DucklingStudyDucklingStudy
Đăng nhậpSign in

AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm số ngượcinverse function

inverse functionVietnamese: hàm số ngược

Hàm số ngược (inverse function) của một hàm số là hàm đưa mỗi giá trị đầu ra trở về đúng giá trị đầu vào đã sinh ra nó.An inverse function of a function ff is the function that sends each output of ff back to the exact input that produced it.

Trực giác: Hàm số ngược giống nút "hoàn tác" khi bạn gõ nhầm: bấm vào là mọi thứ quay lại đúng trạng thái trước đó.Intuition: An inverse function works like the "undo" button after a typing mistake: one press and everything returns to exactly the state it was in before.

Công thức chínhKey formula

f−1(y)=x  ⟺  f(x)=yf^{-1}(y)=x \iff f(x)=y
Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm số ngược của ff, kí hiệu f−1f^{-1} (inverse function), là hàm "hoàn tác" ff: nó đưa đầu ra trở về đúng đầu vào đã sinh ra nó. Với f(x)=2xf(x)=2x, ta có f(3)=6f(3)=6 và f−1(6)=3f^{-1}(6)=3, nên f−1(y)=y2f^{-1}(y)=\dfrac{y}{2}.

ff có hàm ngược khi mỗi giá trị yy chỉ do đúng một xx sinh ra. Hàm x2x^2 trên cả trục số thì không, vì (−2)2=22=4(-2)^2=2^2=4. Thu hẹp về x≥0x\ge 0 thì có hàm ngược y\sqrt{y}. Đồ thị của f−1f^{-1} đối xứng với đồ thị của ff qua đường thẳng y=xy=x.

The inverse function of ff, written f−1f^{-1}, "undoes" ff: it sends each output back to the exact input that produced it. For f(x)=2xf(x)=2x, we have f(3)=6f(3)=6 and f−1(6)=3f^{-1}(6)=3, so f−1(y)=y2f^{-1}(y)=\dfrac{y}{2}.

ff has an inverse when each value yy is produced by exactly one xx. The function x2x^2 on the whole real line has no inverse, because (−2)2=22=4(-2)^2=2^2=4. Restricting the domain to x≥0x\ge 0 gives the inverse y\sqrt{y}. The graph of f−1f^{-1} is the reflection of the graph of ff across the line y=xy=x.

Ký hiệuNotation
  • •f−1(y)=x  ⟺  f(x)=yf^{-1}(y)=x \iff f(x)=y
  • •f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x))=x
  • •f(f−1(y))=yf(f^{-1}(y))=y. Đồ thị f−1f^{-1} đối xứng với đồ thị ff qua đường thẳng y=xy=x.
Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas
f−1(y)=x  ⟺  f(x)=y\htmlClass{fp-0}{f^{-1}(y)=x} \htmlClass{fp-1}{\iff} \htmlClass{fp-2}{f(x)=y}

Dùng khi cần tìm f−1(y)f^{-1}(y): tìm xx thỏa f(x)=yf(x)=y. Điều kiện là ff một-một trên miền đang xét.Use this to find f−1(y)f^{-1}(y): solve for the xx that satisfies f(x)=yf(x)=y. This requires ff to be one-to-one on the domain under consideration.

Trong đóWhere

ffhàm số gốc, một-đối-một trên miền đang xétf−1f^{-1}hàm số ngược của ff (không phải 1/f1/f)xxgiá trị đầu vào của ff, cũng là đầu ra của f−1f^{-1}yygiá trị đầu ra của ff, cũng là đầu vào của f−1f^{-1}
f−1(f(x))=x,f(f−1(y))=yf^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x,\qquad f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=y

Dùng để kiểm tra hai hàm có ngược nhau không: ghép chúng lại, kết quả phải ra xx (hoặc yy) trong miền thích hợp.Use this to check whether two functions are inverses: compose them, and the result must be xx (or yy) on the appropriate domain.

Trong đóWhere

ffhàm số gốcf−1f^{-1}hàm số ngược của ffxxmột giá trị thuộc miền xác định của ffyymột giá trị thuộc miền giá trị của ff
(f−1)′(b)=1f′(f−1(b))\htmlClass{fp-0}{(f^{-1})'(b)}=\htmlClass{fp-3}{\dfrac{1}{\htmlClass{fp-2}{f'\left(\htmlClass{fp-1}{f^{-1}(b)}\right)}}}

Dùng khi biết f(a)=bf(a)=b và f′(a)f'(a), cần (f−1)′(b)(f^{-1})'(b) mà không có công thức f−1f^{-1}; yêu cầu f′(a)≠0f'(a)\neq 0.Use this when you know f(a)=bf(a)=b and f′(a)f'(a) and need (f−1)′(b)(f^{-1})'(b) without a formula for f−1f^{-1}; it requires f′(a)≠0f'(a)\neq 0.

Trong đóWhere

bbđiểm trong miền xác định của f−1f^{-1} tại đó ta tính đạo hàmaagiá trị thỏa a=f−1(b)a=f^{-1}(b), tức f(a)=bf(a)=bf′f'đạo hàm của hàm gốc ff(f−1)′(f^{-1})'đạo hàm của hàm số ngược f−1f^{-1}
Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

f−1(x)f^{-1}(x) không phải là 1f(x)\dfrac{1}{f(x)}.

Số −1-1 ở đây là kí hiệu hàm ngược, không phải lũy thừa. Với f(x)=2xf(x)=2x thì f−1(x)=x2f^{-1}(x)=\dfrac{x}{2}, còn 1f(x)=12x\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{1}{2x}.

Đạo hàm của f−1f^{-1} tại xx không phải là 1f′(x)\dfrac{1}{f'(x)}.

