AP Calculus BCAP Calculus AB

tiệm cận nganghorizontal asymptote

horizontal asymptoteVietnamese: tiệm cận ngang

Tiệm cận ngang (horizontal asymptote) là đường thẳng nằm ngang mà đồ thị hàm số có thể gần tùy ý khi x rất lớn hoặc rất âm.A horizontal asymptote is a horizontal line that the graph of a function gets arbitrarily close to as $x$ becomes very large or very negative.

Trực giác: Xe đi càng xa thì kim tốc độ càng áp sát một vạch cố định, và gần vạch ấy bao nhiêu cũng được.Intuition: The farther a car travels, the more closely the speedometer needle settles toward one fixed mark, and it gets as close to that mark as you like.

Công thức chínhKey formula

\lim_{x\to\infty} f(x)=L \quad \text{or} \quad \lim_{x\to-\infty} f(x)=L \;\Longrightarrow\; y=L

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Đường $y=L$ là tiệm cận ngang nếu $f(x)$ gần số thực $L$ bao nhiêu cũng được, miễn là $x$ đủ lớn (hoặc đủ âm). Ví dụ $f(x)=\dfrac{1}{x}$ : $x$ càng lớn thì $f(x)$ càng gần $0$ , nên $y=0$ là tiệm cận ngang.

Hai phía $x\to+\infty$ và $x\to-\infty$ có thể cho hai đường khác nhau: $y=\arctan x$ có $y=\pm\dfrac{\pi}{2}$ . Nếu giới hạn là $\pm\infty$ hoặc không tồn tại (như $\sin x$ ), phía đó không có tiệm cận ngang. Với phân thức: bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì $y=0$ ; hai bậc bằng nhau thì $y$ bằng tỉ số hai hệ số cao nhất (tử trên mẫu); bậc tử lớn hơn thì không có.

A horizontal asymptote is a line $y=L$ such that $f(x)$ can be made as close to the real number $L$ as you like by taking $x$ sufficiently large (or sufficiently negative). For example, for $f(x)=\dfrac{1}{x}$ , the larger $x$ becomes, the closer $f(x)$ gets to $0$ , so $y=0$ is a horizontal asymptote.

The two ends, $x\to+\infty$ and $x\to-\infty$ , can give two different lines: $y=\arctan x$ has $y=\pm\dfrac{\pi}{2}$ . If the limit is $\pm\infty$ or does not exist (as with $\sin x$ ), there is no horizontal asymptote on that side. For a rational function: if the degree of the numerator is less than the degree of the denominator, then $y=0$ ; if the degrees are equal, then $y$ equals the ratio of the leading coefficients (numerator over denominator); if the numerator's degree is greater, there is no horizontal asymptote.

Ký hiệuNotation

\lim_{x\to\infty} f(x)=L

hoặc

\lim_{x\to-\infty} f(x)=L

nên tiệm cận ngang là

y=L

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{\lim_{x\to\infty} f(x)=L} \quad \text{or} \quad \htmlClass{fp-1}{\lim_{x\to-\infty} f(x)=L}} \;\Longrightarrow\; \htmlClass{fp-3}{y=L}

Dùng để kiểm tra và viết phương trình tiệm cận ngang: tính giới hạn ở hai phía, nếu được số thực $L$ thì $y=L$ .Use this to test for and write the equation of a horizontal asymptote: evaluate the limit at both ends, and if you get a real number $L$ , then $y=L$ is a horizontal asymptote.

Trong đóWhere

f(x)

hàm số đang xét

L

số thực hữu hạn mà

f(x)

tiến tới khi

x\to\infty

hoặc

x\to-\infty

y=L

phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị

f

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Đồ thị có thể cắt tiệm cận ngang.

Tiệm cận ngang chỉ nói về đoạn đồ thị ở rất xa, nên ở khoảng giữa đồ thị có thể cắt đường $y=L$ một hay nhiều lần.

$L$ phải là một số thực.

Nếu $f(x)\to\infty$ khi $x\to+\infty$ thì phía đó không có tiệm cận ngang, dù đồ thị trông "đi lên đều đều".

Phải xét cả hai phía $+\infty$ và $-\infty$ .

