AP Calculus BC

đa thức MaclaurinMaclaurin polynomial

Maclaurin polynomialVietnamese: đa thức Maclaurin

Đa thức Maclaurin (Maclaurin polynomial) là đa thức bậc không quá n trùng với f và các đạo hàm đến cấp n tại 0, dùng xấp xỉ f gần 0.A Maclaurin polynomial is a polynomial of degree at most $n$ that matches $f$ and its derivatives through order $n$ at $x=0$ , and is used to approximate $f$ near 0.

Trực giác: Giống chiếc áo may đo tại x = 0: thêm bậc thì áo ôm sát hơn quanh chỗ đo, còn đi xa chỗ đo thì có thể lệch nhiều.Intuition: Think of a suit tailored at $x = 0$ : each added degree makes the fit tighter near the point of measurement, but far from that point the fit can be off by a lot.

Công thức chínhKey formula

T_n(x)=\sum_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Đa thức Maclaurin (Maclaurin polynomial) bậc $n$ của $f$ là đa thức bậc không quá $n$ , có cùng giá trị và cùng các đạo hàm đến cấp $n$ với $f$ tại $x=0$ . Hệ số của $x^k$ là $f^{(k)}(0)/k!$ . Với $\cos x$ và $n=2$ , ta được $T_2(x)=1-\dfrac{x^2}{2}$ .

Đa thức này chỉ xấp xỉ tốt khi $x$ gần $0$ . Sai số là $R_n(x)=f(x)-T_n(x)$ . Đề AP thường ước lượng sai số bằng chặn sai số Lagrange hoặc bằng chuỗi đan dấu.

The Maclaurin polynomial of degree $n$ for $f$ is the polynomial of degree at most $n$ whose value and first $n$ derivatives at $x=0$ equal those of $f$ . The coefficient of $x^k$ is $f^{(k)}(0)/k!$ . For $\cos x$ with $n=2$ , this gives $T_2(x)=1-\dfrac{x^2}{2}$ .

The polynomial approximates $f$ well only when $x$ is close to $0$ . The error is $R_n(x)=f(x)-T_n(x)$ . On the AP exam, the error is usually estimated with the Lagrange error bound or the alternating series error bound.

Ký hiệuNotation

• $P_n(x)$ hoặc $T_n(x)$ là đa thức Maclaurin bậc $n$
• $f^{(k)}(0)$ là đạo hàm cấp $k$ của $f$ tại $0$
• $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$ là phần dư.

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

T_n(x)=\htmlClass{fp-3}{\sum_{i=0}^{n}\frac{\htmlClass{fp-0}{f^{(i)}(0)}}{\htmlClass{fp-1}{i!}}\htmlClass{fp-2}{x^i}}

Dùng khi cần xấp xỉ $f$ gần $x=0$ bằng đa thức bậc không quá $n$ ; hệ số của $x^i$ là $f^{(i)}(0)/i!$ .Use this to approximate $f$ near $x=0$ with a polynomial of degree at most $n$ ; the coefficient of $x^i$ is $f^{(i)}(0)/i!$ .

Trong đóWhere

T_n(x)

đa thức Maclaurin bậc

n

của

f

, dùng để xấp xỉ

f(x)

khi

x

gần 0

f^{(i)}(0)

đạo hàm cấp

i

của

f

tính tại

x=0

; quy ước

f^{(0)}=f

i!

giai thừa của

i

, tức

i!=1\cdot 2\cdots i

, với

0!=1

n

bậc cao nhất của đa thức, là số nguyên không âm

x

biến số, chỉ xấp xỉ tốt khi

x

gần 0

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Hệ số của $x^k$ là $f^{(k)}(0)/k!$ , không phải riêng $f^{(k)}(0)$ .

Chia cho $k!$ thì đạo hàm cấp $k$ của đa thức tại $0$ mới bằng $f^{(k)}(0)$ . Với $e^x$ , đa thức bậc 3 là $1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}$ .

Đa thức bậc $n$ gồm các số hạng đến $x^n$ , kể cả khi hệ số bằng 0.

Với $\sin x$ , đa thức bậc 3 và bậc 4 đều là $x-\dfrac{x^3}{6}$ vì hệ số của $x^4$ bằng 0. Đừng đếm số hạng khác 0.

Đa thức Maclaurin chỉ xấp xỉ $f$ gần $x=0$ , không bằng $f$ .

Xa $0$ thì sai số thường lớn hơn, nên viết $f(x)\approx T_n(x)$ . Chưa kiểm tra sai số thì chưa kết luận được tại điểm xa $0$ , dù $n$ lớn.

The coefficient of $x^k$ is $f^{(k)}(0)/k!$ , not just $f^{(k)}(0)$ .

Dividing by $k!$ is what makes the $k$ th derivative of the polynomial at $0$ equal $f^{(k)}(0)$ . For $e^x$ , the degree-3 polynomial is $1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}$ .

