AP Calculus BCAP Calculus AB

tiệm cận đứngvertical asymptote

vertical asymptoteVietnamese: tiệm cận đứng

Tiệm cận đứng (vertical asymptote) là đường thẳng x bằng a mà hàm số tiến ra dương vô cực hoặc âm vô cực khi x tiến đến a từ ít nhất một phía.A vertical asymptote is a line $x=a$ near which a function increases or decreases without bound, approaching $+\infty$ or $-\infty$ as $x$ approaches $a$ from at least one side.

Trực giác: Như đi lên sườn dốc dựng đứng sát một bức tường: càng gần tường, độ cao vượt mọi mức bạn nghĩ ra (hoặc tụt thấp hơn mọi mức).Intuition: Picture climbing a nearly vertical slope right beside a wall: the closer you get to the wall, the higher the height climbs past any level you can name (or the lower it drops below any level).

Công thức chínhKey formula

\lim_{x\to a^{\pm}} f(x)=\pm\infty

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tiệm cận đứng của đồ thị $y=f(x)$ là đường thẳng $x=a$ mà đồ thị vút lên hoặc lao xuống không giới hạn khi $x$ tiến đến $a$ . Với $f(x)=\dfrac{1}{x}$ , khi $x>0$ và càng gần $0$ thì $f(x)$ càng lớn, nên $\lim_{x\to 0^+}\dfrac1x=+\infty$ và $x=0$ là tiệm cận đứng. Chỉ cần một phía có giới hạn $+\infty$ hoặc $-\infty$ là đủ. Hai phía có thể khác dấu.

Với phân thức, mẫu bằng $0$ chưa đủ để kết luận. Nếu tử và mẫu có nhân tử chung, hãy rút gọn trước, vì đồ thị có thể chỉ có một lỗ. Tiệm cận đứng khác tiệm cận ngang: ở đây $x$ tiến đến một số $a$ , không phải $x\to\pm\infty$ .

A vertical asymptote of the graph of $y=f(x)$ is a line $x=a$ such that the graph rises or falls without bound as $x$ approaches $a$ . For $f(x)=\dfrac{1}{x}$ , when $x>0$ and $x$ gets closer to $0$ , $f(x)$ grows larger and larger, so $\lim_{x\to 0^+}\dfrac1x=+\infty$ and $x=0$ is a vertical asymptote. A limit of $+\infty$ or $-\infty$ from just one side is enough, and the two sides can have opposite signs.

For a rational function, a denominator equal to $0$ is not enough to conclude there is a vertical asymptote. If the numerator and denominator share a common factor, cancel it first, because the graph may have only a hole. A vertical asymptote differs from a horizontal asymptote: here $x$ approaches a finite number $a$ , not $x\to\pm\infty$ .

Ký hiệuNotation

• $\lim_{x\to a^+} f(x)=\infty$ , $\lim_{x\to a^-} f(x)=-\infty$
•đường thẳng $x=a$

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\lim_{\htmlClass{fp-0}{x\to a^{\pm}}} \htmlClass{fp-1}{f(x)}\htmlClass{fp-2}{=\pm\infty}

Dùng để kiểm tra từng điểm nghi ngờ (thường là nơi mẫu bằng $0$ ) bằng cách xét dấu $f(x)$ ở hai phía của $a$ .Use this to test each suspected point (usually where the denominator is $0$ ) by checking the sign of $f(x)$ on both sides of $a$ .

Trong đóWhere

a

hoành độ của điểm mà quanh đó đồ thị vút lên hoặc lao xuống vô hạn; đường tiệm cận có phương trình

x=a

f(x)

hàm số đang xét

a^{+},\ a^{-}

x

tiến tới

a

từ bên phải (với

x>a

) hoặc từ bên trái (với

x<a

)

f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)},\quad q(a)=0,\ p(a)\neq 0

Nhận nhanh tiệm cận đứng $x=a$ của phân thức khi mẫu bằng $0$ còn tử khác $0$ ; nếu tử cũng bằng $0$ , rút gọn trước.This quickly identifies a vertical asymptote $x=a$ of a rational function when the denominator is $0$ and the numerator is nonzero; if the numerator is also $0$ , cancel common factors first.

Trong đóWhere

p(x)

tử số của hàm phân thức

q(x)

mẫu số của hàm phân thức

a

nghiệm của mẫu số

q(x)=0

làm ứng viên cho tiệm cận đứng

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Mẫu số bằng $0$ chưa chắc cho tiệm cận đứng.

Nếu thừa số chung ở tử và mẫu rút gọn, như $\dfrac{x^2-3x-10}{x-5}$ tại $x=5$ , đồ thị chỉ có điểm hở. Hãy phân tích nhân tử và rút gọn trước, rồi mới xét phần mẫu còn lại bằng $0$ .

Hàm không xác định tại $a$ chưa chắc có tiệm cận đứng.

Phải có giới hạn một bên bằng $+\infty$ hoặc $-\infty$ . Hàm có bước nhảy thì hai bên có giới hạn hữu hạn khác nhau. Hàm không xác định tại $a$ nhưng có giới hạn hữu hạn thì chỉ là điểm hở.

Có tiệm cận ngang không loại trừ tiệm cận đứng.

