AP Calculus BC

chuỗi hình họcgeometric series

geometric seriesVietnamese: chuỗi hình học

Chuỗi hình học (geometric series) là tổng vô hạn mà mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước nhân với cùng một số cố định, gọi là công bội.A geometric series is an infinite sum in which each term equals the previous term multiplied by the same fixed number, called the common ratio.

Trực giác: Quả bóng mỗi lần nảy chỉ cao bằng nửa lần trước. Cộng mãi các độ cao, tổng chỉ càng lúc càng gần một số cố định.Intuition: Imagine a ball that bounces back to half its previous height on each bounce. As you keep adding the heights, the total gets closer and closer to a fixed number.

Công thức chínhKey formula

\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Chuỗi hình học là tổng vô hạn, trong đó mỗi số hạng bằng số hạng trước nhân với cùng một số $r$ , gọi là công bội. Với $a$ là số hạng đầu, chuỗi là $a+ar+ar^2+\cdots$ .

Nếu $|r|<1$ , các số hạng càng về sau càng gần $0$ và chuỗi hội tụ về $S=\dfrac{a}{1-r}$ . Ví dụ $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots=\dfrac{1}{1-\frac12}=2$ . Nếu $|r|\ge 1$ và $a\ne 0$ , các số hạng không tiến về $0$ nên chuỗi phân kỳ.

Lưu ý: $a$ phải là số hạng đầu thực sự. Nếu tổng bắt đầu từ $n=0$ hoặc $n=2$ , hãy tính lại số hạng đầu trước khi dùng công thức.

A geometric series is an infinite sum in which each term is the previous term multiplied by the same number $r$ , called the common ratio. If $a$ is the first term, the series is $a+ar+ar^2+\cdots$ .

If $|r|<1$ , the terms get closer and closer to $0$ , and the series converges to $S=\dfrac{a}{1-r}$ . For example, $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots=\dfrac{1}{1-\frac12}=2$ . If $|r|\ge 1$ and $a\ne 0$ , the terms do not approach $0$ , so the series diverges.

Note that $a$ must be the actual first term. If the sum starts at $n=0$ or $n=2$ , recompute the first term before using the formula.

Ký hiệuNotation

• $\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1}$ hoặc $\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}$
• $a$ là số hạng đầu, $r$ là công bội
•tổng $S = \dfrac{a}{1-r}$ khi $|r|<1$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-1}{\sum_{n=1}^{\infty} \htmlClass{fp-0}{a r^{n-1}}} = \htmlClass{fp-2}{a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots}

Dùng để nhận ra chuỗi hình học: hai số hạng liên tiếp có tỉ số không đổi $r$ , từ đó đọc ra $a$ và $r$ .Use this to recognize a geometric series: two consecutive terms have a constant ratio $r$ , from which you can read off $a$ and $r$ .

Trong đóWhere

a

số hạng đầu (first term) của chuỗi, ứng với

n=1

r

công bội, tức tỉ số giữa một số hạng và số hạng ngay trước nó

n

chỉ số của số hạng, chạy từ

1

đến vô hạn

\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \htmlClass{fp-1}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{a}}{1-r}} \quad \htmlClass{fp-2}{(|r|<1)}

Dùng để tính tổng chuỗi hình học khi $|r|<1$ ; kiểm tra điều kiện này trước khi thay $a$ và $r$ .Use this to find the sum of a geometric series when $|r|<1$ ; check this condition before substituting $a$ and $r$ .

Trong đóWhere

a

số hạng đầu của chuỗi

r

công bội; chuỗi hội tụ khi và chỉ khi

|r|<1

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Công thức $\dfrac{a}{1-r}$ chỉ dùng được khi $|r|<1$ .

Với $a=1$ , $r=2$ , công thức cho $-1$ nhưng chuỗi phân kỳ. Với $r=1$ thì mẫu bằng $0$ .

Hệ số đứng trước chưa chắc là số hạng đầu.

