AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm số luỹ thừapower function

power functionVietnamese: hàm số luỹ thừa

Hàm số luỹ thừa (power function) là hàm số có biến ở cơ số và số mũ là một hằng số, ví dụ x bình phương, căn bậc ba của x hoặc 1/x.A power function is a function in which the variable is the base and the exponent is a constant, such as $x^2$ , the cube root of $x$ , or $1/x$ .

Trực giác: Tấm gạch vuông: cạnh gấp đôi thì diện tích gấp bốn. Diện tích bằng cạnh bình phương, tức là một hàm luỹ thừa của cạnh.Intuition: Think of a square tile: doubling the side length quadruples the area. Area equals the side length squared, so area is a power function of the side length.

Công thức chínhKey formula

f(x)=x^{a}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm số luỹ thừa (power function) có dạng $y=x^a$ , với $a$ là một số cố định. Ví dụ $y=x^2$ : khi $x=3$ thì $y=9$ . Dạng tổng quát hơn là $y=kx^a$ , với $k$ là hằng số khác $0$ (hệ số nhân). Khi $k=1$ ta được $y=x^a$ .

Số mũ $a$ quyết định miền xác định. Với $a=2,3,\dots$ , hàm xác định trên $\mathbb{R}$ . Với $a=\tfrac12$ (căn bậc hai), cần $x\ge 0$ . Với $a=-1$ (hàm $1/x$ ), cần $x\ne 0$ . Đạo hàm của $x^a$ là $a\,x^{a-1}$ , vẫn là hàm luỹ thừa. Đừng nhầm với hàm mũ như $2^x$ , nơi biến nằm ở số mũ.

A power function has the form $y=x^a$ , where $a$ is a fixed number. For example, for $y=x^2$ , when $x=3$ we get $y=9$ . The more general form is $y=kx^a$ , where $k$ is a nonzero constant (the coefficient). When $k=1$ , this reduces to $y=x^a$ .

The exponent $a$ determines the domain. For $a=2,3,\dots$ , the function is defined on $\mathbb{R}$ . For $a=\tfrac12$ (the square root), we need $x\ge 0$ . For $a=-1$ (the function $1/x$ ), we need $x\ne 0$ . The derivative of $x^a$ is $a\,x^{a-1}$ , which is again a power function. Do not confuse a power function with an exponential function such as $2^x$ , where the variable is in the exponent.

Ký hiệuNotation

• $f(x)=x^a$ với $a$ là hằng số
• $\dfrac{d}{dx}\,x^a=a\,x^{a-1}$
•các trường hợp hay gặp: $x^2$ , $x^3$ , $\sqrt{x}=x^{1/2}$ , $1/x=x^{-1}$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

f(x)=\htmlClass{fp-0}{x}^{\htmlClass{fp-1}{a}}

Dùng để nhận ra hàm luỹ thừa: biến ở cơ số, số mũ là hằng số, khác hàm mũ $2^x$ .Use this form to recognize a power function: the variable is in the base and the exponent is a constant, unlike the exponential function $2^x$ .

Trong đóWhere

x

biến độc lập, nằm ở cơ số

a

số mũ, là hằng số thực bất kì

y=\htmlClass{fp-0}{k}\,\htmlClass{fp-1}{x^{a}}

Dùng khi mô hình hoá số liệu bằng hàm luỹ thừa, như số loài theo diện tích đảo; máy tính hồi quy tìm $k$ và $a$ .Use this form when modeling data with a power function, such as the number of species as a function of island area; a calculator's regression feature finds $k$ and $a$ .

Trong đóWhere

y

đại lượng cần mô hình hoá

x

đại lượng giải thích, nhận giá trị dương

k

hằng số tỉ lệ

a

số mũ của mô hình, tìm từ số liệu

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Hàm luỹ thừa $x^3$ khác hàm mũ $2^x$ , nên đạo hàm không chung công thức.

$\dfrac{d}{dx}x^3=3x^2$ , nhưng $\dfrac{d}{dx}2^x=2^x\ln 2$ , không phải $x\cdot 2^{x-1}$ . Hãy hỏi trước: $x$ đang ở cơ số hay ở số mũ?

Công thức $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ không dùng được khi số mũ $n=-1$ .

Khi đó mẫu số $n+1$ bằng $0$ . Thay vào đó, $\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$ .

Căn và phân thức chỉ có $x$ ở cơ số cũng là hàm luỹ thừa.

Vì $\sqrt{x}=x^{1/2}$ và $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$ , quy tắc luỹ thừa vẫn dùng được: $\dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{x^3}=-3x^{-4}$ , không phải $3x^{-2}$ . Còn $\sqrt{x+1}$ thì không phải hàm luỹ thừa.

The power function $x^3$ and the exponential function $2^x$ do not share a derivative rule.

$\dfrac{d}{dx}x^3=3x^2$ , but $\dfrac{d}{dx}2^x=2^x\ln 2$ , not $x\cdot 2^{x-1}$ . Always ask first whether $x$ is in the base or in the exponent.

