AP Calculus BCAP Calculus AB

lôgarit tự nhiênnatural logarithm

natural logarithmVietnamese: lôgarit tự nhiên

Lôgarit tự nhiên (natural logarithm), viết là ln x, là lôgarit cơ số e (e xấp xỉ 2,718), xác định khi x dương và là hàm ngược của hàm mũ cơ số e.The natural logarithm, written $\ln x$ , is the logarithm with base $e$ (where $e\approx 2.718$ ). It is defined for $x>0$ and is the inverse of the exponential function with base $e$ .

Trực giác: Với lãi liên tục 100% mỗi năm, $e^t$ là số lần tiền tăng sau $t$ năm. Còn $\ln$ cho biết cần chờ bao nhiêu năm để tiền tăng đến mức đó.Intuition: With continuous compounding at 100% per year, $e^t$ is the factor by which money grows after $t$ years. The function $\ln$ reverses this: it tells you how many years you must wait for the money to grow by a given factor.

Công thức chínhKey formula

\ln x = y \iff e^y = x

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Lôgarit tự nhiên $\ln x$ là số mũ cần đặt lên $e$ để được $x$ , với $e\approx 2{,}718$ . Ví dụ $\ln 1=0$ vì $e^0=1$ . Hàm $\ln x$ chỉ xác định khi $x>0$ . Tập giá trị là $\mathbb{R}$ .

$\ln$ và $e^x$ triệt tiêu nhau: $\ln(e^x)=x$ với mọi $x$ , còn $e^{\ln x}=x$ với $x>0$ . Nhờ đó, lấy $\ln$ hai vế giải được phương trình mũ. Với $a,b>0$ vẫn có $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ . Đổi cơ số: $\log_b x=\dfrac{\ln x}{\ln b}$ , với $b>0$ , $b\neq1$ .

The natural logarithm $\ln x$ is the exponent to which $e$ must be raised to produce $x$ , where $e\approx 2.718$ . For example, $\ln 1=0$ because $e^0=1$ . The function $\ln x$ is defined only for $x>0$ , and its range is $\mathbb{R}$ .

The functions $\ln$ and $e^x$ undo each other: $\ln(e^x)=x$ for all $x$ , and $e^{\ln x}=x$ for $x>0$ . This is why taking $\ln$ of both sides solves exponential equations. For $a,b>0$ , the product rule $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ holds. The change-of-base formula is $\log_b x=\dfrac{\ln x}{\ln b}$ , where $b>0$ and $b\neq1$ .

Ký hiệuNotation

• $\ln x$ (đọc là "len x"), $\ln x = \log_e x$
• $y = \ln x \iff e^y = x$
• $\ln(e^x) = x$ , $e^{\ln x} = x$
• $\ln 1 = 0$ , $\ln e = 1$ .

Công thức chi tiếtFormula details4 công thức4 formulas

\htmlClass{fp-0}{\ln x = y} \htmlClass{fp-1}{\iff} \htmlClass{fp-2}{e^y = x}

Dùng khi cần đổi phương trình có $\ln$ sang dạng mũ, hoặc ngược lại. Đây chính là định nghĩa của $\ln$ .Use this to convert an equation containing $\ln$ into exponential form, or the reverse. It is the definition of $\ln$ .

Trong đóWhere

x

số dương cần lấy lôgarit, tức

x>0

y

giá trị của

\ln x

, cũng là số mũ mà

e

phải mang để cho ra

x

e

cơ số tự nhiên,

e \approx 2{,}71828

e^{\ln x}=x\ \ (x>0),\qquad \ln\left(e^{x}\right)=x

Dùng để giải phương trình: lấy $\ln$ hai vế để gỡ $x$ khỏi số mũ, hoặc lấy $e$ mũ hai vế để gỡ $x$ khỏi $\ln$ .Use these to solve equations: take $\ln$ of both sides to bring $x$ out of an exponent, or raise $e$ to both sides to free $x$ from inside a $\ln$ .

Trong đóWhere

x

biến số; trong

e^{\ln x}

phải có

x>0

\htmlClass{fp-0}{\log_b x}=\dfrac{\htmlClass{fp-1}{\ln x}}{\htmlClass{fp-2}{\ln b}}

Dùng khi tính hoặc vẽ đồ thị lôgarit cơ số khác $e$ bằng máy tính, vì máy đều có phím $\ln$ .Use this to evaluate or graph logarithms with a base other than $e$ on a calculator, since every calculator has an $\ln$ key.

Trong đóWhere

b

cơ số của lôgarit, với

b>0

và

b\neq 1

x

số dương cần lấy lôgarit

\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}\quad (x>0)

Dùng khi lấy đạo hàm của $\ln$ hoặc nguyên hàm của $\frac1x$ . Với hàm hợp thì $\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u}$ .Use this to differentiate $\ln$ or to integrate $\frac1x$ . For a composite function, $\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u}$ .

Trong đóWhere

x

biến số, với

x>0

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

$\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b$ .

Quy tắc cộng chỉ dùng cho tích và thương: $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ và $\ln\frac ab=\ln a-\ln b$ . Còn $\frac{\ln a}{\ln b}$ không bằng $\ln\frac ab$ . Hãy kiểm tra trong dấu $\ln$ có đúng là tích hoặc thương không.

Đạo hàm của $\ln u$ là $\frac{u'}{u}$ , không chỉ là $\frac1u$ .

Ở đây $u$ là hàm có đạo hàm và $u>0$ . Công thức $\frac{d}{dx}\ln x=\frac1x$ chỉ là trường hợp $u=x$ . Với $\ln(3x^2+1)$ , phải nhân thêm đạo hàm hàm bên trong (đạo hàm hàm hợp), được $\frac{6x}{3x^2+1}$ .

