AP Calculus BC

đa thức TaylorTaylor polynomial

Taylor polynomialVietnamese: đa thức Taylor

Đa thức Taylor (Taylor polynomial) bậc n của f tại a là đa thức có cùng giá trị và cùng n đạo hàm đầu tiên với f tại a, dùng để xấp xỉ f gần a.The Taylor polynomial of degree $n$ for $f$ at $a$ is the polynomial that matches $f$ and its first $n$ derivatives at $a$ ; it is used to approximate $f$ near $a$ .

Trực giác: Đứng một chỗ trên đường, biết vị trí, hướng đi, độ cong… càng biết nhiều, bạn càng đoán đúng đoạn đường quanh đó.Intuition: Imagine standing at one spot on a road. If you know your position, your direction, your curvature, and so on, the more you know, the better you can predict the stretch of road around you.

Công thức chínhKey formula

p_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Đa thức Taylor bậc $n$ của $f$ tại $a$ thay một hàm phức tạp bằng đa thức có cùng giá trị và cùng các đạo hàm đến cấp $n$ với $f$ tại $a$ . Hệ số của $(x-a)^k$ là $\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}$ , với $k=0,1,\dots,n$ và $f^{(k)}(a)$ là đạo hàm cấp $k$ của $f$ tại $a$ .

Phải chia cho $k!$ vì đạo hàm cấp $k$ của $(x-a)^k$ tại $a$ bằng đúng $k!$ . Với $n=1$ , ta được phương trình tiếp tuyến. Với $a=0$ , ta được đa thức Maclaurin. Đa thức chỉ sát $f$ khi $x$ gần $a$ , và $x$ càng gần $a$ thì càng sát. Khi $x$ xa $a$ , sai số có thể tăng rất nhanh.

The Taylor polynomial of degree $n$ for $f$ at $a$ replaces a complicated function with a polynomial that has the same value as $f$ at $a$ and the same derivatives of every order up to $n$ . The coefficient of $(x-a)^k$ is $\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}$ for $k=0,1,\dots,n$ , where $f^{(k)}(a)$ is the $k$ th derivative of $f$ at $a$ .

The division by $k!$ is needed because the $k$ th derivative of $(x-a)^k$ at $a$ is exactly $k!$ . For $n=1$ , the Taylor polynomial is the tangent line equation. For $a=0$ , it is the Maclaurin polynomial. The polynomial is close to $f$ only when $x$ is near $a$ , and the closer $x$ is to $a$ , the better the approximation. When $x$ is far from $a$ , the error can grow very quickly.

Ký hiệuNotation

• $P_n(x)$ hoặc $T_n(x)$ là đa thức Taylor bậc $n$
• $f^{(k)}(a)$ là đạo hàm cấp $k$ tại $a$
• $k!$ là giai thừa
• $a$ là tâm khai triển.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

p_n(x)=\htmlClass{fp-3}{\sum_{k=0}^{n}\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}}\htmlClass{fp-1}{(x-a)^k}}}

Dùng khi xấp xỉ hàm khả vi đủ nhiều lần bằng đa thức bậc $n$ gần $x=a$ .Use this to approximate a function that is differentiable enough times by a degree- $n$ polynomial near $x=a$ .

Trong đóWhere

p_n(x)

đa thức Taylor bậc

n

của

f

tại tâm

a

, dùng để xấp xỉ

f(x)

n

bậc của đa thức, tức đạo hàm cao nhất được dùng

a

tâm khai triển, điểm mà tại đó

p_n

và

f

khớp nhau

k

chỉ số của số hạng, chạy từ

0

đến

n

f^{(k)}(a)

đạo hàm cấp

k

của

f

tính tại

x=a

, với

f^{(0)}=f

k!

giai thừa của

k

, quy ước

0!=1

p_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Dùng khi cần viết tay vài số hạng đầu: giá trị hàm, rồi phần tiếp tuyến, rồi phần độ cong theo $f''(a)$ .Use this when you need to write out the first few terms by hand: the function value, then the tangent-line part, then the curvature part involving $f''(a)$ .

Trong đóWhere

f(a)

giá trị của hàm tại tâm

a

f'(a),\ f''(a)

đạo hàm cấp một và cấp hai của

f

tại

a

(x-a)

độ lệch của

x

so với tâm

a

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Đừng bỏ $k!$ ở hệ số của $(x-a)^k$ .

Hệ số của $(x-a)^2$ là $\dfrac{f''(a)}{2!}$ , không phải $f''(a)$ . Với $f(x)=\sqrt{x}$ tại $a=4$ : $f''(4)=-\dfrac{1}{32}$ nhưng hệ số là $-\dfrac{1}{64}$ . Thiếu giai thừa thì xấp xỉ sẽ sai khi $x\ne a$ .

Muốn tìm đạo hàm từ hệ số, phải nhân hệ số với $k!$ .

Hệ số của $(x-a)^k$ là $\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}$ chứ không phải $f^{(k)}(a)$ . Ví dụ, nếu hệ số của $(x-3)^{30}$ là $\dfrac{1}{15!}$ thì $f^{(30)}(3)=30!\cdot\dfrac{1}{15!}=\dfrac{30!}{15!}$ .

Đa thức Taylor chỉ xấp xỉ tốt gần điểm $a$ , không phải ở mọi nơi.

