AP Calculus BCAP Calculus AB

đạo hàm hàm ẩnimplicit differentiation

implicit differentiationVietnamese: đạo hàm hàm ẩn

Đạo hàm hàm ẩn (implicit differentiation) là cách tìm đạo hàm của y theo x khi y chỉ được cho ngầm qua một phương trình chứa cả x và y.Implicit differentiation is a method for finding the derivative of y with respect to x when y is defined only implicitly by an equation involving both x and y.

Trực giác: Đường cong chỉ được cho bằng một phương trình, không có công thức y theo x. Mối ràng buộc giữa x và y vẫn đủ để tính độ dốc tại mỗi điểm.Intuition: A curve may be given only by an equation, with no formula for y in terms of x. The relationship between x and y is still enough to determine the slope at each point.

Công thức chínhKey formula

\frac{d}{dx}\left[g(y)\right]=g'(y)\cdot\frac{dy}{dx}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Đạo hàm hàm ẩn (implicit differentiation) là cách tìm $\dfrac{dy}{dx}$ khi $y$ chỉ được cho ngầm trong một phương trình theo $x$ và $y$ . Ta lấy đạo hàm hai vế theo $x$ , rồi giải ra $\dfrac{dy}{dx}$ . Cách này dùng được khi quanh điểm đang xét, $y$ là hàm có đạo hàm của $x$ .

Ví dụ: từ $x^2+y^2=25$ ta được $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$ , nên $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$ . Số hạng chứa $y$ dùng quy tắc dây chuyền: $\dfrac{d}{dx}(y^2)=2y\dfrac{dy}{dx}$ . Thay toạ độ điểm đang xét để có hệ số góc. Tại $(5,0)$ thì $y=0$ , công thức không dùng được và tiếp tuyến thẳng đứng.

Implicit differentiation is a method for finding $\dfrac{dy}{dx}$ when $y$ is defined only implicitly by an equation in $x$ and $y$ . Differentiate both sides with respect to $x$ , then solve for $\dfrac{dy}{dx}$ . The method works when $y$ is a differentiable function of $x$ near the point in question.

Example: from $x^2+y^2=25$ we get $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$ , so $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$ . Each term containing $y$ requires the chain rule: $\dfrac{d}{dx}(y^2)=2y\dfrac{dy}{dx}$ . Substitute the coordinates of the point to get the slope. At $(5,0)$ , $y=0$ , so the formula does not apply and the tangent line is vertical.

Ký hiệuNotation

• $\dfrac{dy}{dx}$ hoặc $y'$ là đạo hàm cần tìm
• $\dfrac{d}{dx}\big(y^n\big)=n\,y^{n-1}\,\dfrac{dy}{dx}$ là bước dùng quy tắc dây chuyền
• $\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(a,b)}$ là giá trị tại điểm $(a,b)$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{\frac{d}{dx}\left[g(y)\right]}=\htmlClass{fp-1}{g'(y)}\cdot\htmlClass{fp-2}{\frac{dy}{dx}}

Dùng cho mỗi số hạng chứa $y$ khi lấy đạo hàm hai vế theo $x$ ; số hạng tích như $xy$ cần thêm quy tắc tích.Apply this to each term containing $y$ when differentiating both sides with respect to $x$ ; a product term such as $xy$ also requires the product rule.

Trong đóWhere

g

hàm khả vi bất kỳ của

y

, ví dụ

y^2

\sin y

e^y

g'(y)

đạo hàm của

g

theo biến

y

\dfrac{dy}{dx}

đạo hàm của

y

theo

x

, đại lượng cần tìm

\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}

Cho hệ số góc tiếp tuyến của đường tròn $x^2+y^2=25$ tại điểm $(x,y)$ bất kỳ trên đường; thay toạ độ điểm để ra số.This gives the slope of the tangent line to the circle $x^2+y^2=25$ at any point $(x,y)$ on it; substitute the point's coordinates to get a number.

