AP Calculus BC

dãy sốsequence

sequenceVietnamese: dãy số

Dãy số (sequence) là danh sách các số được sắp theo thứ tự, thường xem như một hàm xác định trên tập các số nguyên dương.A sequence is an ordered list of numbers, usually viewed as a function defined on the set of positive integers.

Trực giác: Dãy số giống hàng người xếp hàng mua vé: mỗi người cầm một con số, và vị trí đứng quan trọng ngang với số họ cầm.Intuition: A sequence is like a line of people waiting to buy tickets: each person holds a number, and where they stand matters as much as the number they hold.

Công thức chínhKey formula

a_n=f(n),\ \lim_{x\to\infty}f(x)=L \;\Longrightarrow\; \lim_{n\to\infty}a_n=L

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Dãy số là danh sách vô hạn các số xếp theo thứ tự: $a_1, a_2, a_3,\dots$ Mỗi số nguyên dương $n$ cho đúng một số hạng $a_n$ , nên có thể viết $a_n=f(n)$ . Thứ tự quan trọng ngang với giá trị.

Với $a_n=\frac{1}{n}$ , khi $n$ càng lớn thì $a_n$ càng gần $0$ , nên $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ và dãy hội tụ. Nếu giới hạn không phải số hữu hạn thì dãy phân kỳ. Dãy cho bằng công thức tường minh ( $a_n$ tính thẳng từ $n$ ) hoặc truy hồi (cho $a_1$ , mỗi số hạng suy từ số hạng trước).

A sequence is an infinite ordered list of numbers: $a_1, a_2, a_3,\dots$ Each positive integer $n$ gives exactly one term $a_n$ , so a sequence can be written as $a_n=f(n)$ . The order of the terms matters just as much as their values.

For $a_n=\frac{1}{n}$ , the terms get closer to $0$ as $n$ grows, so $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ and the sequence converges. If the limit is not a finite number, the sequence diverges. A sequence can be defined by an explicit formula ( $a_n$ is computed directly from $n$ ) or recursively (given $a_1$ , each term is determined by the term before it).

Ký hiệuNotation

• $\{a_n\}$ hoặc $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ là cả dãy
• $a_n$ là số hạng thứ $n$
• $a_n=f(n)$ khi xem dãy như hàm
• $\lim_{n\to\infty}a_n=L$ nghĩa là dãy hội tụ về $L$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{a_n=f(n)},\ \htmlClass{fp-1}{\lim_{x\to\infty}f(x)=L} \;\Longrightarrow\; \htmlClass{fp-2}{\lim_{n\to\infty}a_n=L}

Dùng khi $a_n=f(n)$ và cần tìm giới hạn dãy bằng kỹ thuật giới hạn hàm số; chiều ngược lại không đúng.Use this when $a_n=f(n)$ and you want to find the limit of the sequence with function-limit techniques; the converse does not hold.

Trong đóWhere

a_n

số hạng thứ

n

của dãy

f

hàm số xác định với mọi

x

đủ lớn, thỏa

f(n)=a_n

n

chỉ số của số hạng, là số nguyên dương

L

giá trị giới hạn, là một số thực hữu hạn nếu dãy hội tụ

\lim_{n\to\infty}a_n=L

Dùng để nói các số hạng tiến sát $L$ khi $n$ đủ lớn; $L$ hữu hạn thì dãy hội tụ, ngược lại phân kỳ.This says the terms get arbitrarily close to $L$ once $n$ is large enough; if $L$ is finite the sequence converges, otherwise it diverges.

Trong đóWhere

a_n

số hạng thứ

n

của dãy

L

giá trị mà các số hạng tiến tới

n

chỉ số của số hạng, tăng không giới hạn

Hay hiểu saiCommon misconceptions1 ý · 1 phút đọc1 point · 1 min read

Số hạng $a_k\to 0$ chưa đủ để chuỗi $\sum a_k$ hội tụ.

Đặt $S_n=a_1+\dots+a_n$ , chuỗi hội tụ khi dãy $S_n$ hội tụ. Ví dụ $a_k=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\to 0$ , nhưng $S_n=\sqrt{n+1}-1$ tiến ra vô cùng.

Having $a_k\to 0$ does not guarantee that the series $\sum a_k$ converges.

Let $S_n=a_1+\dots+a_n$ ; the series converges exactly when the sequence $S_n$ converges. For example, $a_k=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\to 0$ , but $S_n=\sqrt{n+1}-1$ grows without bound.

Mẹo phòng thiExam tips1 mẹo1 tip

Xét chuỗi thì viết $S_n$ rồi tính $\lim S_n$ .

Chỉ nói số hạng tiến về 0 thì chưa chứng minh được hội tụ. Với $\sum(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$ , các số hạng triệt tiêu liên tiếp nên $S_n=\sqrt{n+1}-1$ , không có giới hạn hữu hạn.

For a series, write out $S_n$ and then compute $\lim S_n$ .

Showing only that the terms approach 0 does not prove convergence. For $\sum(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$ , consecutive terms cancel (the sum telescopes), so $S_n=\sqrt{n+1}-1$ , which has no finite limit.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCÍt gặpUncommon

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi vô hạn hội tụ và phân kỳDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn số hạng thứ n cho phân kỳDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDãy số & chuỗi vô hạnDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction

Dẫn tớiLeads totổng riêngpartial sum chuỗi vô hạninfinite series

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

chuỗi vô hạninfinite series

Khác nhau ở đâuHow they differDãy số là danh sách các số hạng

a_1, a_2, a_3, \dots

xếp theo thứ tự. Chuỗi vô hạn là tổng

a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

của các số hạng đó.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

a_n \to 0

rồi hỏi

\sum a_n

có hội tụ không. Dãy số hội tụ về 0 chưa đủ để kết luận chuỗi hội tụ, ví dụ chuỗi điều hoà

\sum 1/n

vẫn phân kỳ.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 9, 19, 37.