A degree- $n$ polynomial includes terms through $x^n$ , even when some coefficients are 0.

For $\sin x$ , the degree-3 and degree-4 polynomials are both $x-\dfrac{x^3}{6}$ because the coefficient of $x^4$ is 0. Do not count only the nonzero terms.

A Maclaurin polynomial only approximates $f$ near $x=0$ ; it does not equal $f$ .

Far from $0$ the error is usually larger, so write $f(x)\approx T_n(x)$ . Without checking the error, you cannot draw a conclusion at a point far from $0$ , even for large $n$ .

Mẹo phòng thiExam tips3 mẹo3 tips

Viết bảng $f(0),\ f'(0),\ f''(0),\dots$ trước khi lập đa thức.

Làm vậy dễ tránh nhầm hệ số và bài làm rõ ràng, dễ chấm. Sau đó mới chia cho $k!$ và ghép các số hạng lại.

Với chặn Lagrange, phải nêu rõ $M$ và lý do.

Công thức là $|R_n(x)|\le \dfrac{M|x|^{n+1}}{(n+1)!}$ , với $|f^{(n+1)}(t)|\le M$ mọi $t$ giữa $0$ và $x$ . Lý do ví dụ: $|\sin t|\le 1$ .

Dùng chuỗi đan dấu thì phải kiểm tra đủ điều kiện.

Dấu các số hạng phải đan xen, độ lớn phải giảm dần về $0$ . Khi đó sai số không vượt quá độ lớn số hạng đầu tiên bị bỏ.

Make a table of $f(0),\ f'(0),\ f''(0),\dots$ before building the polynomial.

This helps you avoid coefficient errors and makes your work clear and easy to grade. Only then divide by $k!$ and assemble the terms.

When using the Lagrange bound, state $M$ and justify it.

The bound is $|R_n(x)|\le \dfrac{M|x|^{n+1}}{(n+1)!}$ , where $|f^{(n+1)}(t)|\le M$ for all $t$ between $0$ and $x$ . A typical justification is $|\sin t|\le 1$ .

When using the alternating series error bound, verify all of its conditions.

The terms must alternate in sign, and their magnitudes must decrease to $0$ . Then the error is no larger than the magnitude of the first omitted term.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

giữa thế kỷ 18Colin MaclaurinBrook TaylorIsaac Newton

Giữa thế kỷ 18, Colin Maclaurin công bố và dùng rộng rãi trường hợp tâm 0 của kết quả Taylor, nên đa thức Taylor tâm 0 mang tên ông.

In the mid-18th century, Colin Maclaurin published and widely used the special case of Taylor's result centered at 0, so the Taylor polynomial centered at 0 bears his name.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi này là tên người: đa thức Maclaurin là cách gọi riêng cho đa thức Taylor khi điểm khai triển là 0. Cái tên không có nghĩa là Maclaurin (1698–1746) phát minh ra ý tưởng, vì Newton đã viết ra dạng tường minh từ khoảng 1691–1692 và Taylor công bố phương pháp tổng quát năm 1715, nên chuỗi tổng quát mới mang tên Taylor. Tên Maclaurin gắn với trường hợp tâm 0 vì ông công bố trường hợp đặc biệt này của kết quả Taylor vào giữa thế kỷ 18 và dùng nó rất nhiều. Còn "đa thức" là vì đó là tổng riêng (partial sum) hữu hạn của chuỗi Maclaurin, nghĩa là chuỗi bị cắt ở một bậc $n$ nào đó. Ngoài ra, họ của ông thuở đầu được ghi là M'Laurine, về sau do chính tả thay đổi mới có các dạng Maclaurin hay MacLaurin.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ hàm bằng đa thức TaylorDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi Taylor và Maclaurin của một hàm sốDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChặn sai số LagrangeDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstđạo hàm cấp caohigher-order derivative ký hiệu sigmasigma notation

Dẫn tớiLeads tocận sai số LagrangeLagrange error bound chuỗi MaclaurinMaclaurin series

Liên quanRelatedđa thức TaylorTaylor polynomial

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

đa thức TaylorTaylor polynomial

Khác nhau ở đâuHow they differĐa thức Maclaurin luôn được khai triển quanh

x=0

. Đa thức Taylor khai triển quanh một điểm

x=a

bất kỳ.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho "xấp xỉ

f

gần

x=0

" thì dùng Maclaurin; đề cho tâm khác 0 như

x=1

hay

x=\pi

thì phải dùng Taylor với

(x-a)^k

chuỗi MaclaurinMaclaurin series

Khác nhau ở đâuHow they differĐa thức Maclaurin chỉ có hữu hạn số hạng, dừng ở bậc

n

. Chuỗi Maclaurin có vô hạn số hạng và cần xét hội tụ.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi "đa thức bậc 3" hay "bốn số hạng đầu" thì viết đa thức, không viết dấu "…" như chuỗi.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 793, 809.