AP Calculus BCAP Calculus AB

giới hạnlimit

limitVietnamese: giới hạn

Giới hạn (limit) là giá trị mà một hàm số tiến gần tới khi biến số tiến dần đến một điểm cho trước, dù hàm có xác định hay không tại chính điểm đó.A limit is the value a function approaches as its input gets closer and closer to a given point, whether or not the function is defined at that point.

Trực giác: Hai người đi dọc đồ thị từ hai phía về cùng một chỗ. Nếu họ đến cùng một độ cao, độ cao đó là giới hạn.Intuition: Imagine two people walking along a graph from opposite sides toward the same spot. If they arrive at the same height, that height is the limit.

Công thức chínhKey formula

\lim_{x\to a}f(x)=L

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến đến $a$ bằng $L$ nghĩa là: $x$ càng gần $a$ (nhưng $x\neq a$ ) thì $f(x)$ càng gần $L$ . Ví dụ, với $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ , khi $x$ gần $1$ thì $f(x)=x+1$ gần $2$ . Vậy giới hạn bằng $2$ , dù $f(1)$ không xác định.

Giới hạn chỉ xét các giá trị $x$ quanh $a$ , nên không phụ thuộc $f(a)$ . Nếu $x$ tiến đến $a$ từ bên trái và từ bên phải cho hai kết quả khác nhau thì giới hạn không tồn tại. Giới hạn là nền của tính liên tục, đạo hàm và tích phân xác định.

The limit of $f(x)$ as $x$ approaches $a$ equals $L$ if $f(x)$ gets closer and closer to $L$ as $x$ gets closer to $a$ (with $x\neq a$ ). For example, for $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ , when $x$ is near $1$ , $f(x)=x+1$ is near $2$ . So the limit is $2$ , even though $f(1)$ is undefined.

A limit depends only on the values of $f$ for $x$ near $a$ , so it does not depend on $f(a)$ . If $f(x)$ approaches different values as $x$ approaches $a$ from the left and from the right, the limit does not exist. Limits underlie continuity, derivatives, and definite integrals.

Ký hiệuNotation

• $\lim_{x\to a} f(x)=L$
•giới hạn một phía: $\lim_{x\to a^-}f(x)$ (từ bên trái), $\lim_{x\to a^+}f(x)$ (từ bên phải)
•tại vô cực: $\lim_{x\to\infty}f(x)$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-2}{\lim_{\htmlClass{fp-0}{x\to a}}\htmlClass{fp-1}{f(x)}}\htmlClass{fp-3}{=L}

Dùng khi cần nêu giá trị $f(x)$ tiến tới khi $x\to a$ ; giá trị này có thể khác $f(a)$ , hoặc $f(a)$ không xác định.Use this to state the value $f(x)$ approaches as $x\to a$ ; this value may differ from $f(a)$ , or $f(a)$ may be undefined.

Trong đóWhere

x

biến số độc lập, được cho tiến sát

a

a

điểm mà

x

tiến tới

f(x)

giá trị của hàm số tại

x

L

giá trị mà

f(x)

tiến tới, là một số thực hữu hạn

\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{\lim_{x\to a^-}f(x)}=L=\htmlClass{fp-1}{\lim_{x\to a^+}f(x)}}\htmlClass{fp-3}{\iff}\htmlClass{fp-4}{\lim_{x\to a}f(x)=L}

Dùng để kiểm tra giới hạn có tồn tại, nhất là với hàm cho theo nhiều khoảng hoặc đồ thị có bước nhảy; hai phía khác nhau thì không tồn tại.Use this to check whether a limit exists, especially for piecewise functions or graphs with jumps; if the two sides differ, the limit does not exist.

Trong đóWhere

a^-

x

tiến tới

a

từ phía nhỏ hơn

a

a^+

x

tiến tới

a

từ phía lớn hơn

a

L

giá trị chung của hai giới hạn một phía

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Giới hạn tại $a$ không nhất thiết bằng $f(a)$ .

Giới hạn chỉ hỏi $f(x)$ tiến về đâu khi $x$ gần $a$ . Nếu hai số khác nhau thì hàm không liên tục tại $a$ .

Tử tiến về 0 chưa chắc là dạng vô định.

