AP Calculus BC

bị chặn trênbounded above

bounded aboveVietnamese: bị chặn trên

Bị chặn trên (bounded above) là tính chất của dãy số có một hằng số M sao cho mọi số hạng của dãy đều không vượt quá M.A sequence is bounded above if there is a constant $M$ such that no term of the sequence exceeds $M$ .

Trực giác: Trên trục số, mọi số hạng nằm bên trái một vạch chắn hoặc ngay trên vạch. Về phía trái, dãy có thể đi xa tùy ý.Intuition: On the number line, every term lies to the left of a barrier or exactly on it. The sequence may stretch arbitrarily far to the left.

Công thức chínhKey formula

\exists M \in \mathbb{R}:\; a_n \le M \;\; \forall n \ge 1

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Dãy $\{a_n\}$ bị chặn trên (bounded above) nếu mọi số hạng $a_n$ đều không vượt quá một số thực $M$ nào đó. Số $M$ gọi là một cận trên. Với $a_n=1-\frac1n$ , ta có $a_n<1$ với mọi $n\ge 1$ , nên $1$ là cận trên. Số $2$ cũng là cận trên.

Mọi số lớn hơn một cận trên cũng là cận trên. Cận trên bé nhất gọi là cận trên nhỏ nhất. Cận trên nhỏ nhất có thể không là số hạng nào của dãy. Dãy đồng biến và bị chặn trên thì hội tụ. Giới hạn của nó chính là cận trên nhỏ nhất.

A sequence $\{a_n\}$ is bounded above if there is a real number $M$ such that $a_n \le M$ for every term. Such a number $M$ is called an upper bound. For $a_n=1-\frac1n$ , we have $a_n<1$ for all $n\ge 1$ , so $1$ is an upper bound. So is $2$ .

Any number greater than an upper bound is also an upper bound. The smallest upper bound is called the least upper bound, and it need not be a term of the sequence. An increasing sequence that is bounded above converges, and its limit is its least upper bound.

Ký hiệuNotation

• $a_n \le M$ với mọi $n \ge 1$
• $\sup a_n$ là kí hiệu cận trên nhỏ nhất.

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{\exists M \in \mathbb{R}}:\; \htmlClass{fp-1}{a_n \le M} \;\; \htmlClass{fp-2}{\forall n \ge 1}

Dùng để kiểm tra dãy $\{a_n\}$ có bị chặn trên không; kết hợp với tính đồng biến để kết luận hội tụ.Use this to test whether the sequence $\{a_n\}$ is bounded above; combined with the sequence being increasing, it lets you conclude convergence.

Trong đóWhere

a_n

số hạng thứ

n

của dãy

\{a_n\}

M

hằng số thực làm chặn trên của dãy, không phụ thuộc vào

n

n

chỉ số của số hạng, là số nguyên dương

1, 2, 3, \dots

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Bị chặn trên chưa chắc hội tụ.

$(-1)^n$ có cận trên $1$ nhưng cứ nhảy giữa $-1$ và $1$ , nên phân kỳ. Thêm điều kiện đồng biến thì dãy chắc chắn hội tụ.

Cận trên nhỏ nhất chưa chắc là một số hạng của dãy.

Dãy $a_n=1-\frac1n$ có cận trên nhỏ nhất là $1$ . Nhưng mọi số hạng đều nhỏ hơn $1$ .

Bị chặn trên không có nghĩa là bị chặn cả hai phía.

Với $a_n=-n$ , mọi số hạng đều $\le 0$ . Nhưng dãy giảm mãi, không có số nào chặn bên dưới.

A sequence that is bounded above does not necessarily converge.

The sequence $(-1)^n$ has upper bound $1$ but keeps jumping between $-1$ and $1$ , so it diverges. If the sequence is also increasing, it is guaranteed to converge.

The least upper bound is not necessarily a term of the sequence.

The sequence $a_n=1-\frac1n$ has least upper bound $1$ , yet every term is less than $1$ .

Being bounded above does not mean being bounded on both sides.

For $a_n=-n$ , every term is $\le 0$ , but the sequence decreases without end and has no lower bound.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Phải chứng minh $a_n\le M$ với mọi $n$ , không chỉ thử vài số hạng.

Các số hạng sau có thể vượt $M$ dù vài số hạng đầu thì không.

Dãy đồng biến và bị chặn trên hội tụ về cận trên nhỏ nhất.

Không phải về cận trên bất kỳ. Ví dụ $a_n=1-\frac1n$ có cận trên $5$ , nhưng giới hạn là $1$ .

You must prove $a_n\le M$ for all $n$ , not just check a few terms.

Later terms can exceed $M$ even when the first few do not.

An increasing sequence that is bounded above converges to its least upper bound, not to just any upper bound.

For example, $a_n=1-\frac1n$ has upper bound $5$ , but its limit is $1$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCÍt gặpUncommon

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi vô hạn hội tụ và phân kỳDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDãy số & chuỗi vô hạnDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction

Dẫn tớiLeads todãy số hội tụconvergent sequence

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

giá trị lớn nhất của hàm sốabsolute maximum

Khác nhau ở đâuHow they differBị chặn trên chỉ cần tồn tại một số

M

không bị hàm vượt qua. Giá trị lớn nhất đòi hỏi hàm thật sự đạt được giá trị đó.

Hay nhầm khiMixed up whenHàm

f(x)=1-e^{-x}

trên

[0,\infty)

bị chặn trên bởi

1

nhưng không có giá trị lớn nhất, vì không có

x

nào cho

f(x)=1

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 461, 734, 737.