AP Calculus BCAP Calculus AB

điểm gián đoạn vô cựcinfinite discontinuity

infinite discontinuityVietnamese: điểm gián đoạn vô cực

Điểm gián đoạn vô cực (infinite discontinuity) là điểm mà một phía hàm số tiến tới dương hoặc âm vô cùng, nên đồ thị có tiệm cận đứng.An infinite discontinuity is a point where the function increases or decreases without bound from at least one side, so the graph has a vertical asymptote there.

Trực giác: Giống một bức tường vô hình ở $x=a$ : đồ thị càng sát tường thì càng vọt lên (hoặc lao xuống) mãi, không dừng ở độ cao nào.Intuition: Picture an invisible wall at $x=a$ : the closer the graph gets to the wall, the more it shoots upward (or plunges downward) without leveling off at any height.

Công thức chínhKey formula

\lim_{x\to a^-} f(x)=\pm\infty \quad \text{or} \quad \lim_{x\to a^+} f(x)=\pm\infty

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm $f$ có điểm gián đoạn vô cực tại $x=a$ nếu $x$ càng gần $a$ từ ít nhất một phía thì $f(x)$ càng lớn vô hạn. Dấu của $f(x)$ phải giữ cố định: luôn dương ( $+\infty$ ) hoặc luôn âm ( $-\infty$ ).

Với $f(x)=\frac1x$ , khi $x$ dương và càng gần $0$ thì $f(x)$ càng lớn, nên $\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$ . Đường thẳng $x=0$ là tiệm cận đứng của đồ thị.

Chỉ cần một phía thỏa điều kiện. Không thể "vá" bằng cách gán lại $f(a)$ , khác với gián đoạn bỏ được. Nếu $a$ nằm trong đoạn lấy tích phân, đó là tích phân suy rộng.

A function $f$ has an infinite discontinuity at $x=a$ if, as $x$ gets closer to $a$ from at least one side, $f(x)$ grows without bound. The sign of $f(x)$ must stay fixed: always positive ( $+\infty$ ) or always negative ( $-\infty$ ).

For $f(x)=\frac1x$ , when $x$ is positive and approaches $0$ , $f(x)$ grows larger and larger, so $\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$ . The line $x=0$ is a vertical asymptote of the graph.

Only one side needs to satisfy the condition. Unlike a removable discontinuity, an infinite discontinuity cannot be "repaired" by redefining $f(a)$ . If $a$ lies within the interval of integration, the integral is an improper integral.

Ký hiệuNotation

• $\lim_{x\to a^-} f(x)=\pm\infty$ hoặc $\lim_{x\to a^+} f(x)=\pm\infty$
•đường thẳng $x=a$ là tiệm cận đứng.

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{\lim_{x\to a^-} f(x)=\pm\infty} \quad \htmlClass{fp-1}{\text{or}} \quad \htmlClass{fp-2}{\lim_{x\to a^+} f(x)=\pm\infty}

Dùng để kiểm tra $f$ có gián đoạn vô cực tại $x=a$ hay không, tức đồ thị có tiệm cận đứng $x=a$ ở ít nhất một phía.Use this to test whether $f$ has an infinite discontinuity at $x=a$ , that is, whether the graph has a vertical asymptote $x=a$ from at least one side.

Trong đóWhere

a

điểm đang xét, nơi hàm số có thể bị gián đoạn vô cực

f(x)

hàm số đang xét

x\to a^-

x

tiến tới

a

từ phía nhỏ hơn

a

(giới hạn bên trái)

x\to a^+

x

tiến tới

a

từ phía lớn hơn

a

(giới hạn bên phải)

\pm\infty

giá trị của hàm tăng không giới hạn (

+\infty

) hoặc giảm không giới hạn (

-\infty

)

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Đừng coi $\infty$ là một số thực.

Viết $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ chỉ cho biết $f(x)$ lớn vô hạn. Theo cách hiểu của AP, giới hạn này không tồn tại, nên không cộng trừ $\infty$ như số.

Mẫu bằng 0 chưa chắc là gián đoạn vô cực.

