AP Calculus BCAP Calculus AB

phương pháp đổi biến sốintegration by substitution

integration by substitutionVietnamese: phương pháp đổi biến số

Còn gọi:Also called: change of variables · u-substitution · substitution of variables

Phương pháp đổi biến số (integration by substitution) là cách tính tích phân bằng việc thay một biểu thức bằng biến mới để tích phân đơn giản hơn.Integration by substitution is a technique for evaluating an integral by replacing part of the integrand with a new variable so that the integral becomes simpler.

Trực giác: Giống như đặt một cái tên ngắn cho cả cụm biểu thức rối, tính xong với tên ngắn rồi thay tên cũ trở lại.Intuition: It works like giving a short nickname to a messy expression: you do the work with the nickname, then swap the original expression back in.

Công thức chínhKey formula

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Phương pháp đổi biến số (integration by substitution) là quy tắc đạo hàm hàm hợp đọc ngược. Ta đặt $u=g(x)$ , đổi luôn $dx$ thành $du=g'(x)\,dx$ , rồi tính theo $u$ . Cần $g$ có đạo hàm liên tục và biểu thức có dạng hàm của $g(x)$ nhân $g'(x)$ . Ví dụ: đặt $u=x^2$ cho $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ thì $du=2x\,dx$ và tích phân thành $\int\cos u\,du=\sin(x^2)+C$ .

Với tích phân xác định có hai cách: đổi cận sang $u$ rồi tính theo $u$ , hoặc tìm nguyên hàm theo $x$ rồi thay cận cũ. Với $\int_0^2 2x\cos(x^2)\,dx$ , cận thành $u=0$ và $u=4$ , kết quả là $\sin 4$ .

Integration by substitution is the chain rule for derivatives applied in reverse. Let $u=g(x)$ and replace $dx$ with $du=g'(x)\,dx$ , then integrate with respect to $u$ . This requires $g$ to have a continuous derivative and the integrand to have the form of a function of $g(x)$ multiplied by $g'(x)$ . For example, for $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ , let $u=x^2$ . Then $du=2x\,dx$ , and the integral becomes $\int\cos u\,du=\sin(x^2)+C$ .

For a definite integral there are two approaches: change the limits to values of $u$ and evaluate entirely in terms of $u$ , or find the antiderivative in terms of $x$ and then use the original limits. For $\int_0^2 2x\cos(x^2)\,dx$ , the limits become $u=0$ and $u=4$ , and the result is $\sin 4$ .

Ký hiệuNotation

• $u=g(x)$ , $du=g'(x)\,dx$
• $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du$
•với cận: $\int_a^b \to \int_{g(a)}^{g(b)}$

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\int \htmlClass{fp-1}{f(\htmlClass{fp-0}{g(x)})}\,\htmlClass{fp-2}{g'(x)\,dx}=\htmlClass{fp-4}{\int \htmlClass{fp-3}{f(u)}\,du}

Dùng khi có hàm hợp nhân đạo hàm hàm trong (có thể sai khác hằng số): đặt $u=g(x)$ , tính theo $u$ , đổi về $x$ .Use this when the integrand is a composite function multiplied by the derivative of the inner function (up to a constant factor): let $u=g(x)$ , integrate with respect to $u$ , then substitute back in terms of $x$ .

Trong đóWhere

f

hàm bên ngoài, có nguyên hàm dễ tìm

g(x)

hàm bên trong, được chọn làm biến mới

u

g'(x)

đạo hàm của hàm bên trong, phải xuất hiện trong biểu thức dưới dấu tích phân

u

biến mới,

u=g(x)

du

vi phân của

u

, bằng

g'(x)\,dx

\htmlClass{fp-0}{\int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx}=\htmlClass{fp-1}{\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du}

Dùng cho tích phân xác định: đổi cận sang $u$ cùng lúc đổi biến, rồi tính hoàn toàn theo $u$ , không cần thay ngược về $x$ .Use this for definite integrals: change the limits to values of $u$ at the same time as the variable, then evaluate entirely in terms of $u$ with no need to substitute back to $x$ .

