AP Calculus BCAP Calculus AB

số mũexponent

exponentVietnamese: số mũ

Số mũ (exponent) là số viết nhỏ phía trên bên phải cơ số; với số mũ nguyên dương, nó cho biết cơ số được nhân với chính nó bao nhiêu lần.An exponent is the small number written to the upper right of a base; for a positive integer exponent, it tells how many times the base is multiplied by itself.

Trực giác: Giống bấm nút “×2” trên máy tính, bắt đầu từ 1: bấm 3 lần được 8, tức $2^3$ . Số mũ âm nghĩa là bấm “÷2”, ví dụ $2^{-3}$ là bấm ÷2 ba lần.Intuition: Think of pressing a "×2" button on a calculator, starting from 1: pressing it 3 times gives 8, which is $2^3$ . A negative exponent means pressing "÷2" instead, so $2^{-3}$ is pressing ÷2 three times.

Công thức chínhKey formula

b^{n}=\underbrace{b\cdot b\cdots b}_{n}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Trong $b^x$ , $b$ là cơ số và $x$ là số mũ. Khi $x$ nguyên dương, số mũ cho biết cơ số được nhân với chính nó bao nhiêu lần: $2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$ .

Với $m,n$ nguyên dương thì $b^m b^n=b^{m+n}$ . Để quy tắc này còn đúng cho mọi số mũ, ta quy ước $b^0=1$ , $b^{-n}=1/b^n$ (với $b\ne 0$ ) và $b^{1/n}=\sqrt[n]{b}$ (với $b>0$ ). Khi $b>0$ , $b^x$ xác định với mọi số thực $x$ . Dễ nhầm: $x^2$ (biến ở cơ số) là hàm lũy thừa, còn $2^x$ (biến ở số mũ) là hàm mũ; đạo hàm của chúng khác nhau.

In $b^x$ , $b$ is the base and $x$ is the exponent. When $x$ is a positive integer, the exponent counts how many copies of the base are multiplied together: $2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$ .

For positive integers $m$ and $n$ , $b^m b^n=b^{m+n}$ . To keep this rule valid for every exponent, we define $b^0=1$ , $b^{-n}=1/b^n$ (for $b\ne 0$ ), and $b^{1/n}=\sqrt[n]{b}$ (for $b>0$ ). When $b>0$ , $b^x$ is defined for every real number $x$ . Be careful not to confuse $x^2$ (variable in the base), which is a power function, with $2^x$ (variable in the exponent), which is an exponential function; their derivatives are different.

Ký hiệuNotation

• $b^x$ (cơ số $b$ , số mũ $x$ )
• $x^n$ (hàm lũy thừa)
• $e^x$ , $2^x$ (hàm mũ)
• $\ln x = y \iff e^y = x$

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

\htmlClass{fp-0}{b^{n}}=\htmlClass{fp-1}{\underbrace{b\cdot b\cdots b}_{n}}

Dùng khi số mũ là số nguyên dương, hiểu như nhân lặp cơ số; từ đây mở rộng sang số mũ 0, âm, hữu tỉ và thực.Use this when the exponent is a positive integer, read as repeated multiplication of the base; from here the idea extends to zero, negative, rational, and real exponents.

Trong đóWhere

b

cơ số, số được nhân lặp

n

số mũ, số nguyên dương cho biết số thừa số

b^{x}b^{y}=b^{x+y},\qquad (b^{x})^{y}=b^{xy},\qquad b^{-x}=\dfrac{1}{b^{x}},\qquad b^{1/n}=\sqrt[n]{b}

Dùng để đơn giản hoá biểu thức có số mũ, thường trước khi lấy đạo hàm hoặc tích phân hàm mũ.Use this to simplify expressions with exponents, often before differentiating or integrating an exponential function.

Trong đóWhere

b

cơ số,

b>0

x,\ y

các số mũ, là số thực bất kì

n

số nguyên dương, chỉ bậc của căn

b^{y}=x\iff y=\log_b x,\qquad e^{\ln x}=x\ (x>0)

Dùng khi ẩn nằm ở số mũ: lấy logarit hai vế để đưa ẩn xuống, vì $\log_b x$ là số mũ cần đặt lên $b$ để được $x$ .Use this when the unknown is in the exponent: take the logarithm of both sides to bring the unknown down, since $\log_b x$ is the exponent to which $b$ must be raised to get $x$ .

Trong đóWhere

b

cơ số,

b>0

và

b\neq 1

y

số mũ cần tìm

x

giá trị của lũy thừa,

x>0

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Đừng làm rơi dấu trừ trong số mũ.