Dạng $\dfrac{0}{0}$ cần cả tử và mẫu cùng tiến về 0. Với $\lim_{x\to\pi}\dfrac{\pi-x}{\sin(2x)-1}$ , mẫu tiến về $-1$ nên giới hạn bằng $0$ ngay. Hãy thay giá trị vào từng phần trước khi dùng L'Hôpital.

Hai giới hạn một phía khác nhau thì giới hạn tại $a$ không tồn tại.

Ở đây $x\to a^-$ là $x$ tiến đến $a$ từ phía nhỏ hơn $a$ . Giới hạn trái và phải phải bằng nhau. Ví dụ $\lim_{x\to 0^-}\dfrac{|x|}{x}=-1$ nhưng giới hạn phải bằng $1$ .

The limit at $a$ does not have to equal $f(a)$ .

A limit only asks where $f(x)$ is headed as $x$ gets close to $a$ . If the two values differ, the function is not continuous at $a$ .

A numerator approaching 0 does not automatically give an indeterminate form.

The form $\dfrac{0}{0}$ requires both the numerator and the denominator to approach 0. For $\lim_{x\to\pi}\dfrac{\pi-x}{\sin(2x)-1}$ , the denominator approaches $-1$ , so the limit is $0$ right away. Substitute into each part before using L'Hôpital's Rule.

If the two one-sided limits differ, the limit at $a$ does not exist.

Here $x\to a^-$ means $x$ approaches $a$ from values less than $a$ . The left-hand and right-hand limits must be equal. For example, $\lim_{x\to 0^-}\dfrac{|x|}{x}=-1$ , but the right-hand limit is $1$ .

Mẹo phòng thiExam tips1 mẹo1 tip

Thay trực tiếp trước, và ghi rõ dạng $\dfrac{0}{0}$ hay $\dfrac{\infty}{\infty}$ nếu gặp.

AP thường cho điểm ở dòng này, trước khi phân tích nhân tử hoặc dùng L'Hôpital. Ghi $\lim_{x\to a}$ ở mỗi dòng cho đến khi thực sự thay được giá trị vào.

Try direct substitution first, and state the form $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$ if it appears.

AP graders often award a point for this line, before any factoring or use of L'Hôpital's Rule. Write $\lim_{x\to a}$ on every line until you have actually substituted the value.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1821EudoxusIsaac NewtonGottfried Wilhelm LeibnizAugustin-Louis CauchyKarl Weierstrass

Ở thế kỷ 19, Cauchy rồi Weierstrass phát biểu giới hạn bằng định nghĩa epsilon–delta để giải tích có nền móng chặt chẽ.

In the 19th century, Cauchy and then Weierstrass stated the limit using the epsilon–delta definition, giving calculus a rigorous foundation.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa giới hạn & ký hiệu giới hạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termƯớc lượng giá trị giới hạn từ đồ thịGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termƯớc lượng giá trị giới hạn từ bảng số liệuGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa limit và cách đọc limit notationGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termƯớc lượng giá trị giới hạn từ đồ thịGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termƯớc lượng giá trị giới hạn từ bảng số liệuGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction

Dẫn tớiLeads totính liên tụccontinuity đạo hàmderivative

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

giới hạn một phíaone-sided limit

Khác nhau ở đâuHow they differGiới hạn xét

x

tiến tới

a

từ cả hai phía và chỉ tồn tại khi hai phía cho cùng một giá trị. Giới hạn một phía chỉ xét một phía, trái hoặc phải.

Hay nhầm khiMixed up whenVới hàm xác định từng khúc hoặc có giá trị tuyệt đối, hai giới hạn một phía có thể khác nhau, khi đó giới hạn hai phía không tồn tại dù mỗi phía đều có giá trị.

tính liên tụccontinuity

Khác nhau ở đâuHow they differGiới hạn chỉ quan tâm

f(x)

tiến về đâu khi

x

gần

a

, không cần

f(a)

có nghĩa. Tính liên tục đòi hỏi thêm

f(a)

xác định và bằng giới hạn đó.

Hay nhầm khiMixed up whenỞ điểm gián đoạn bỏ được, giới hạn vẫn tồn tại nhưng

f(a)

không xác định hoặc khác giới hạn, nên hàm không liên tục.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 4, 33, 78.