The formula $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ fails when the exponent is $n=-1$ .

In that case the denominator $n+1$ equals $0$ . Instead, $\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$ .

Radicals and fractions with $x$ alone in the base are also power functions.

Since $\sqrt{x}=x^{1/2}$ and $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$ , the power rule still applies: $\dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{x^3}=-3x^{-4}$ , not $3x^{-2}$ . However, $\sqrt{x+1}$ is not a power function.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết căn và phân thức dưới dạng $x^k$ trước khi lấy đạo hàm hay nguyên hàm.

Ví dụ $\dfrac{5}{\sqrt{x}}=5x^{-1/2}$ . Dòng chuyển đổi này giúp em dễ soát lại lỗi dấu mũ.

Với số mũ âm, kiểm tra miền xác định trước khi thay cận.

$x^{-2}$ không xác định tại $0$ , nên $\int_0^1 x^{-2}\,dx$ là tích phân suy rộng. Hãy viết $\lim_{t\to 0^+}\int_t^1 x^{-2}\,dx$ , với $t$ là cận dưới tiến về $0$ từ phía dương. Giới hạn này bằng $+\infty$ nên tích phân phân kì.

Rewrite radicals and fractions in the form $x^k$ before differentiating or integrating.

For example, $\dfrac{5}{\sqrt{x}}=5x^{-1/2}$ . This rewriting step makes it easier to catch sign errors in the exponent.

With a negative exponent, check the domain before substituting the limits of integration.

$x^{-2}$ is undefined at $0$ , so $\int_0^1 x^{-2}\,dx$ is an improper integral. Write it as $\lim_{t\to 0^+}\int_t^1 x^{-2}\,dx$ , where $t$ is the lower limit approaching $0$ from the positive side. This limit equals $+\infty$ , so the integral diverges.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from2 phút đọc1 min read

EuclidHippocrates of ChiosArchimedesMichael StifelGottfried LeibnizEuler

Tên ghép hai dòng: “luỹ thừa” từ toán Hy Lạp cổ; hàm số do Leibniz đặt tên năm 1673, Euler đưa vào trung tâm giải tích năm 1748.

The name combines two sources: "power" comes from ancient Greek mathematics, while the function concept was named by Leibniz in 1673 and brought to the center of analysis by Euler in 1748.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "luỹ thừa" tương ứng với từ "power" trong tiếng Anh, và nghĩa gốc của từ này khác xa nghĩa đại số ngày nay. Theo nguồn đã đọc, "power" (tiếng Latinh: potentia, potestas, dignitas) là một bản dịch sai của từ Hy Lạp cổ δύναμις (dúnamis), nghĩa là "sự khuếch đại". Nhà toán học Euclid dùng từ này để chỉ bình phương của một đoạn thẳng, theo cách gọi của Hippocrates of Chios. Vì vậy, ban đầu "luỹ thừa" mang màu sắc hình học: nó nói về diện tích của hình vuông dựng trên một đoạn thẳng, chứ chưa phải một phép tính trên số. Từ "số mũ (exponent)" có con đường riêng. Nó bắt nguồn từ chữ Latinh exponentem, dạng phân từ hiện tại của exponere, nghĩa là "đặt ra phía trước", và được Michael Stifel đặt ra vào năm 1544. Sau đó, năm 1696, Samuel Jeake đưa ra thuật ngữ "chỉ số (indices)", và từ "involution" từng được dùng đồng nghĩa với nó. Nhờ những lớp tên gọi chồng lên nhau này, phần "luỹ thừa" của cụm từ đã mang cả dấu vết hình học Hy Lạp lẫn lối viết đại số thế kỷ 16. Phần "hàm số (function)" thì trẻ hơn nhiều. Leibniz đưa thuật ngữ này vào năm 1673, cùng với các thuật ngữ liên quan như hằng số và biến số. Đến năm 1748, Euler xuất bản Introductio in analysin infinitorum và đặt khái niệm hàm số vào trung tâm của giải tích. Do đó, "hàm số luỹ thừa" là một cái tên ghép, trong đó vế đầu vọng lại hình học Hy Lạp cổ, còn vế sau thuộc về giải tích hiện đại.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc lũy thừaĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn tại vô cực và tiệm cận ngangGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc lũy thừaĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn tại vô cực và tiệm cận ngangGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstsố mũexponent hàm sốfunction

Dẫn tớiLeads toquy tắc luỹ thừapower rule tích phân bất địnhindefinite integral

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tăng trưởng mũexponential growth

Khác nhau ở đâuHow they differHàm số luỹ thừa

x^n

có cơ số biến thiên và số mũ cố định. Hàm mũ như

a^x

có cơ số cố định và số mũ là biến.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi lấy đạo hàm, nhiều thí sinh áp dụng quy tắc luỹ thừa cho

2^x

và viết sai thành

x\cdot 2^{x-1}

, trong khi đúng phải là

2^x\ln 2

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 62, 68, 80.