Trong đóWhere

x

hoành độ của điểm trên đường cong

y

tung độ của điểm trên đường cong,

y\neq 0

\dfrac{dy}{dx}

hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm

(x,y)

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Số hạng chứa $y$ phải nhân thêm $\dfrac{dy}{dx}$ .

Vì $y$ là hàm của $x$ nên $\dfrac{d}{dx}(y^2)=2y\dfrac{dy}{dx}$ , không phải $2y$ . Quên nhân thì mất số hạng chứa $\dfrac{dy}{dx}$ và kết quả sai.

Có $y$ trong phương trình chưa chắc phải dùng đạo hàm hàm ẩn.

Nếu rút được $y=x^2+3$ thì đạo hàm trực tiếp là đủ. Với $x^2y+\sin y=x$ không rút được $y$ , nên mới cần đạo hàm hàm ẩn.

Đạo hàm hai vế xong vẫn chưa xong: phải giải ra $\dfrac{dy}{dx}$ .

Gom mọi số hạng chứa nó về một vế, đặt nhân tử chung rồi chia. Chỗ hay sai là đổi dấu khi chuyển vế.

Every term containing $y$ must be multiplied by $\dfrac{dy}{dx}$ .

Since $y$ is a function of $x$ , $\dfrac{d}{dx}(y^2)=2y\dfrac{dy}{dx}$ , not $2y$ . Omitting this factor drops the $\dfrac{dy}{dx}$ terms and gives a wrong result.

An equation containing $y$ does not always require implicit differentiation.

If you can solve for $y$ , as in $y=x^2+3$ , differentiating directly is enough. For $x^2y+\sin y=x$ , you cannot isolate $y$ , so implicit differentiation is needed.

Differentiating both sides is not the last step; you must still solve for $\dfrac{dy}{dx}$ .

Collect all terms containing it on one side, factor it out, and divide. Sign errors when moving terms across the equals sign are a common mistake.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết rõ dòng đạo hàm hai vế trước khi giải ra $\dfrac{dy}{dx}$ .

Dòng như $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$ thường được chấm điểm riêng. Chỉ viết kết quả cuối mà sai dấu thì khó được điểm từng phần.

Thay toạ độ điểm đã cho vào $\dfrac{dy}{dx}$ rồi mới viết tiếp tuyến.

Nếu mẫu bằng $0$ còn tử khác $0$ , tiếp tuyến thẳng đứng; đừng viết hệ số góc là một số. Nếu cả tử và mẫu bằng $0$ , chưa kết luận được.

Write out the line showing the derivative of both sides before solving for $\dfrac{dy}{dx}$ .

A line such as $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$ often earns its own point. If you write only the final answer and it has a sign error, you will have little chance of partial credit.

Substitute the given point into $\dfrac{dy}{dx}$ before writing the tangent line.

If the denominator is $0$ and the numerator is nonzero, the tangent line is vertical, so do not give a numerical slope. If both the numerator and denominator are $0$ , you cannot yet draw a conclusion.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm hàm ẩn (Implicit Differentiation)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhảo sát hành vi của quan hệ ẩn qua đạo hàmỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm hàm ẩn (Implicit Differentiation)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhảo sát hành vi của quan hệ ẩn qua đạo hàmỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngượcĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngượcĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstđạo hàmderivative

Dẫn tớiLeads totiếp tuyếntangent line tốc độ biến thiên liên hệrelated rates

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tốc độ biến thiên liên hệrelated rates

Khác nhau ở đâuHow they differĐạo hàm hàm ẩn lấy đạo hàm theo

x

để tìm

\dfrac{dy}{dx}

trên một đường cong. Tốc độ biến thiên liên hệ lấy đạo hàm theo thời gian

t

để nối các tốc độ thay đổi với nhau.

Hay nhầm khiMixed up whenCả hai đều lấy đạo hàm hai vế rồi nhân thêm thừa số dây chuyền. Nếu đề cho số liệu theo thời gian như

\dfrac{dx}{dt}

thì đó là tốc độ liên hệ, còn nếu chỉ hỏi

\dfrac{dy}{dx}

hay hệ số góc thì đó là đạo hàm hàm ẩn.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 6, 248–249.