Hàm $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ rút gọn thành $x+2$ (với $x\neq 2$ ), nên giới hạn tại $x=2$ là $4$ . Tử và mẫu cùng bằng 0 thì phải rút gọn rồi xét lại.

Hai phía không cần cùng một dấu vô cực.

Hàm $\dfrac{1}{x}$ tại $x=0$ có giới hạn trái là $-\infty$ và giới hạn phải là $+\infty$ . Chỉ cần một giới hạn một phía bằng $\pm\infty$ là đủ.

Do not treat $\infty$ as a real number.

Writing $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ only describes how $f(x)$ grows without bound. By AP convention, the limit does not exist, so you cannot add or subtract $\infty$ as you would a number.

A zero denominator does not guarantee an infinite discontinuity.

The function $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ simplifies to $x+2$ (for $x\neq 2$ ), so its limit at $x=2$ is $4$ . When the numerator and denominator are both $0$ , simplify and then re-evaluate.

The two sides do not need to approach the same infinity.

The function $\dfrac{1}{x}$ at $x=0$ has a left-hand limit of $-\infty$ and a right-hand limit of $+\infty$ . A single one-sided limit equal to $\pm\infty$ is enough.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết riêng từng giới hạn một phía, kèm dấu.

Với $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ : $\lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty$ và $\lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty$ . Dấu lấy từ dấu của tử và mẫu ở mỗi phía của $2$ .

Với hàm phân thức có mẫu bằng 0 tại $x=a$ , thay $x=a$ vào tử trước khi kết luận.

Tử khác 0 thì viết giới hạn một phía. Tử bằng 0 thì rút gọn rồi tính lại: $\dfrac{x-2}{(x-2)^2}=\dfrac{1}{x-2}$ vẫn ra vô cực. Chỉ ghi "mẫu bằng 0" là chưa đủ.

Write each one-sided limit separately, with its sign.

For $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ , $\lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty$ and $\lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty$ . Determine each sign from the signs of the numerator and denominator on that side of $2$ .

For a rational function whose denominator is $0$ at $x=a$ , substitute $x=a$ into the numerator before drawing a conclusion.

If the numerator is nonzero, write the one-sided limits. If it is zero, simplify and re-evaluate: $\dfrac{x-2}{(x-2)^2}=\dfrac{1}{x-2}$ still gives an infinite limit. Stating only that "the denominator is zero" is not enough.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABHay gặpCommon

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termCác loại điểm gián đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn vô cực và tiệm cận đứngGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân suy rộng: xử lý cận vô cực và hàm không bị chặnTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termCác loại điểm gián đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn vô cực và tiệm cận đứngGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstgiới hạn vô cựcinfinite limit tính liên tụccontinuity

Dẫn tớiLeads totích phân suy rộngimproper integral

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

điểm gián đoạn bỏ đượcremovable discontinuity

Khác nhau ở đâuHow they differĐiểm gián đoạn vô cực có giá trị hàm tăng không giới hạn về

\pm\infty

gần điểm đó. Điểm gián đoạn bỏ được có giới hạn hữu hạn nên chỉ cần định nghĩa lại giá trị hàm là hết gián đoạn.

Hay nhầm khiMixed up whenVới

\dfrac{x-2}{x^2-4}

, mẫu bằng 0 tại

x=2

nhưng thừa số

x-2

rút gọn được nên đó là điểm gián đoạn bỏ được; còn tại

x=-2

mới là điểm gián đoạn vô cực.

điểm gián đoạn bước nhảyjump discontinuity

Khác nhau ở đâuHow they differĐiểm gián đoạn vô cực có ít nhất một giới hạn một phía là vô cực. Điểm gián đoạn bước nhảy có hai giới hạn một phía đều hữu hạn nhưng khác nhau.

Hay nhầm khiMixed up whenVới hàm số xác định từng khúc, hai nhánh gặp nhau tại một điểm: nếu giới hạn hai phía là hai số thực khác nhau thì đó là bước nhảy, không phải vô cực.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 430, 559, 563.