AP Calculus BCAP Calculus AB

quy tắc dây chuyềnchain rule

chain ruleVietnamese: quy tắc dây chuyền

Quy tắc dây chuyền (chain rule) là công thức tính đạo hàm của hàm hợp: lấy đạo hàm hàm ngoài tại giá trị của hàm trong, rồi nhân với đạo hàm của hàm trong.The chain rule is the formula for differentiating a composite function: take the derivative of the outer function evaluated at the inner function, then multiply by the derivative of the inner function.

Trực giác: Ba bánh răng nối tiếp: bánh 1 quay 1 vòng thì bánh 2 quay 3 vòng; bánh 2 quay 1 vòng thì bánh 3 quay 4 vòng. Vậy bánh 3 quay 3·4 = 12 vòng.Intuition: Picture three gears in a row: when gear 1 turns once, gear 2 turns 3 times, and when gear 2 turns once, gear 3 turns 4 times. So gear 3 turns 3·4 = 12 times for each turn of gear 1.

Công thức chínhKey formula

\dfrac{d}{dx}\left[f(g(x))\right]=f'(g(x))\,g'(x)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Quy tắc dây chuyền (chain rule) giúp tính đạo hàm của $y=f(g(x))$ , với $g$ là hàm trong và $f$ là hàm ngoài. Ta đạo hàm hàm ngoài, giữ nguyên hàm trong, rồi nhân với $g'(x)$ . Ví dụ: $\left[\sin(x^2)\right]'=\cos(x^2)\cdot 2x$ .

Đặt $u=g(x)$ thì $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ . Hàm nhiều tầng thì làm lần lượt từ ngoài vào trong. Lỗi hay gặp nhất là quên nhân $g'(x)$ .

The chain rule gives the derivative of $y=f(g(x))$ , where $g$ is the inner function and $f$ is the outer function. Differentiate the outer function, leave the inner function unchanged, and multiply by $g'(x)$ . For example, $\left[\sin(x^2)\right]'=\cos(x^2)\cdot 2x$ .

If you let $u=g(x)$ , then $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ . For a function with several layers, work from the outside in, one layer at a time. The most common error is forgetting to multiply by $g'(x)$ .

Ký hiệuNotation

• $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$
• $\left[f(g(x))\right]'=f'(g(x))\,g'(x)$

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

\htmlClass{fp-0}{\dfrac{d}{dx}\left[f(g(x))\right]}=\htmlClass{fp-3}{\htmlClass{fp-1}{f'(g(x))}\,\htmlClass{fp-2}{g'(x)}}

Dùng khi hàm cần đạo hàm là hàm hợp, như $\sin(x^2)$ hay $e^{3x}$ : đạo hàm hàm ngoài, giữ hàm trong, nhân $g'(x)$ .Use this when the function you are differentiating is composite, such as $\sin(x^2)$ or $e^{3x}$ : differentiate the outer function, keep the inner function, and multiply by $g'(x)$ .

Trong đóWhere

f

hàm ngoài, được áp dụng sau cùng

g

hàm trong, được áp dụng đầu tiên cho

x

f'(g(x))

đạo hàm của hàm ngoài, tính tại giá trị

g(x)

g'(x)

đạo hàm của hàm trong theo

x

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}

Dạng Leibniz với $y=f(u)$ , $u=g(x)$ ; tiện khi đặt ẩn phụ $u$ hoặc giải bài tốc độ biến thiên liên quan.This is the Leibniz form, with $y=f(u)$ and $u=g(x)$ . It is convenient when you introduce a substitution $u$ or solve related rates problems.

Trong đóWhere

y

đại lượng phụ thuộc vào

u

qua

y=f(u)

u

biến trung gian,

u=g(x)

\dfrac{dy}{du}

tốc độ thay đổi của

y

theo

u

\dfrac{du}{dx}

tốc độ thay đổi của

u

theo

x

\dfrac{d}{dx}\left[g(x)\right]^{n}=n\left[g(x)\right]^{n-1}g'(x)

Dùng khi hàm ngoài là lũy thừa $u^n$ : hạ số mũ, giảm đi 1, giữ biểu thức trong ngoặc, nhân với đạo hàm của nó.Use this when the outer function is a power $u^n$ : bring down the exponent, reduce it by 1, keep the expression in parentheses, and multiply by its derivative.

Trong đóWhere

n

số mũ cố định (hằng số)

g(x)

biểu thức trong ngoặc, đóng vai trò hàm trong

g'(x)

đạo hàm của biểu thức trong ngoặc

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Đừng quên nhân với đạo hàm của hàm trong.

Chẳng hạn $\dfrac{d}{dx}\sin(3x^2)=\cos(3x^2)\cdot 6x$ , không phải chỉ $\cos(3x^2)$ . Thiếu nhân tử $6x$ thì kết quả sai dù bước đầu đúng.

Tích hai hàm không phải hàm hợp, nên dùng quy tắc tích.

Với $2^x\sin x$ hay $e^x\tan x$ , hai thừa số nhân với nhau. Nếu một thừa số là hàm hợp như $\sin(3x)$ , thì dùng thêm quy tắc dây chuyền cho thừa số đó.