Sai số thường tăng nhanh khi $x$ rời xa $a$ . Ngoại lệ: $f(x)=x^3$ có đa thức Taylor bậc ba tại $a=2$ bằng chính $f(x)$ với mọi $x$ .

Do not drop $k!$ from the coefficient of $(x-a)^k$ .

The coefficient of $(x-a)^2$ is $\dfrac{f''(a)}{2!}$ , not $f''(a)$ . For $f(x)=\sqrt{x}$ at $a=4$ , $f''(4)=-\dfrac{1}{32}$ but the coefficient is $-\dfrac{1}{64}$ . Without the factorial, the approximation is wrong whenever $x\ne a$ .

To recover a derivative from a coefficient, multiply the coefficient by $k!$ .

The coefficient of $(x-a)^k$ is $\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}$ , not $f^{(k)}(a)$ . For example, if the coefficient of $(x-3)^{30}$ is $\dfrac{1}{15!}$ , then $f^{(30)}(3)=30!\cdot\dfrac{1}{15!}=\dfrac{30!}{15!}$ .

A Taylor polynomial approximates well only near the point $a$ , not everywhere.

The error usually grows quickly as $x$ moves away from $a$ . One exception: the third-degree Taylor polynomial of $f(x)=x^3$ at $a=2$ equals $f(x)$ for every $x$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Ghi riêng $f(a)$ , $f'(a)$ , $f''(a)$ trước khi viết $p_n(x)$ .

Bài AP thường chấm điểm riêng từng giá trị này, nên một dòng đúng vẫn giữ được điểm. Cách này cũng giúp phát hiện việc quên $k!$ hay viết $x$ thay vì $x-a$ .

Dựng đa thức từ khai triển quen thuộc thay vì đạo hàm nhiều lần.

Ví dụ, tại $a=2$ : $\ln(3-x)=\ln\big(1-(x-2)\big)=-(x-2)-\dfrac{(x-2)^2}{2}-\cdots$ . Với $\dfrac{\cos x}{1-x}$ tại $a=0$ , nhân hai khai triển và chỉ giữ số hạng đến bậc cần tìm.

Write $f(a)$ , $f'(a)$ , and $f''(a)$ separately before writing $p_n(x)$ .

AP free-response questions often award points for each of these values, so a correct line can earn credit even if later work is wrong. This habit also helps you catch a forgotten $k!$ or an $x$ written in place of $x-a$ .

Build the polynomial from familiar expansions instead of differentiating repeatedly.

For example, at $a=2$ : $\ln(3-x)=\ln\big(1-(x-2)\big)=-(x-2)-\dfrac{(x-2)^2}{2}-\cdots$ . For $\dfrac{\cos x}{1-x}$ at $a=0$ , multiply the two expansions and keep only the terms up to the degree you need.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1715Brook TaylorJames GregoryColin Maclaurin

Năm 1715, Brook Taylor giới thiệu cách khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa quanh một điểm; đa thức Taylor là tổng riêng hữu hạn của chuỗi ấy.

In 1715, Brook Taylor introduced a method for expanding a function into a power series about a point; the Taylor polynomial is a finite partial sum of that series.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi gồm hai phần. Phần "Taylor" lấy từ Brook Taylor, nhà toán học người Anh đã có những khám phá quan trọng về loại khai triển này và giới thiệu nó năm 1715. Tuy nhiên, James Gregory đã làm việc theo hướng ấy từ trước, nên tên Taylor gắn với phương pháp tổng quát chứ không phải với ý tưởng đầu tiên. Phần "đa thức" xuất hiện vì tổng của $n+1$ số hạng đầu trong chuỗi Taylor (Taylor series) là một đa thức bậc $n$ . Người ta gọi nó là tổng riêng (partial sum) thứ $n$ của chuỗi. Khi điểm khai triển là $0$ , đa thức này còn được gọi là đa thức Maclaurin, theo Colin Maclaurin, người đã dùng trường hợp đặc biệt này rất nhiều trong thế kỷ 18.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Bấm tăng bậc n, kéo tâm a — xem p_n bẻ cong áp sát ln(3−x)

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ hàm bằng đa thức TaylorDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChặn sai số LagrangeDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi Taylor và Maclaurin của một hàm sốDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Dẫn tớiLeads tocận sai số LagrangeLagrange error bound chuỗi TaylorTaylor series

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

chuỗi TaylorTaylor series

Khác nhau ở đâuHow they differĐa thức Taylor có hữu hạn số hạng, chỉ xấp xỉ

f(x)

gần tâm. Chuỗi Taylor có vô hạn số hạng và chỉ bằng

f(x)

trong khoảng hội tụ.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi giá trị gần đúng hoặc sai số với bậc

n

cụ thể thì dùng đa thức Taylor. Đề hỏi khoảng hội tụ hay tổng vô hạn thì phải dùng chuỗi Taylor.

đa thức MaclaurinMaclaurin polynomial

Khác nhau ở đâuHow they differĐa thức Taylor có tâm

a

tuỳ ý cho trước. Đa thức Maclaurin luôn có tâm tại

a=0

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho "quanh

x=2

" hoặc "tại

x=1

" thì phải khai triển Taylor tại điểm đó, đừng dùng nhầm công thức Maclaurin có sẵn của

e^x

hay

\sin x

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 6, 9, 290.