Trong đóWhere

a,\ b

cận dưới và cận trên của biến

x

g(a),\ g(b)

cận dưới và cận trên mới của biến

u

u

biến mới,

u=g(x)

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Đặt $u=g(x)$ mà vẫn để nguyên $dx$ là sai.

Phải đổi cả vi phân theo $du=g'(x)\,dx$ . Với $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ và $u=x^2$ , tích phân thành $\int \cos u\,du$ , không phải $\cos u\,dx$ .

Đã tính theo $u$ thì không được giữ cận của $x$ .

Cận phải là giá trị của $u$ . Với $u=x^2$ , cận $x=0$ và $x=2$ thành $u=0$ và $u=4$ . Hoặc quay về $x$ rồi mới thay cận cũ.

Chỉ hằng số mới đưa ra ngoài dấu tích phân, biểu thức chứa $x$ thì không.

Với $u=x^2$ ta có $dx=\dfrac{du}{2x}$ . Thừa số $\dfrac1{2x}$ phải triệt tiêu hoặc viết theo $u$ , vì $x$ đổi khi $u$ đổi.

Setting $u=g(x)$ but leaving $dx$ unchanged is incorrect.

The differential must also be converted using $du=g'(x)\,dx$ . For $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ with $u=x^2$ , the integral becomes $\int \cos u\,du$ , not $\cos u\,dx$ .

Once you integrate with respect to $u$ , you cannot keep the original $x$ -limits.

The limits must be values of $u$ . With $u=x^2$ , the limits $x=0$ and $x=2$ become $u=0$ and $u=4$ . Alternatively, convert back to $x$ first and then use the original limits.

Only constants can be moved outside the integral sign; expressions containing $x$ cannot.

With $u=x^2$ , we have $dx=\dfrac{du}{2x}$ . The factor $\dfrac1{2x}$ must cancel or be rewritten in terms of $u$ , because $x$ changes whenever $u$ changes.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết dòng $u=\dots$ , $du=\dots\,dx$ ngay khi bắt đầu đổi biến.

Bài tự luận AP chấm theo từng bước, thiếu phép đặt $u$ thì khó được điểm. Dòng này cũng giúp phát hiện hệ số của $du$ không khớp. Đừng làm nhẩm.

Lấy đạo hàm của đáp án để kiểm tra nguyên hàm.

Kết quả phải trả về đúng hàm dưới dấu tích phân. Cách này bắt nhanh lỗi hệ số, như quên nhân $\tfrac12$ hoặc nhân thừa $2$ .

Write the lines $u=\dots$ and $du=\dots\,dx$ as soon as you begin the substitution.

AP free-response questions are scored step by step, so omitting the choice of $u$ can cost you points. These lines also help you catch a mismatched coefficient in $du$ . Do not do the substitution in your head.

Differentiate your answer to check the antiderivative.

The result must match the original integrand exactly. This quickly catches coefficient errors, such as forgetting a factor of $\tfrac12$ or including an extra factor of $2$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân bằng phép đổi biếnTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc dây chuyền (đạo hàm hàm hợp)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn kỹ thuật tìm nguyên hàmTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân bằng phép đổi biếnTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc dây chuyền (đạo hàm hàm hợp)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn kỹ thuật tìm nguyên hàmTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstquy tắc dây chuyềnchain rule

Dẫn tớiLeads totích phân xác địnhdefinite integral tích phân bất địnhindefinite integral

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tích phân từng phầnintegration by parts

Khác nhau ở đâuHow they differĐổi biến số thay một biểu thức bên trong bằng

u

khi có sẵn phần đạo hàm của nó. Tích phân từng phần tách tích hai hàm theo công thức

\int u\,dv=uv-\int v\,du

Hay nhầm khiMixed up whenGặp

\int x e^{x^2}dx

thì đổi biến vì có

x\,dx

là đạo hàm của

x^2

(chỉ lệch hằng số), còn

\int x e^{x}dx

thì phải dùng từng phần vì

x

không phải đạo hàm của

x

trong số mũ.

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Học tiếp từ đâyKeep learning

Hay nhầm vớiOften confused with

Cùng chủ đềSame topic