AP Calculus BCAP Calculus AB

vi phândifferential

differentialVietnamese: vi phân

Còn gọi:Also called: differential form

Vi phân (differential) của y là tích của đạo hàm với lượng x thay đổi, cho biết y thay đổi gần đúng bao nhiêu khi x đổi một chút.The differential of y is the product of the derivative and the change in x, and it approximates how much y changes when x changes by a small amount.

Trực giác: Đứng trên dốc, bạn nhìn độ nghiêng dưới chân rồi nhân với số bước đi ngang để đoán mình lên cao bao nhiêu. Dốc đổi nhiều thì đoán lệch.Intuition: Standing on a hillside, you check the slope under your feet and multiply it by the number of steps you take horizontally to guess how much higher you will climb. If the slope changes a lot along the way, your guess will be off.

Công thức chínhKey formula

dy=f'(x)\,dx

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Vi phân $dy$ cho biết $y=f(x)$ thay đổi khoảng bao nhiêu khi $x$ tăng thêm một lượng nhỏ $dx$ . Ta tính nó dọc theo tiếp tuyến: $dy=f'(x)\,dx$ . Hàm cần có đạo hàm tại $x$ .

Độ thay đổi thực là $\Delta y=f(x+dx)-f(x)$ , đo trên đường cong. Hai giá trị $dy$ và $\Delta y$ chỉ gần nhau khi $dx$ nhỏ. $dx$ càng lớn thì sai số càng tăng. Chia hai vế cho $dx\neq 0$ ta được $\dfrac{dy}{dx}=f'(x)$ .

The differential $dy$ estimates how much $y=f(x)$ changes when $x$ increases by a small amount $dx$ . It is computed along the tangent line: $dy=f'(x)\,dx$ . The function must be differentiable at $x$ .

The actual change is $\Delta y=f(x+dx)-f(x)$ , measured along the curve. The values $dy$ and $\Delta y$ are close only when $dx$ is small, and the error grows as $dx$ gets larger. Dividing both sides by $dx\neq 0$ gives $\dfrac{dy}{dx}=f'(x)$ .

Ký hiệuNotation

• $dy = f'(x)\,dx$
• $\Delta y = f(x+dx)-f(x)$ là độ thay đổi thực
• $dy \approx \Delta y$ khi $dx$ nhỏ
• $du = g'(x)\,dx$ khi đổi biến.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{dy}=\htmlClass{fp-3}{\htmlClass{fp-1}{f'(x)}\,\htmlClass{fp-2}{dx}}

Dùng khi ước lượng thay đổi nhỏ của $y$ theo $dx$ , viết đạo hàm dưới dạng vi phân, hoặc đổi biến trong tích phân.Use this to estimate a small change in $y$ from $dx$ , to write a derivative in differential form, or to change variables in an integral.

Trong đóWhere

dy

vi phân của

y

, tức độ thay đổi của

y

trên tiếp tuyến khi

x

tăng một lượng

dx

dx

vi phân của

x

, một biến độc lập có thể nhận giá trị thực khác 0 bất kỳ; khi dùng để xấp xỉ thì

dx=\Delta x

f'(x)

đạo hàm của

f

tại

x

, chính là hệ số góc của tiếp tuyến

\htmlClass{fp-0}{f(a+dx)}\approx \htmlClass{fp-1}{f(a)}+\htmlClass{fp-2}{f'(a)\,dx}

Dùng để xấp xỉ giá trị hàm gần điểm $a$ đã biết; sai số nhỏ khi $dx$ nhỏ. Công thức tương đương $\Delta y\approx dy$ .Use this to approximate a function's value near a point $a$ where it is known; the error is small when $dx$ is small. An equivalent statement is $\Delta y\approx dy$ .

Trong đóWhere

a

điểm mốc, nơi ta tính được chính xác

f(a)

và

f'(a)

dx

độ lệch nhỏ từ

a

tới điểm cần ước lượng

f(a)

giá trị chính xác của hàm tại điểm mốc

f'(a)

đạo hàm của hàm tại điểm mốc

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Vi phân $dy$ không bằng độ thay đổi thực $\Delta y$ .