Với $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\tfrac12\right)^n$ , thay $n=1$ được $\tfrac32$ , không phải $3$ . Hãy luôn thay chỉ số đầu tiên để tìm $a$ .

Chia số hạng thứ ba cho số hạng đầu được $r^2$ , không phải $r$ .

Nếu $r^2=\tfrac14$ thì $r=\pm\tfrac12$ . Hãy loại một nghiệm theo đề, chẳng hạn mọi số hạng đều dương thì $r>0$ .

The formula $\dfrac{a}{1-r}$ works only when $|r|<1$ .

For $a=1$ , $r=2$ , the formula gives $-1$ , but the series diverges. For $r=1$ , the denominator is $0$ .

The coefficient in front of the sum is not necessarily the first term.

For $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\tfrac12\right)^n$ , substituting $n=1$ gives $\tfrac32$ , not $3$ . Always substitute the starting index to find $a$ .

Dividing the third term by the first term gives $r^2$ , not $r$ .

If $r^2=\tfrac14$ , then $r=\pm\tfrac12$ , so you must use the given information to rule out one value, for example, if all terms are positive, then $r>0$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết điều kiện $|r|<1$ ngay trước khi dùng công thức tổng.

Đề AP thường cho điểm lí do hội tụ. Một dòng như " $r=-\tfrac13$ , $|r|<1$ nên chuỗi hội tụ" là đủ.

Tìm $r$ bằng số hạng sau chia số hạng trước, viết rõ phép chia.

Thử với hai cặp liên tiếp. Hai tỉ số bằng nhau mới chỉ là gợi ý. Hãy kiểm tra số hạng tổng quát có dạng $ar^{n-1}$ rồi mới dùng $S=\dfrac{a}{1-r}$ .

Write the condition $|r|<1$ right before you use the sum formula.

AP graders usually award a point for the reason the series converges. A line such as " $r=-\tfrac13$ , $|r|<1$ , so the series converges" is enough.

Find $r$ by dividing each term by the one before it, and show the division.

Check with two different consecutive pairs. Equal ratios are only a hint, so confirm that the general term has the form $ar^{n-1}$ before using $S=\dfrac{a}{1-r}$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

thế kỷ 3 TCNArchimedesZeno

Khoảng thế kỷ 3 TCN, các nhà toán học Hy Lạp, tiêu biểu là Archimedes, dùng chuỗi hình học để tính diện tích bên trong một parabol.

Around the 3rd century BCE, Greek mathematicians, most notably Archimedes, used geometric series to find the area inside a parabola.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi hình học: nhận diện và tính tổngDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi vô hạn hội tụ và phân kỳDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn số hạng thứ n cho phân kỳDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firsttổng riêngpartial sum

Dẫn tớiLeads totiêu chuẩn tỉ sốratio test chuỗi luỹ thừapower series tiêu chuẩn so sánhcomparison test

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

chuỗi pp-series

Khác nhau ở đâuHow they differChuỗi hình học có dạng

\sum ar^n

, hội tụ khi

|r|<1

. Chuỗi p có dạng

\sum 1/n^p

, hội tụ khi

p>1

Hay nhầm khiMixed up whenGặp

\sum (1/2)^n

thì nhầm là chuỗi p với

p=1/2

nên kết luận phân kỳ, trong khi

n

nằm ở số mũ nên đây là chuỗi hình học hội tụ.

chuỗi điều hoàharmonic series

Khác nhau ở đâuHow they differChuỗi hình học có tỉ số hai số hạng liên tiếp không đổi bằng

r

. Chuỗi điều hoà

\sum 1/n

có tỉ số này tiến về 1 và phân kỳ.

Hay nhầm khiMixed up whenSố hạng tổng quát của cả hai đều tiến về 0, nên dễ kết luận nhầm rằng chuỗi điều hoà hội tụ như chuỗi hình học công bội nhỏ.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 205, 415, 747.