Phân thức có mẫu chứa $x$ vẫn cần quy tắc dây chuyền.

Ví dụ $\dfrac{20}{40x^2-1}=20(40x^2-1)^{-1}$ nên đạo hàm là $-20(40x^2-1)^{-2}\cdot 80x$ . Viết thành lũy thừa âm thì thấy hàm ngoài là $u^{-1}$ , hàm trong là $40x^2-1$ .

Always multiply by the derivative of the inner function.

For example, $\dfrac{d}{dx}\sin(3x^2)=\cos(3x^2)\cdot 6x$ , not just $\cos(3x^2)$ . Without the factor $6x$ , the result is wrong even though the first step is correct.

A product of two functions is not a composite function, so use the product rule.

In $2^x\sin x$ or $e^x\tan x$ , the two factors are multiplied together. If one factor is itself a composite function, such as $\sin(3x)$ , apply the chain rule to that factor as well.

A fraction with $x$ in the denominator still requires the chain rule.

For example, $\dfrac{20}{40x^2-1}=20(40x^2-1)^{-1}$ , so the derivative is $-20(40x^2-1)^{-2}\cdot 80x$ . Rewriting it with a negative exponent shows that the outer function is $u^{-1}$ and the inner function is $40x^2-1$ .

Mẹo phòng thiExam tips3 mẹo3 tips

Hỏi hàm nào không cần quy tắc dây chuyền thì tìm hàm không có hàm trong nào khác $x$ .

Các dạng như $\sin(3x)$ hay $e^{x^2}$ có hàm trong là $3x$ , $x^2$ nên cần quy tắc. Hãy loại chúng.

Viết rõ bước $f'(g(x))\cdot g'(x)$ trước khi tính kết quả.

Bài tự luận AP chấm theo từng bước. Bước đúng có thể được điểm dù phép tính sau bị sai.

Giữ nguyên hàm trong khi đạo hàm hàm ngoài.

Ví dụ ghi $\cos(3x^2)$ , không ghi $\cos x$ . Đổi hàm trong là sai ngay từ bước đầu.

To find which function does not need the chain rule, look for the one with no inner function other than $x$ .

Forms such as $\sin(3x)$ and $e^{x^2}$ have inner functions $3x$ and $x^2$ , so they require the rule. Eliminate those choices.

Write out the step $f'(g(x))\cdot g'(x)$ before simplifying.

AP free-response questions are scored step by step. A correct setup can earn credit even if a later calculation contains an error.

Leave the inner function unchanged when you differentiate the outer function.

For example, write $\cos(3x^2)$ , not $\cos x$ . Changing the inner function makes the answer wrong from the very first step.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1676Gottfried Wilhelm LeibnizGuillaume de l'HôpitalLagrangeCauchy

Leibniz là người đầu tiên được cho là đã dùng quy tắc, trong một bản ghi nhớ năm 1676; dạng hiện đại xuất hiện trong sách của Lagrange (1797) và Cauchy (1823).

Leibniz is credited as the first to use the rule, in a 1676 memorandum. The modern form appears in the work of Lagrange (1797) and Cauchy (1823).

Vì sao mang đúng cái tên này? Các nguồn không ghi lại ai đã đặt tên "quy tắc dây chuyền" hay đặt vào lúc nào, nên không thể khẳng định nguồn gốc chắc chắn của cái tên. Có một giả thuyết cho rằng tên gọi xuất phát từ hệ thống truyền động xích (chain drive system), nhưng giả thuyết này chỉ là niềm tin của riêng tác giả một video giải thích, chưa được nguồn nào xác nhận. Dù vậy, hình ảnh "chuỗi mắt xích" khớp với cách viết của Leibniz: $\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{dz}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$ , trong đó tốc độ biến thiên của $z$ theo $t$ được nối qua biến trung gian $x$ . Cách mô tả này cũng khớp với việc người ta nói đến chuỗi phụ thuộc (chain of dependencies) giữa các hàm lồng nhau. Ký hiệu thông dụng của quy tắc là do Leibniz đặt ra.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc dây chuyền (đạo hàm hàm hợp)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn phương pháp tính đạo hàmĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc dây chuyền (đạo hàm hàm hợp)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn phương pháp tính đạo hàmĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngượcĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngượcĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm số hợpcomposite function

Dẫn tớiLeads tođạo hàm hàm ẩnimplicit differentiation tốc độ biến thiên liên hệrelated rates

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

quy tắc đạo hàm của tíchproduct rule

Khác nhau ở đâuHow they differQuy tắc dây chuyền áp dụng cho hàm hợp

f(g(x))

, tức hàm này lồng trong hàm kia. Quy tắc đạo hàm của tích áp dụng cho

f(x)\cdot g(x)

, tức hai hàm nhân nhau.

Hay nhầm khiMixed up whenVới

\sin(x^2)

phải dùng quy tắc dây chuyền vì

x^2

nằm trong

\sin

, còn với

x^2\sin x

phải dùng quy tắc tích vì hai hàm nhân nhau. Đề hay cho dạng

x^2\sin(3x)

cần dùng cả hai quy tắc.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 6, 10, 229.