Nguyên hàm của $\frac1x$ là $\ln|x|+C$ , không được bỏ dấu giá trị tuyệt đối hay hằng số $C$ .

Hàm $\frac1x$ xác định cả khi $x<0$ , mà $\ln x$ chỉ có nghĩa khi $x>0$ . Công thức nguyên hàm của $x^n$ không dùng được cho $n=-1$ .

$\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b$ .

The addition rule applies only to products and quotients: $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ and $\ln\frac ab=\ln a-\ln b$ . Also, $\frac{\ln a}{\ln b}$ is not equal to $\ln\frac ab$ , so check that the argument of $\ln$ is really a product or a quotient.

The derivative of $\ln u$ is $\frac{u'}{u}$ , not just $\frac1u$ .

Here $u$ is a differentiable function with $u>0$ , and the formula $\frac{d}{dx}\ln x=\frac1x$ is only the special case $u=x$ . For $\ln(3x^2+1)$ , you must multiply by the derivative of the inner function (the chain rule), which gives $\frac{6x}{3x^2+1}$ .

The antiderivative of $\frac1x$ is $\ln|x|+C$ , so do not drop the absolute value or the constant $C$ .

The function $\frac1x$ is defined for $x<0$ as well, but $\ln x$ makes sense only for $x>0$ . The power rule for antiderivatives of $x^n$ does not work for $n=-1$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi $\ln T$ nằm ở mẫu, hãy ghi rõ $T>0$ và $T\neq1$ .

Biểu thức $T$ trong dấu $\ln$ phải dương để $\ln T$ có nghĩa. Mẫu khác 0 nên $\ln T\neq0$ , tức là $T\neq1$ .

Khi dùng máy tính, bấm phím $\ln$ , không bấm phím lôgarit thập phân.

Hai phím cho kết quả khác nhau. Hãy giữ ít nhất ba chữ số thập phân để không mất điểm làm tròn.

When $\ln T$ is in a denominator, state explicitly that $T>0$ and $T\neq1$ .

The expression $T$ inside $\ln$ must be positive for $\ln T$ to be defined. The denominator cannot be zero, so $\ln T\neq0$ , which means $T\neq1$ .

On a calculator, press the $\ln$ key, not the common logarithm key.

The two keys give different results. Keep at least three decimal places so you do not lose points to rounding.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

trước 1649 (khái niệm); 1668 (tên gọi phổ biến); 1893 (kí hiệu ln)Grégoire de Saint-VincentAlphonse Antonio de SarasaPietro MengoliNicholas MercatorLeonhard EulerIrving Stringham

Trước 1649, Saint-Vincent và de Sarasa phát hiện diện tích dưới hypebol

xy=1

có tính chất lôgarit; Mercator phổ biến tên "tự nhiên" năm 1668.

Before 1649, Saint-Vincent and de Sarasa discovered that the area under the hyperbola

xy=1

has logarithmic properties; Mercator popularized the name "natural" in 1668.

Vì sao mang đúng cái tên này? Từ "lôgarit" do John Napier đặt trong công trình năm 1614. Nó ghép từ hai gốc Hy Lạp: logos (tỉ lệ, lí lẽ) và arithmos (số). Chữ "tỉ lệ" nhắc đến cách làm ban đầu của Napier, tức xây dựng lôgarit từ các cấp số nhân. Cụm "lôgarit tự nhiên" có nguồn gốc từ Pietro Mengoli (1625–1686), người được cho là đã dùng thuật ngữ này đầu tiên. Cách gọi trong tiếng Latin là logarithmus naturalis. Mercator tiếp nhận tên gọi đó từ Mengoli để chỉ những giá trị tính được bằng chuỗi vô hạn trong công trình của ông. Vì sao lại là "tự nhiên" thì chưa ai biết chắc. Có ba lời giải thích thường được nêu: số $e$ xuất hiện thường xuyên trong tự nhiên, lôgarit cơ số $e$ có đạo hàm đơn giản nhất, và lôgarit theo mọi cơ số khác đều quy được về lôgarit cơ số $e$ . Tuy nhiên, cả ba ý này đều chưa được biết đến vào thời Mercator, nên lí do thực sự của ông hẳn là một điều khác. Trật tự "danh từ đứng trước, tính từ đứng sau" của cụm Latin còn được cho là lí do kí hiệu viết là $\ln$ chứ không phải "nl". Đây chỉ là một gợi ý trong một cuộc thảo luận, không phải kết luận đã được kiểm chứng. Kí hiệu $\ln$ xuất hiện lần đầu năm 1893, trong sách của Irving Stringham.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm của sin x, cos x, e^x và ln xĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm hàm ngượcĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm tổng quát bằng phương pháp tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm của sin x, cos x, e^x và ln xĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDifferentiating Inverse Functions (đạo hàm hàm ngược)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm tổng quát bằng phương pháp tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstsố enumber e hàm số ngượcinverse function

Dẫn tớiLeads tophương pháp tách biếnseparation of variables tăng trưởng mũexponential growth

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm số lôgaritlogarithmic function

Khác nhau ở đâuHow they differLôgarit tự nhiên

\ln x

luôn có cơ số e. Hàm số lôgarit nói chung

\log_b x

có cơ số

b

tuỳ ý, với

b>0

và

b\neq 1

Hay nhầm khiMixed up whenĐề AP viết

\ln x

khi đạo hàm hoặc tích phân; nếu gặp

\log_b x

thì phải đổi về

\dfrac{\ln x}{\ln b}

trước khi tính.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 92–94.