Số mũ âm làm hàm giảm dần: $100e^{-0{,}05t}$ giảm khi $t$ tăng, còn $100e^{0{,}05t}$ tăng. Viết xong hãy kiểm tra dấu có khớp với đề (giảm hay tăng) không.

Đừng đạo hàm $e^{kt}$ bằng quy tắc lũy thừa.

Với $k$ là hằng số, $\dfrac{d}{dt}e^{kt}=ke^{kt}$ , không phải $kt\,e^{kt-1}$ . Quy tắc lũy thừa chỉ dùng khi biến ở cơ số, như $t^n$ với $n$ là hằng số.

Do not drop the negative sign in an exponent.

A negative exponent makes the function decrease: $100e^{-0.05t}$ decreases as $t$ increases, while $100e^{0.05t}$ increases. After writing the expression, check that the sign matches the situation (decay or growth).

Do not differentiate $e^{kt}$ with the power rule.

For a constant $k$ , $\dfrac{d}{dt}e^{kt}=ke^{kt}$ , not $kt\,e^{kt-1}$ . The power rule applies only when the variable is in the base, as in $t^n$ with $n$ constant.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Đặt toàn bộ số mũ trong ngoặc khi nhập vào máy tính, ví dụ $100e^{(-0{,}05x)}$ .

Thiếu ngoặc, máy có thể hiểu sai và vẽ đồ thị khác hẳn. Khi ghi kết quả, giữ ít nhất ba chữ số thập phân và không làm tròn sớm.

Thế nghiệm vào hai vế để kiểm tra khi giải phương trình có số mũ bằng máy.

Cách này bắt được cả lỗi dấu trong số mũ lẫn lỗi gõ máy. Nhớ đối chiếu miền giá trị của đề (ví dụ $t>0$ ) để loại giao điểm nằm ngoài miền.

Put the entire exponent in parentheses when entering it on a calculator, for example $100e^{(-0.05x)}$ .

Without parentheses, the calculator may misread the expression and graph something very different. When reporting results, keep at least three decimal places and do not round early.

When solving an exponential equation on a calculator, substitute your solution into both sides to check it.

This catches both sign errors in the exponent and keystroke errors. Also compare against the domain given in the problem (for example $t>0$ ) to rule out intersections outside it.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1544Michael StifelArchimedesLeonhard Euler

Năm 1544, Michael Stifel dùng từ "exponent" trong Arithmetica Integra, lần dùng hiện đại đầu tiên được ghi nhận, để viết gọn phép nhân lặp lại.

In 1544, Michael Stifel used the word "exponent" in Arithmetica Integra, the first recorded modern use, as a shorthand for repeated multiplication.

Vì sao mang đúng cái tên này? Từ "exponent" bắt nguồn từ dạng phân từ hiện tại exponentem của động từ Latinh exponere, nghĩa là "đặt ra, bày ra". Một nguồn khác tách động từ này thành expo ("ra ngoài") và ponere ("đặt"). Cách hiểu này khớp với cách Stifel nói về phép tính của mình. Ông chỉ làm việc với cơ số 2, nên ở đẳng thức $2^3 = 8$ ông nói "3 là sự 'bày ra' của 8". Cách nói ấy nghe ngược so với thói quen ngày nay, vì ta đọc đơn giản là "2 mũ 3". Vì vậy, nghĩa gốc của tên gọi là con số được "đặt ra bên ngoài" để cho biết cần nhân bao nhiêu thừa số. Tên gọi này khác với từ "lũy thừa" (power). Từ tiếng Anh power là bản dịch sai của từ Hy Lạp cổ δύναμις (dúnamis, nghĩa là "sự khuếch đại"), mà Euclid dùng để chỉ bình phương của một đoạn thẳng, theo cách gọi của Hippocrates xứ Chios. Về sau, năm 1696, Samuel Jeake đưa ra thuật ngữ chỉ số (indices) để gọi các số mũ. Từ involution từng được dùng đồng nghĩa với indices nhưng ít người dùng dần.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc lũy thừaĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm của sin x, cos x, e^x và ln xĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc lũy thừaĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm của sin x, cos x, e^x và ln xĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction

Dẫn tớiLeads toquy tắc luỹ thừapower rule lôgarit tự nhiênnatural logarithm

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm số luỹ thừapower function

Khác nhau ở đâuHow they differSố mũ là một thành phần của biểu thức, chỉ số lần nhân cơ số với chính nó. Hàm số luỹ thừa là cả hàm

x^n

, có cơ số biến thiên và số mũ cố định.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

x^3

và

3^x

rồi hỏi cách lấy đạo hàm: ở

x^3

biến nằm ở cơ số nên dùng quy tắc luỹ thừa, còn ở

3^x

biến nằm ở số mũ nên không dùng được.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 80, 93–94.