Hai loại này xét riêng: một bên là giới hạn tại vô cực, một bên là giới hạn tại số hữu hạn. Ví dụ $\dfrac{3x+5}{x+2}$ có tiệm cận ngang $y=3$ và cả tiệm cận đứng $x=-2$ .

A denominator equal to $0$ does not guarantee a vertical asymptote.

If a common factor cancels from the numerator and denominator, as in $\dfrac{x^2-3x-10}{x-5}$ at $x=5$ , the graph has only a hole. Factor and cancel first, then check whether the remaining denominator is $0$ .

A function being undefined at $a$ does not guarantee a vertical asymptote.

One of the one-sided limits must be $+\infty$ or $-\infty$ . A jump discontinuity has different finite limits on the two sides, and a function undefined at $a$ with a finite limit has only a hole.

Having a horizontal asymptote does not rule out a vertical asymptote.

The two are determined separately: one comes from a limit at infinity, the other from a limit at a finite number. For example, $\dfrac{3x+5}{x+2}$ has the horizontal asymptote $y=3$ and also the vertical asymptote $x=-2$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Kết luận có tiệm cận đứng $x=a$ thì phải viết giới hạn một bên, như $\lim_{x\to a^+} f(x)=+\infty$ .

Chỉ nói "vì mẫu bằng $0$ " là chưa đủ. Hãy chỉ ra tử gần một số khác $0$ , rồi xét dấu của mẫu để biết kết quả là $+\infty$ hay $-\infty$ .

Với phân thức, hãy rút gọn nhân tử chung trước khi tìm tiệm cận đứng.

Ví dụ $\dfrac{x^2+6x+9}{x^3+3x^2}=\dfrac{x+3}{x^2}$ : $x=-3$ không còn là tiệm cận đứng, còn $x=0$ thì vẫn là.

To claim a vertical asymptote $x=a$ , write a one-sided limit such as $\lim_{x\to a^+} f(x)=+\infty$ .

Saying only "because the denominator is $0$ " is not enough. Show that the numerator approaches a nonzero number, then check the sign of the denominator to decide between $+\infty$ and $-\infty$ .

For a rational function, cancel common factors before looking for vertical asymptotes.

For example, $\dfrac{x^2+6x+9}{x^3+3x^2}=\dfrac{x+3}{x^2}$ : $x=-3$ is no longer a vertical asymptote, but $x=0$ still is.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

Apollonius xứ PergaJohn WallisAugustin-Louis CauchyKarl Weierstrass

Apollonius xứ Perga đặt tên "tiệm cận" khi nghiên cứu đường conic; Cauchy (1821) mới định nghĩa chặt chẽ giới hạn.

Apollonius of Perga coined the term "asymptote" in his study of conic sections; Cauchy (1821) later gave the rigorous definition of a limit.

Vì sao mang đúng cái tên này? Từ "tiệm cận" mượn ý của từ Hy Lạp ἀσύμπτωτος (asumptōtos), nghĩa là "không rơi cùng nhau". Từ này ghép từ ἀ (tiền tố phủ định, "không"), σύν ("cùng") và πτωτός ("rơi"). Ý gốc là một đường thẳng và một đường cong không bao giờ gặp nhau. Điều đáng chú ý là Apollonius dùng từ này rộng hơn nghĩa ngày nay: với ông, đó là bất kỳ đường thẳng nào không cắt đường cong đã cho. Nghĩa hiện đại hẹp hơn, đó là đường thẳng mà khoảng cách tới đường cong tiến về 0 khi x hoặc y tiến ra vô cực. Chữ "đứng" chỉ đơn giản mô tả hướng của đường thẳng $x=a$ , nơi đồ thị tiến tới $+\infty$ hoặc $-\infty$ khi $x$ tiến tới $a$ .

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn vô cực và tiệm cận đứngGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termƯớc lượng giá trị giới hạn từ đồ thịGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termCác loại điểm gián đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn vô cực và tiệm cận đứngGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termƯớc lượng giá trị giới hạn từ đồ thịGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termCác loại điểm gián đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstgiới hạn vô cựcinfinite limit giới hạn một phíaone-sided limit

Dẫn tớiLeads tohàm số phân thức hữu tỉrational function

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tiệm cận nganghorizontal asymptote

Khác nhau ở đâuHow they differTiệm cận đứng là đường

x=a

, xuất hiện khi hàm số tiến tới vô cực lúc

x\to a

. Tiệm cận ngang là đường

y=L

, xuất hiện khi hàm số tiến tới

L

lúc

x\to\pm\infty

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

\lim_{x\to 2} f(x)=\infty

hay

\lim_{x\to\infty} f(x)=2

thì dễ viết nhầm đường

y=2

với

x=2

; hãy nhìn xem

x

tiến tới số hữu hạn hay tiến tới vô cực.

điểm gián đoạn bỏ đượcremovable discontinuity

Khác nhau ở đâuHow they differTại tiệm cận đứng, giá trị hàm tăng hoặc giảm không giới hạn nên giới hạn không tồn tại ở dạng hữu hạn. Tại điểm gián đoạn bỏ được, giới hạn là một số hữu hạn và đồ thị chỉ thủng một lỗ.

Hay nhầm khiMixed up whenMẫu số bằng 0 tại

x=a

chưa chắc là tiệm cận đứng: nếu nhân tử

(x-a)

rút gọn được với tử số thì đó chỉ là lỗ thủng.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 124, 163, 170.