Hai giới hạn có thể khác nhau. Ví dụ $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ có hai đường $y=\pm1$ , còn $e^x$ chỉ có $y=0$ khi $x\to-\infty$ .

A graph can cross its horizontal asymptote.

A horizontal asymptote describes only the behavior far out on the graph, so in the middle region the graph may cross the line $y=L$ once or many times.

$L$ must be a real number.

If $f(x)\to\infty$ as $x\to+\infty$ , there is no horizontal asymptote on that side, even if the graph appears to rise steadily.

You must check both ends, $+\infty$ and $-\infty$ , because the two limits can differ.

For example, $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ has two asymptotes, $y=\pm1$ , while $e^x$ has only $y=0$ , as $x\to-\infty$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Ghi rõ bước giới hạn rồi kết luận phương trình $y=L$ .

Với phân thức, chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $x$ , tính giới hạn, rồi viết "tiệm cận ngang là $y=L$ ". Chỉ ghi $L$ hoặc chỉ ghi giới hạn có thể mất điểm.

Đề hỏi đúng một tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng: kiểm tra riêng từng điều kiện.

Đếm tiệm cận ngang bằng giới hạn khi $x\to\pm\infty$ . Rồi xét điểm làm mẫu bằng $0$ : nếu giới hạn một phía tại đó là $\pm\infty$ thì có tiệm cận đứng.

Show the limit step, then state the equation $y=L$ as your conclusion.

For a rational function, divide the numerator and denominator by the highest power of $x$ , evaluate the limit, and then write "the horizontal asymptote is $y=L$ ." Giving only $L$ or only the limit can cost you points.

If a problem asks for exactly one horizontal asymptote and no vertical asymptotes, check each condition separately.

Count horizontal asymptotes using the limits as $x\to\pm\infty$ . Then examine the points where the denominator equals $0$ : if a one-sided limit there is $\pm\infty$ , there is a vertical asymptote.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

khoảng năm 200 trước Công nguyênApollonius xứ Perga (Apollonius of Perga)

Khoảng năm 200 trước Công nguyên, Apollonius xứ Perga đặt ra thuật ngữ "tiệm cận" khi nghiên cứu các đường conic, chỉ đường thẳng không cắt đường cong.

Around 200 BCE, Apollonius of Perga introduced the term "asymptote" in his study of conic sections, using it for a line that does not intersect the curve.

Vì sao mang đúng cái tên này? Từ "asymptote" bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp ἀσύμπτωτος (asumptōtos), nghĩa là "không rơi cùng nhau". Từ này ghép từ tiền tố phủ định ἀ ("không"), σύν ("cùng nhau") và πτωτός ("đã rơi"). Nói cách khác, đường thẳng và đường cong không "rơi vào" cùng một chỗ, tức là không gặp nhau. Cách hiểu này khớp với nghĩa gốc của Apollonius, người dùng từ ấy để chỉ bất kì đường thẳng nào không cắt đường cong đã cho. Nghĩa hiện nay khác hẳn: tiệm cận là đường thẳng mà khoảng cách đến đường cong tiến về 0 khi x hoặc y tiến ra vô cực. Còn "ngang" (horizontal) chỉ hướng của đường thẳng đó, tức đường y = k song song với trục hoành.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn tại vô cực và tiệm cận ngangGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn vô cực và tiệm cận đứngGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn tại vô cực và tiệm cận ngangGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn vô cực và tiệm cận đứngGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstgiới hạn tại vô cựclimit at infinity

Dẫn tớiLeads tohàm số phân thức hữu tỉrational function

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tiệm cận đứngvertical asymptote

Khác nhau ở đâuHow they differTiệm cận ngang

y=L

xuất hiện khi

f(x)\to L

lúc

x\to\pm\infty

. Tiệm cận đứng

x=a

xuất hiện khi

f(x)\to\pm\infty

lúc

x\to a

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho phân thức như

\dfrac{2x}{x-3}

và hỏi cả hai loại: nghiệm của mẫu cho tiệm cận đứng

x=3

, còn tỉ số hệ số bậc cao nhất cho tiệm cận ngang

y=2

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 5, 79, 167.