AP Calculus BCAP Calculus AB

xấp xỉ tuyến tínhlinear approximation

linear approximationVietnamese: xấp xỉ tuyến tính

Còn gọi:Also called: linearization · tangent line approximation · local linearity · local linear approximation · local linearization

Xấp xỉ tuyến tính (linear approximation) là phép dùng tiếp tuyến của đồ thị tại x = a để ước lượng giá trị của hàm số tại những điểm x nằm gần a.Linear approximation uses the tangent line to a graph at x = a to estimate the value of a function at points x near a.

Trực giác: Phóng to đồ thị quanh một điểm, khúc cong trông gần như thẳng. Ta coi khúc đó là tiếp tuyến để tính nhanh.Intuition: Zoom in on a graph near a point and the curve looks almost straight. We treat that piece of the curve as its tangent line to make a quick estimate.

Công thức chínhKey formula

L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Xấp xỉ tuyến tính là dùng tiếp tuyến của đồ thị $y=f(x)$ tại $x=a$ để ước lượng $f(x)$ khi $x$ gần $a$ . Cần $f$ có đạo hàm tại $a$ . Cách này hợp khi $f(a)$ và $f'(a)$ dễ tính còn $f(x)$ khó tính.

Ví dụ: với $f(x)=\sqrt{x}$ và $a=4$ thì $f(4)=2$ , $f'(4)=\frac14$ . Nên $\sqrt{4{,}1}\approx 2+\frac14\cdot 0{,}1=2{,}025$ . Đây là giá trị gần đúng, và $x$ càng xa $a$ thì thường càng sai nhiều. Kết quả này lớn hơn giá trị thật vì $f''<0$ (đồ thị lõm xuống).

Linear approximation uses the tangent line to the graph of $y=f(x)$ at $x=a$ to estimate $f(x)$ when $x$ is near $a$ . It requires $f$ to be differentiable at $a$ , and it works well when $f(a)$ and $f'(a)$ are easy to compute but $f(x)$ is hard to compute.

Example: for $f(x)=\sqrt{x}$ and $a=4$ , we have $f(4)=2$ and $f'(4)=\frac14$ , so $\sqrt{4.1}\approx 2+\frac14\cdot 0.1=2.025$ . This is only an approximation, and the farther $x$ is from $a$ , the larger the error tends to be. Here the estimate is greater than the true value because $f''<0$ (the graph is concave down).

Ký hiệuNotation

• $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$
• $f(x)\approx L(x)$ khi $x$ gần $a$
•đôi khi viết $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

L(x)=\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{f(a)}+\htmlClass{fp-1}{f'(a)(x-a)}}

Dùng khi cần ước lượng $f(x)$ tại $x$ gần $a$ , với $f(a)$ và $f'(a)$ dễ tính còn $f(x)$ khó tính trực tiếp.Use this to estimate $f(x)$ for $x$ near $a$ when $f(a)$ and $f'(a)$ are easy to compute but $f(x)$ is hard to compute directly.

Trong đóWhere

L(x)

hàm tuyến tính xấp xỉ, cho giá trị ước lượng của

f(x)

f(a)

giá trị đúng của hàm tại điểm gốc

a

f'(a)

đạo hàm của

f

tại

a

, tức hệ số góc của tiếp tuyến

a

điểm gần

x

mà ta biết rõ

f(a)

và

f'(a)

x - a

độ lệch của

x

so với

a

; càng nhỏ thì xấp xỉ càng chính xác

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Xấp xỉ tuyến tính chỉ cho giá trị gần đúng, nên viết $\approx$ , không viết $=$ .

Tiếp tuyến chỉ trùng đồ thị khi $f$ là hàm bậc nhất hoặc hàm hằng. Còn lại, $x$ càng xa $a$ thì thường càng sai nhiều.

Phải tính $f(a)$ và $f'(a)$ tại $a$ , không tính tại điểm cần ước lượng.

Hệ số góc và tung độ lấy ở điểm tiếp xúc. Sau đó mới thay độ lệch $x-a$ vào công thức.

Cao hay thấp hơn phụ thuộc dấu của $f''$ , không phải dấu của $f'$ .

Giả sử $f''$ giữ một dấu giữa $a$ và $x$ . Nếu $f''<0$ (lõm xuống), tiếp tuyến nằm trên đồ thị nên ước lượng lớn hơn. Nếu $f''>0$ (lõm lên), ước lượng nhỏ hơn.

A linear approximation gives only an approximate value, so write $\approx$ , not $=$ .

The tangent line coincides with the graph only when $f$ is linear or constant; otherwise the error tends to grow as $x$ moves farther from $a$ .

Evaluate $f(a)$ and $f'(a)$ at $a$ , not at the point you are estimating.

The slope and the $y$ -coordinate come from the point of tangency, and only then do you substitute the displacement $x-a$ into the formula.

Whether the estimate is too high or too low depends on the sign of $f''$ , not the sign of $f'$ .

Assume $f''$ keeps one sign between $a$ and $x$ . If $f''<0$ (concave down), the tangent line lies above the graph, so the estimate is an overestimate; if $f''>0$ (concave up), it is an underestimate.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết phương trình tiếp tuyến trước khi thay số.

Đề AP thường cho điểm riêng cho bước này, nên chỉ ghi kết quả mà sai thì mất hết điểm. Dùng $\approx$ ở bước ước lượng.

Khi hỏi ước lượng cao hay thấp hơn, hãy nêu dấu của $f''$ và vị trí tiếp tuyến so với đồ thị.

Chỉ ghi "lớn hơn" mà không có lý do thường không được điểm. Dấu của $f''$ phải xét trên khoảng chứa cả $a$ lẫn điểm cần ước lượng.

Write the equation of the tangent line before substituting any numbers.

AP exams often award a separate point for this step, so giving only a final answer risks losing all credit if it is wrong. Use $\approx$ at the estimation step.

When asked whether an estimate is an overestimate or underestimate, state the sign of $f''$ and where the tangent line lies relative to the graph.

Writing only "greater" without a reason usually earns no credit. The sign of $f''$ must hold on an interval containing both $a$ and the point being estimated.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ giá trị hàm bằng tính tuyến tính địa phương và tuyến tính hóaỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính lồi lõm của hàm số trên miền xác địnhỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ giá trị hàm bằng tính tuyến tính địa phương và tuyến tính hóaỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính lồi lõm của hàm số trên miền xác địnhỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstđạo hàmderivative

Dẫn tớiLeads tođa thức TaylorTaylor polynomial phương pháp EulerEuler’s method

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

đa thức TaylorTaylor polynomial

Khác nhau ở đâuHow they differXấp xỉ tuyến tính chỉ dùng đến đạo hàm cấp một và có đồ thị là một đường thẳng. Đa thức Taylor dùng thêm đạo hàm cấp cao nên bám sát hàm số hơn.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi đa thức Taylor bậc 1 hoặc "tiếp tuyến tại

x=a

dùng để ước lượng

f(x)

" thì thực chất là cùng một công thức

L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)

tiếp tuyếntangent line

Khác nhau ở đâuHow they differTiếp tuyến là đường thẳng chạm đồ thị tại một điểm. Xấp xỉ tuyến tính là việc dùng đường thẳng đó để ước lượng giá trị hàm số ở lân cận điểm tiếp xúc.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho "viết phương trình tiếp tuyến" rồi hỏi "dùng nó để ước lượng

f(2{,}1)

"; bước hai mới là xấp xỉ tuyến tính.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 6, 10, 15.