Gọi g=f−1g=f^{-1}. Phải tính f′f' tại điểm g(x)g(x): g′(x)=1f′(g(x))g'(x)=\dfrac{1}{f'(g(x))}. Công thức chỉ dùng được khi f′(g(x))≠0f'(g(x))\ne 0.

f−1(x)f^{-1}(x) is not 1f(x)\dfrac{1}{f(x)}.

The −1-1 is inverse-function notation, not an exponent. For f(x)=2xf(x)=2x, f−1(x)=x2f^{-1}(x)=\dfrac{x}{2}, whereas 1f(x)=12x\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{1}{2x}.

The derivative of f−1f^{-1} at xx is not 1f′(x)\dfrac{1}{f'(x)}.

Let g=f−1g=f^{-1}. You must evaluate f′f' at the point g(x)g(x): g′(x)=1f′(g(x))g'(x)=\dfrac{1}{f'(g(x))}. This formula applies only when f′(g(x))≠0f'(g(x))\ne 0.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Muốn tìm đạo hàm hàm ngược, hãy đạo hàm hai vế của f(g(x))=xf(g(x))=x.

Với g=f−1g=f^{-1}, ta được f′(g(x)) g′(x)=1f'(g(x))\,g'(x)=1, suy ra g′(x)=1f′(g(x))g'(x)=\dfrac{1}{f'(g(x))}. Viết bước này để bài làm rõ ràng.

Đề cho bảng giá trị của ff: tìm bb sao cho f(b)=af(b)=a trước, rồi mới lấy nghịch đảo.

Khi đó g(a)=bg(a)=b và g′(a)=1f′(b)g'(a)=\dfrac{1}{f'(b)}. Kiểm tra dấu: g′(a)g'(a) và f′(b)f'(b) luôn cùng dấu.

To find the derivative of an inverse function, differentiate both sides of f(g(x))=xf(g(x))=x.

With g=f−1g=f^{-1}, this gives f′(g(x)) g′(x)=1f'(g(x))\,g'(x)=1, so g′(x)=1f′(g(x))g'(x)=\dfrac{1}{f'(g(x))}. Show this step to make your work clear.

When given a table of values for ff, first find bb such that f(b)=af(b)=a, then take the reciprocal.

Then g(a)=bg(a)=b and g′(a)=1f′(b)g'(a)=\dfrac{1}{f'(b)}. Check the signs: g′(a)g'(a) and f′(b)f'(b) always have the same sign.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common
Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common
Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1813John Frederick William Herschel

Năm 1813, John Frederick William Herschel đưa ra kí hiệu f−1f^{-1} để chỉ hàm "hoàn tác" phép tính của ff.
In 1813, John Frederick William Herschel introduced the notation f−1f^{-1} for the function that "undoes" the operation of ff.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi "hàm số ngược" bám sát tính chất cốt lõi của khái niệm. Hàm ngược của ff là hàm làm ngược lại, hay "hoàn tác", phép biến đổi của ff. Nhờ đó, hai đẳng thức g(f(x))=xg(f(x))=x và f(g(y))=yf(g(y))=y đều đúng khi gg là hàm ngược của ff. Đẳng thức thứ nhất cho thấy ff phải là đơn ánh (injective). Đẳng thức thứ hai cho thấy ff phải là toàn ánh (surjective). Vì vậy hàm ngược chỉ tồn tại khi ff là song ánh. Về kí hiệu, f−1f^{-1} là cách viết do Herschel đưa ra năm 1813. Cần phân biệt: f−1(y)f^{-1}(y) chỉ phần tử xx duy nhất thỏa f(x)=yf(x)=y, không phải 1f(y)\dfrac{1}{f(y)}. Các nguồn tôi đọc được không giải thích vì sao Herschel chọn số mũ −1-1, cũng không nêu nguồn gốc của chính từ "ngược" (inverse), nên tôi không suy đoán thêm.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm hàm ngượcĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm hàm lượng giác ngượcĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDifferentiating Inverse Functions (đạo hàm hàm ngược)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDifferentiating Inverse Trigonometric FunctionsĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngượcĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngượcĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB
Cần trướcLearn firsthàm số đơn ánhone-to-one functiontập xác địnhdomain
Dẫn tớiLeads tohàm số lôgaritlogarithmic functionhàm lượng giác ngượcinverse trigonometric function
Liên quanRelatedhàm số hợpcomposite functionđồ thị của hàm sốgraph of a function
Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

hàm số đơn ánhone-to-one function
Khác nhau ở đâuHow they differHàm số đơn ánh là điều kiện để một hàm có thể đảo ngược. Hàm số ngược là hàm mới được tạo ra từ hàm đơn ánh đó.
Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi hàm ff có hàm ngược hay không thì thực chất là hỏi ff có đơn ánh không, thường kiểm tra bằng dấu của f′(x)f'(x) hoặc phép thử đường ngang.
hàm số hợpcomposite function
Khác nhau ở đâuHow they differHàm số hợp f(g(x))f(g(x)) nối hai hàm bất kỳ theo thứ tự. Hàm số ngược là trường hợp đặc biệt trong đó phép hợp trả về đúng xx.
Hay nhầm khiMixed up whenKý hiệu f−1(x)f^{-1}(x) dễ bị đọc nhầm thành 1f(x)\dfrac{1}{f(x)}, trong khi đây là hàm ngược chứ không phải nghịch đảo của giá trị.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

  1. [1]Stewart. tr. 87, 93–94.

Biên soạn bởi DucklingStudy, bản quyền thuộc DucklingStudy.Written by DucklingStudy. © DucklingStudy. Xuất bảnPublished .