$dy$ đo trên tiếp tuyến, $\Delta y$ đo trên đường cong. Với $f(x)=x^2$ tại $x=1$ , $dx=0{,}1$ thì $dy=0{,}2$ còn $\Delta y=0{,}21$ . Hai giá trị chỉ gần nhau khi $dx$ nhỏ, nên chỉ viết $dy\approx\Delta y$ .

Vi phân không phải là phương trình vi phân.

Vi phân là đại lượng $dy=f'(x)\,dx$ . Phương trình vi phân là phương trình chứa đạo hàm, như $\dfrac{dy}{dx}=2x+y$ . Hãy đọc kỹ đề đang hỏi tính $dy$ hay giải phương trình.

The differential $dy$ is not equal to the actual change $\Delta y$ .

$dy$ is measured along the tangent line, while $\Delta y$ is measured along the curve. For $f(x)=x^2$ at $x=1$ with $dx=0.1$ , $dy=0.2$ but $\Delta y=0.21$ . The two values are close only when $dx$ is small, so write only $dy\approx\Delta y$ .

A differential is not a differential equation.

A differential is a quantity, $dy=f'(x)\,dx$ , whereas a differential equation is an equation containing a derivative, such as $\dfrac{dy}{dx}=2x+y$ . Read the problem carefully to see whether it asks you to compute $dy$ or to solve an equation.

Mẹo phòng thiExam tips1 mẹo1 tip

Khi xấp xỉ bằng vi phân, hãy viết rõ công thức trước khi thay số.

Với $a$ là điểm đã biết $f(a)$ và $f'(a)$ , ghi $f(a+dx)\approx f(a)+f'(a)\,dx$ . Chỉ ghi đáp số có thể mất điểm lập luận. Dùng dấu $\approx$ , không dùng dấu $=$ .

When approximating with differentials, write the formula before substituting numbers.

If $a$ is a point where $f(a)$ and $f'(a)$ are known, write $f(a+dx)\approx f(a)+f'(a)\,dx$ . Giving only a final answer can cost you reasoning points, and you should use $\approx$ , not $=$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

thế kỷ 17Isaac NewtonGottfried Wilhelm Leibniz

Thế kỷ 17, Newton và Leibniz độc lập xây dựng phép tính vi phân; Leibniz đưa ra kí hiệu

dx

dy

cho các thay đổi của biến.

In the 17th century, Newton and Leibniz independently developed calculus; Leibniz introduced the notation

dx

and

dy

for changes in variables.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ giá trị hàm bằng tính tuyến tính địa phương và tuyến tính hóaỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa đạo hàm & ký hiệu đạo hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân bằng phép đổi biếnTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ giá trị hàm bằng tính tuyến tính địa phương và tuyến tính hóaỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa đạo hàm & ký hiệu đạo hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân bằng phép đổi biếnTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Dẫn tớiLeads toxấp xỉ tuyến tínhlinear approximation phương pháp tách biếnseparation of variables

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

đạo hàmderivative

Khác nhau ở đâuHow they differĐạo hàm

f'(x)

là một hệ số, cho biết tốc độ biến thiên tại

x

. Vi phân

dy = f'(x)\,dx

là một lượng, cho biết

y

thay đổi bao nhiêu theo tiếp tuyến khi

x

đổi một đoạn

dx

Hay nhầm khiMixed up whenĐề yêu cầu "tìm

dy

" mà thí sinh chỉ trả lời

f'(x)

và quên nhân thêm

dx

. Ngoài ra, ký hiệu

\dfrac{dy}{dx}

trông như một phân số nhưng thực chất là kí hiệu của đạo hàm.

tỉ sai phândifference quotient

Khác nhau ở đâuHow they differTỉ sai phân

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}

dùng độ biến thiên thật của hàm số trên một đoạn hữu hạn. Vi phân

dy

dùng độ biến thiên theo tiếp tuyến, nên chỉ xấp xỉ

\Delta y

khi

dx

nhỏ.

Hay nhầm khiMixed up whenBài ước lượng

f(x+\Delta x)

mà thí sinh lấy

\Delta y

thay cho

dy

, hoặc ngược lại. Hai giá trị này gần nhau nhưng không bằng nhau, trừ khi

f

là hàm bậc nhất.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 6, 18–19.