AP Calculus BCAP Calculus AB

quy tắc luỹ thừapower rule

power ruleVietnamese: quy tắc luỹ thừa

Quy tắc luỹ thừa (power rule) là quy tắc tính đạo hàm của x mũ n bằng cách hạ số mũ n xuống làm hệ số rồi giảm số mũ đi một.The power rule is the rule for differentiating $x^n$ : bring the exponent $n$ down as a coefficient, then reduce the exponent by one.

Trực giác: Khối lập phương cạnh $x$ tăng thêm một chút $h$ thì thể tích tăng gần $3x^2h$ . Có 3 mặt, mỗi mặt diện tích $x^2$ .Intuition: If a cube with side length $x$ grows by a small amount $h$ , its volume increases by about $3x^2h$ . The cube has 3 faces that matter, each with area $x^2$ .

Công thức chínhKey formula

\dfrac{d}{dx}\left(x^n\right)=n\,x^{n-1}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Quy tắc luỹ thừa cho biết đạo hàm của $x^n$ , với $n$ là một số cố định: hạ số mũ xuống làm hệ số, rồi giảm số mũ đi 1.

Ví dụ: $(x^4)'=4x^3$ , nên tại $x=2$ đạo hàm bằng $4\cdot 8=32$ . Quy tắc cũng đúng khi $n$ âm hoặc là phân số, miễn $x^n$ có đạo hàm tại các $x$ đang xét (với $\sqrt{x}$ , chỉ xét $x>0$ ). Với căn thức và phân thức, hãy viết về dạng luỹ thừa trước: $\sqrt{x}=x^{1/2}$ , $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ .

The power rule gives the derivative of $x^n$ , where $n$ is a fixed number: bring the exponent down as a coefficient, then subtract 1 from the exponent.

For example, $(x^4)'=4x^3$ , so at $x=2$ the derivative equals $4\cdot 8=32$ . The rule also holds when $n$ is negative or a fraction, as long as $x^n$ is differentiable at the values of $x$ under consideration (for $\sqrt{x}$ , only $x>0$ is considered). For radicals and fractions, first rewrite the expression as a power: $\sqrt{x}=x^{1/2}$ , $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ .

Ký hiệuNotation

• $\dfrac{d}{dx}\left(x^n\right)=nx^{n-1}$
• $f(x)=x^n \Rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$
• $y=x^n \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=nx^{n-1}$

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{\dfrac{d}{dx}\left(x^n\right)}=\htmlClass{fp-1}{n}\,\htmlClass{fp-2}{x^{n-1}}

Dùng khi đạo hàm $x^n$ với $n$ là hằng số; có căn hoặc $x$ ở mẫu thì viết lại thành luỹ thừa trước.Use this when differentiating $x^n$ with $n$ constant; if the expression has a radical or $x$ in the denominator, first rewrite it as a power.

Trong đóWhere

x

biến số của hàm;

x^n

là hàm lũy thừa theo biến này

n

số mũ, là một hằng số thực bất kỳ (nguyên dương, âm hoặc phân số)

\dfrac{d}{dx}

toán tử lấy đạo hàm theo biến

x

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Không dùng quy tắc luỹ thừa cho $2^x$ .

Biến nằm ở số mũ, không phải ở cơ số. Viết $(2^x)'=x\cdot 2^{x-1}$ là sai. Đạo hàm đúng là $2^x\ln 2$ .

Phải làm cả hai bước: hạ số mũ xuống và giảm số mũ đi 1.

Do đó $(x^5)'=5x^4$ , không phải $5x^5$ hay $4x^4$ . Với $\sqrt{x}=x^{1/2}$ , số mũ mới là $\tfrac12-1=-\tfrac12$ .

The power rule does not apply to $2^x$ .

The variable is in the exponent, not in the base, so writing $(2^x)'=x\cdot 2^{x-1}$ is wrong. The correct derivative is $2^x\ln 2$ .

Both steps are required: bring the exponent down and subtract 1 from it.

That is why $(x^5)'=5x^4$ , not $5x^5$ or $4x^4$ . For $\sqrt{x}=x^{1/2}$ , the new exponent is $\tfrac12-1=-\tfrac12$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết lại hàm về dạng $x^n$ ngay dòng đầu, trước khi đạo hàm.

Ví dụ ghi rõ $\dfrac{4}{\sqrt[3]{x}}=4x^{-1/3}$ . Nếu sau đó sai một dấu, bài làm có thể vẫn được điểm các bước đúng.

Gặp tích đơn giản, hãy khai triển rồi đạo hàm từng số hạng.

Ví dụ $x^2(x+3)=x^3+3x^2$ . Cách này nhanh và ít sai hơn quy tắc tích. Chỉ dùng quy tắc tích hoặc quy tắc dây chuyền khi khó khai triển.

Rewrite the function in the form $x^n$ on the first line, before differentiating.

For example, write $\dfrac{4}{\sqrt[3]{x}}=4x^{-1/3}$ explicitly. If you later make a sign error, you may still earn credit for the correct steps.

For a simple product, expand it and differentiate term by term.

For example, $x^2(x+3)=x^3+3x^2$ . This is faster and less error-prone than the product rule. Use the product rule or chain rule only when expanding is difficult.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

giữa thế kỷ 17Bonaventura CavalieriPierre de FermatEvangelista TorricelliGilles de RobervalJohn WallisBlaise PascalIsaac NewtonGottfried Wilhelm Leibniz

Quy tắc luỹ thừa xuất phát từ bài toán tính diện tích dưới đồ thị hàm luỹ thừa; giữa thế kỷ 17, Newton và Leibniz độc lập tìm ra phần đạo hàm.

The power rule arose from the problem of finding the area under the graph of a power function. In the mid-17th century, Newton and Leibniz independently worked out the derivative side.

Nguồn đối chiếuSources

en.wikipedia.orgPower rule - Wikipedia

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo n và x₀ — đường đạo hàm luôn thấp hơn đường gốc một bậc

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc lũy thừaĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm của tổng, hiệu và bội hằng sốĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc lũy thừaĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm của tổng, hiệu và bội hằng sốĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstđạo hàmderivative số mũexponent

Dẫn tớiLeads toquy tắc dây chuyềnchain rule nguyên hàmantiderivative

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm số luỹ thừapower function

Khác nhau ở đâuHow they differQuy tắc luỹ thừa dùng để lấy đạo hàm của

x^n

. Hàm số luỹ thừa

y=x^n

là đối tượng bị lấy đạo hàm, không phải quy tắc.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi gặp hàm mũ như

2^x

hoặc

e^x

, biến nằm ở số mũ nên không phải hàm luỹ thừa, và không được dùng quy tắc luỹ thừa để lấy đạo hàm.

quy tắc dây chuyềnchain rule

Khác nhau ở đâuHow they differQuy tắc luỹ thừa chỉ áp dụng khi cơ số là chính biến

x

. Quy tắc dây chuyền cần thiết khi cơ số là một biểu thức của

x

, như

(3x^2+1)^5

Hay nhầm khiMixed up whenQuên nhân thêm đạo hàm của biểu thức bên trong, chẳng hạn viết

\dfrac{d}{dx}(3x^2+1)^5=5(3x^2+1)^4

thay vì nhân thêm

6x

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 205–207.