divergence test.

Writing only "diverges" gives the grader nothing to award credit for. A line such as " $\lim a_n = 1 \neq 0$ , so the series diverges" is enough.

If $a_n \to 0$ , say that the divergence test is inconclusive and switch to another test.

Writing "the limit is 0, so the series converges" is a reasoning error. Try the comparison, integral, ratio, or alternating series test, depending on the form of the terms.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn số hạng thứ n cho phân kỳDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi vô hạn hội tụ và phân kỳDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi điều hòa và chuỗi pDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstgiới hạnlimit

Dẫn tớiLeads tochuỗi hình họcgeometric series

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

dãy số hội tụconvergent sequence

Khác nhau ở đâuHow they differDãy số

a_n

hội tụ khi

a_n

có giới hạn hữu hạn. Chuỗi

\sum a_n

hội tụ khi dãy tổng riêng có giới hạn hữu hạn, và điều này khó hơn việc

a_n \to 0

Hay nhầm khiMixed up whenThấy

a_n \to 0

rồi kết luận ngay chuỗi

\sum a_n

hội tụ; thực ra

a_n \to 0

chỉ là điều kiện cần, còn chuỗi vẫn có thể phân kỳ như chuỗi điều hoà.

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Học tiếp từ đâyKeep learning

Hay nhầm vớiOften confused with

Cùng chủ đềSame topic