AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm số phân thức hữu tỉrational function

rational functionVietnamese: hàm số phân thức hữu tỉ

Hàm số phân thức hữu tỉ (rational function) là hàm có dạng tử chia mẫu, với tử và mẫu đều là đa thức, mẫu không phải đa thức 0.A rational function is a function of the form numerator divided by denominator, where both are polynomials and the denominator is not the zero polynomial.

Trực giác: Giống một máy chia: nhập $x$ , máy tính tử và mẫu rồi lấy tử chia mẫu. Máy không chạy được đúng ở những $x$ làm mẫu bằng 0.Intuition: Think of a division machine: you enter $x$ , the machine computes the numerator and the denominator, and then divides the first by the second. It breaks down exactly at the values of $x$ that make the denominator 0.

Công thức chínhKey formula

f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)},\quad q(x)\neq 0

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm số phân thức hữu tỉ (rational function) có dạng $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ , với tử $p$ và mẫu $q$ đều là đa thức, $q$ không phải đa thức 0. Ví dụ $f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ chỉ xác định khi $x\neq 2$ . Đa thức là trường hợp riêng, khi $q(x)=1$ .

Tại nghiệm $a$ của mẫu, hàm không xác định. Nếu $p(a)\neq 0$ thì đồ thị có tiệm cận đứng $x=a$ . Nếu rút gọn xong mà mẫu không còn bằng 0 tại $a$ thì đồ thị chỉ thủng một điểm. Khi $x$ rất lớn, hãy so sánh bậc: bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì $f(x)$ gần 0; hai bậc bằng nhau thì $f(x)$ gần tỉ số hai hệ số cao nhất.

A rational function has the form $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ , where the numerator $p$ and the denominator $q$ are both polynomials and $q$ is not the zero polynomial. For example, $f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ is defined only when $x\neq 2$ . Every polynomial is a special case, with $q(x)=1$ .

At a zero $a$ of the denominator, the function is undefined. If $p(a)\neq 0$ , the graph has a vertical asymptote $x=a$ . If, after simplifying, the denominator is no longer 0 at $a$ , the graph has only a hole at that point. For large $|x|$ , compare degrees: if the degree of the numerator is less than the degree of the denominator, $f(x)$ approaches 0; if the degrees are equal, $f(x)$ approaches the ratio of the leading coefficients.

Ký hiệuNotation

• $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ với $q(x)\neq 0$
• $\lim_{x\to\infty} f(x)$ dùng để tìm tiệm cận ngang.

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)},\quad q(x)\neq 0

Dùng đầu tiên khi gặp hàm này: giải $q(x)=0$ để tìm điểm bị loại, rồi xét đó là tiệm cận đứng hay lỗ thủng.Use this first when you meet a rational function: solve $q(x)=0$ to find the excluded points, then decide whether each one is a vertical asymptote or a hole.

Trong đóWhere

f(x)

hàm số phân thức hữu tỉ đang xét, nhận giá trị bằng tử số chia cho mẫu số

p(x)

đa thức ở tử số

q(x)

đa thức ở mẫu số; các nghiệm của

q(x)=0

bị loại khỏi tập xác định

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Nghiệm nào của mẫu cũng cho tiệm cận đứng.

Sai. Ví dụ $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ rút gọn thành $x+1$ với $x\neq 1$ . Đồ thị chỉ thủng một điểm tại $x=1$ . Tiệm cận đứng chỉ có khi mẫu vẫn bằng 0 tại điểm đó sau khi rút gọn.

Đồ thị không bao giờ cắt tiệm cận ngang.

Sai. Tiệm cận ngang chỉ nói về xu hướng khi $x\to\pm\infty$ . Ở giá trị $x$ hữu hạn, đồ thị vẫn có thể cắt nó, thậm chí nhiều lần. Tiệm cận đứng thì không bị cắt, vì hàm không xác định ở đó.

Bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì hai phía $x\to\pm\infty$ luôn cùng dấu vô cực.

Sai. Ví dụ $\dfrac{x^3}{x^2+1}$ tiến tới $+\infty$ khi $x\to+\infty$ . Nhưng nó tiến tới $-\infty$ khi $x\to-\infty$ . Phải xét từng hướng của $x$ .

Every zero of the denominator gives a vertical asymptote.

In fact, the factor may cancel. For example, $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ simplifies to $x+1$ for $x\neq 1$ , so the graph has only a hole at $x=1$ . A vertical asymptote occurs only if the denominator is still 0 at that point after simplifying.

The graph never crosses its horizontal asymptote.

In fact, it can cross it, even many times. A horizontal asymptote describes only the end behavior as $x\to\pm\infty$ , so at finite values of $x$ the graph may meet it. A vertical asymptote, by contrast, is never crossed, because the function is undefined there.

If the degree of the numerator is greater than the degree of the denominator, the function always approaches the same infinity as $x\to\pm\infty$ .

In fact, the signs can differ. For example, $\dfrac{x^3}{x^2+1}$ approaches $+\infty$ as $x\to+\infty$ but approaches $-\infty$ as $x\to-\infty$ . Each direction of $x$ must be checked separately.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Muốn kết luận tiệm cận đứng, hãy viết giới hạn một phía bằng vô cực.

Chỉ ghi 'mẫu bằng 0' là chưa đủ. Giả sử mẫu bằng 0 tại $x=a$ và tử khác 0. Hãy ghi như $\lim_{x\to a^+} f(x)=+\infty$ . Cách này cho thấy đó không phải lỗ thủng.

Bảng xét dấu $f'(x)$ phải ghi cả điểm tử bằng 0 lẫn điểm mẫu bằng 0.

Đạo hàm của hàm này cũng là phân thức. Dấu chỉ có thể đổi tại các điểm đó. Bỏ sót điểm mẫu bằng 0 dễ làm sai khoảng đồng biến, nghịch biến.

To justify a vertical asymptote, write a one-sided limit equal to infinity; saying "the denominator is 0" is not enough.

Suppose the denominator is 0 at $x=a$ and the numerator is nonzero. Write something like $\lim_{x\to a^+} f(x)=+\infty$ , which shows the point is not a hole.

A sign chart for $f'(x)$ must include both the points where the numerator is 0 and the points where the denominator is 0.

The derivative of a rational function is also a rational function, so its sign can change only at those points. Missing a point where the denominator is 0 can lead to wrong intervals of increase and decrease.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn vô cực và tiệm cận đứngGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn tại vô cực và tiệm cận ngangGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhân tích phân thức hữu tỉ khi mẫu số có nhân tử tuyến tính phân biệtTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn vô cực và tiệm cận đứngGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn tại vô cực và tiệm cận ngangGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsttập xác địnhdomain

Dẫn tớiLeads tophân tích thành phân thức đơn giảnpartial fraction decomposition

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm số đa thứcpolynomial function

Khác nhau ở đâuHow they differHàm đa thức xác định trên toàn bộ tập số thực và không có tiệm cận đứng. Hàm phân thức hữu tỉ là thương của hai đa thức nên có thể có điểm gián đoạn tại nghiệm của mẫu số.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi tìm tập xác định hoặc tiệm cận, nhiều bạn quên rằng chỉ hàm phân thức mới bị loại điểm làm mẫu số bằng 0.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 7, 72, 78.