AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm số đơn ánhone-to-one function

one-to-one functionVietnamese: hàm số đơn ánh

Hàm số đơn ánh (one-to-one function) là hàm mà hai đầu vào khác nhau luôn cho hai đầu ra khác nhau, nên mỗi đầu ra có đúng một đầu vào.A one-to-one function is a function in which different inputs always produce different outputs, so each output comes from exactly one input.

Trực giác: Giống như mỗi học sinh trong lớp có một số báo danh riêng: không có hai bạn nào trùng số, nên nhìn số là biết ngay đó là ai.Intuition: Think of a class in which every student has a unique ID number. No two students share a number, so the number tells you immediately who the student is.

Công thức chínhKey formula

x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm số $f$ là đơn ánh (one-to-one function) nếu hai đầu vào khác nhau luôn cho hai đầu ra khác nhau. Nhờ vậy, biết đầu ra là suy ngược được đúng một đầu vào. Vì vậy chỉ hàm đơn ánh mới có hàm ngược $f^{-1}$ .

Hàm không đơn ánh như $x^2$ phải thu hẹp tập xác định (chẳng hạn $x\ge 0$ ) rồi mới lấy hàm ngược. Về hình học, hàm đơn ánh khi không có đường thẳng ngang nào cắt đồ thị quá một lần. Hàm luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên một khoảng thì đơn ánh trên khoảng đó.

A function $f$ is a one-to-one function if different inputs always produce different outputs. As a result, any output can be traced back to exactly one input, which is why only one-to-one functions have an inverse $f^{-1}$ .

A function that is not one-to-one, such as $x^2$ , must have its domain restricted (for example, to $x\ge 0$ ) before an inverse can be defined. Graphically, a function is one-to-one when no horizontal line crosses its graph more than once. A function that is always increasing (or always decreasing) on an interval is one-to-one on that interval.

Ký hiệuNotation

• $x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$
•hàm ngược của $f$ ký hiệu là $f^{-1}$

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{x_1\neq x_2} \Rightarrow \htmlClass{fp-1}{f(x_1)\neq f(x_2)}}

Dùng làm định nghĩa hàm số đơn ánh; về hình học tương đương phép thử đường thẳng ngang.This is the definition of a one-to-one function; geometrically, it is equivalent to the horizontal line test.

Trong đóWhere

f

hàm số đang xét

x_1, x_2

hai giá trị bất kỳ thuộc tập xác định của

f

f(x_1), f(x_2)

giá trị của hàm tại hai điểm đó

\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{f(x_1)=f(x_2)} \Rightarrow \htmlClass{fp-1}{x_1=x_2}}

Dùng để chứng minh hàm cho bằng biểu thức là đơn ánh, chẳng hạn từ $x_1^3=x_2^3$ suy ra $x_1=x_2$ .Use this to prove that a function given by a formula is one-to-one, for example by deducing $x_1=x_2$ from $x_1^3=x_2^3$ .

Trong đóWhere

f

hàm số cần kiểm tra

x_1, x_2

hai giá trị bất kỳ thuộc tập xác định của

f

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Không phải hàm số nào cũng đơn ánh.

Hàm số chỉ cần mỗi $x$ cho một $y$ . Đơn ánh đòi thêm chiều ngược lại: hai $x$ khác nhau không cho cùng $y$ . Ví dụ $f(x)=x^2$ là hàm hợp lệ nhưng $f(2)=f(-2)=4$ , nên không đơn ánh trên $\mathbb{R}$ .

Phép thử đường thẳng đứng không kiểm tra được tính đơn ánh.

Phép thử đó chỉ cho biết đồ thị có phải của một hàm số hay không. Tính đơn ánh dùng phép thử đường thẳng ngang: một đường ngang cắt đồ thị từ hai điểm trở lên thì hàm không đơn ánh.

Thử vài giá trị cho kết quả khác nhau chưa đủ để kết luận hàm đơn ánh.

Định nghĩa đòi hỏi mọi cặp $x_1\neq x_2$ , nên vài phép thử chỉ bác bỏ được. Ví dụ $f(x)=x^3-3x$ có $f(0)=0$ , $f(1)=-2$ , $f(2)=2$ đều khác nhau, nhưng $f(\sqrt{3})=f(0)=0$ .

Not every function is one-to-one.

A function only requires that each $x$ gives one $y$ , while a one-to-one function also requires that different $x$ -values never give the same $y$ . For example, $f(x)=x^2$ is a valid function, but $f(2)=f(-2)=4$ , so it is not one-to-one on $\mathbb{R}$ .

The vertical line test cannot check whether a function is one-to-one.

It only tells you whether a graph represents a function. To test for one-to-one, use the horizontal line test: if any horizontal line crosses the graph at two or more points, the function is not one-to-one.

Getting different outputs for a few test values does not show that a function is one-to-one.

The definition applies to every pair $x_1\neq x_2$ , so a few tests can only disprove it. For example, $f(x)=x^3-3x$ has $f(0)=0$ , $f(1)=-2$ , and $f(2)=2$ , all different, but $f(\sqrt{3})=f(0)=0$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi dùng hàm ngược, phải nêu lý do $f$ đơn ánh.

Chẳng hạn $f'(x)>0$ trên khoảng đang xét nên $f$ đồng biến, do đó đơn ánh và có hàm ngược. Bài AP thường cần bước này, đừng chỉ thay số vào $(f^{-1})'(a)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(a))}$ . Nhớ kiểm tra mẫu khác $0$ .

Chứng minh hàm không đơn ánh: chỉ cần một cặp giá trị khác nhau cho cùng đầu ra.

Với $f(x)=x^2$ , ta có $f(-2)=f(2)=4$ . Còn chứng minh hàm đơn ánh thì không dùng ví dụ số, mà dựa vào định nghĩa hoặc dấu của $f'(x)$ .

When you use an inverse function, justify why $f$ is one-to-one.

For example, if $f'(x)>0$ on the interval, then $f$ is increasing, so it is one-to-one and has an inverse. AP problems often expect this step, so do not just substitute into $(f^{-1})'(a)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(a))}$ , and check that the denominator is not $0$ .

To show a function is not one-to-one, one counterexample is enough: two different inputs with the same output.

For $f(x)=x^2$ , $f(-2)=f(2)=4$ . To show a function is one-to-one, numerical examples are not enough; use the definition or the sign of $f'(x)$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm hàm ngượcĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhoảng đồng biến & nghịch biến của hàm sốỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDifferentiating Inverse Functions (đạo hàm hàm ngược)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhoảng đồng biến & nghịch biến của hàm sốỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction tập xác địnhdomain

Dẫn tớiLeads tohàm số ngượcinverse function

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm sốfunction

Khác nhau ở đâuHow they differHàm số chỉ đòi hỏi mỗi

x

cho đúng một

y

. Hàm số đơn ánh đòi hỏi thêm rằng mỗi

y

cũng chỉ đến từ đúng một

x

Hay nhầm khiMixed up whenHàm

y=x^2

vẫn là hàm số nhưng không đơn ánh trên

\mathbb{R}

vì

f(2)=f(-2)

. Đề hay hỏi để xem thí sinh có nhầm hai điều kiện này không, nhất là khi cần tìm hàm ngược.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 87–88, 90.