AP Calculus BC

chuỗi MaclaurinMaclaurin series

Maclaurin seriesVietnamese: chuỗi Maclaurin

Chuỗi Maclaurin (Maclaurin series) là chuỗi lũy thừa của x biểu diễn một hàm số quanh điểm x = 0, với hệ số tính từ các đạo hàm của hàm tại 0.A Maclaurin series is a power series in x that represents a function near x = 0, with coefficients computed from the function's derivatives at 0.

Trực giác: Biết vị trí, vận tốc, gia tốc… của xe tại một lúc, ta đoán được đường đi quanh lúc đó. Biết càng nhiều cấp, đoán càng sát.Intuition: If you know a car's position, velocity, acceleration, and so on at one moment, you can predict its path near that moment. The more derivatives you know, the closer the prediction.

Công thức chínhKey formula

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Chuỗi Maclaurin (Maclaurin series) viết hàm $f(x)$ thành tổng vô hạn các lũy thừa của $x$ . Hệ số của $x^n$ bằng $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$ , với $f^{(n)}(0)$ là đạo hàm cấp $n$ của $f$ tại $0$ .

Ví dụ: $e^x$ có mọi đạo hàm tại $0$ đều bằng $1$ , nên chuỗi là $1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots$ . Muốn lập chuỗi, $f$ phải có đạo hàm mọi cấp tại $0$ . Chuỗi chỉ bằng $f(x)$ ở những giá trị $x$ làm chuỗi hội tụ về đúng $f(x)$ . Có hàm mà chuỗi hội tụ nhưng không bằng $f(x)$ .

The Maclaurin series writes a function $f(x)$ as an infinite sum of powers of $x$ . The coefficient of $x^n$ is $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$ , where $f^{(n)}(0)$ is the $n$ th derivative of $f$ at $0$ .

For example, every derivative of $e^x$ at $0$ equals $1$ , so its series is $1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots$ . To build the series, $f$ must have derivatives of all orders at $0$ . The series equals $f(x)$ only for those values of $x$ at which it converges to $f(x)$ . Some functions have a Maclaurin series that converges but does not equal $f(x)$ .

Ký hiệuNotation

• $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
• $f^{(n)}(0)$ là đạo hàm cấp $n$ của $f$ tại $0$
• $P_n(x)$ là đa thức Maclaurin bậc $n$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

f(x)=\htmlClass{fp-4}{\sum_{n=0}^{\infty}\htmlClass{fp-2}{\frac{\htmlClass{fp-0}{f^{(n)}(0)}}{\htmlClass{fp-1}{n!}}}\,\htmlClass{fp-3}{x^n}}

Dùng khai triển hàm có đạo hàm mọi cấp tại $0$ ; dấu bằng chỉ đúng trong khoảng hội tụ khi phần dư tiến về $0$ .Use this to expand a function that has derivatives of all orders at $0$ ; the equality holds only within the interval of convergence, where the remainder tends to $0$ .

Trong đóWhere

f(x)

hàm cần khai triển, khả vi vô hạn lần tại

x=0

n

chỉ số của số hạng, cũng là bậc của đạo hàm và của lũy thừa, chạy từ

0

đến

\infty

f^{(n)}(0)

đạo hàm cấp

n

của

f

tính tại

x=0

(với

n=0

hiểu là

f(0)

)

n!

giai thừa của

n

, tức

n(n-1)\cdots 2\cdot 1

, với quy ước

0!=1

x

biến số, lấy trong khoảng hội tụ của chuỗi

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Khai triển quanh $x=a$ với $a\neq 0$ không phải chuỗi Maclaurin.

Đó là chuỗi Taylor, viết theo lũy thừa của $(x-a)$ , không phải theo $x$ . Chuỗi Maclaurin chỉ dùng khi khai triển quanh $x=0$ .

Hệ số của $x^n$ là $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$ , không phải $f^{(n)}(0)$ .

Biết hệ số của $x^4$ mà muốn tìm $f^{(4)}(0)$ thì phải nhân thêm $4!=24$ . Nhiều bạn quên bước này nên ra đáp số sai.

Thay $x$ bằng $x^2$ vào chuỗi $\sin x$ thì giai thừa ở mẫu giữ nguyên.

Ví dụ $\sin(x^2)=x^2-\dfrac{(x^2)^3}{3!}+\cdots=x^2-\dfrac{x^6}{3!}+\cdots$ . Mẫu là $3!$ , không phải $6!$ .

A series centered at $x=a$ with $a\neq 0$ is not a Maclaurin series.

It is a Taylor series, written in powers of $(x-a)$ rather than $x$ . A Maclaurin series is used only when expanding about $x=0$ .

The coefficient of $x^n$ is $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$ , not $f^{(n)}(0)$ .

If you know the coefficient of $x^4$ and want $f^{(4)}(0)$ , you must multiply by $4!=24$ . Many students skip this step and get a wrong answer.

Substituting $x^2$ for $x$ in the series for $\sin x$ leaves the factorials in the denominators unchanged.

For example, $\sin(x^2)=x^2-\dfrac{(x^2)^3}{3!}+\cdots=x^2-\dfrac{x^6}{3!}+\cdots$ . The denominator is $3!$ , not $6!$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Tìm chuỗi Maclaurin của hàm mới: biến đổi từ chuỗi quen thuộc, đừng tính từng đạo hàm.

Thuộc $\dfrac{1}{1-x}$ , $e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ ; thay biến, nhân với lũy thừa của $x$ , đạo hàm hoặc tích phân từng số hạng. Viết ba bốn số hạng đầu và số hạng tổng quát.

Muốn tìm $f^{(4)}(0)$ từ chuỗi, tìm $n$ làm số mũ bằng $4$ , rồi nhân hệ số với $4!$ .

Ví dụ chuỗi $\sum \dfrac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$ : số mũ $2n=4$ thì $n=2$ , hệ số là $\dfrac{1}{2}$ . Vậy $f^{(4)}(0)=4!\cdot\dfrac12=12$ .

To find the Maclaurin series of a new function, build it from a familiar series instead of computing derivatives one by one.

Memorize $\dfrac{1}{1-x}$ , $e^x$ , $\sin x$ , and $\cos x$ , then substitute for the variable, multiply by a power of $x$ , or differentiate or integrate term by term. Write the first three or four terms and the general term.

To find $f^{(4)}(0)$ from a series, locate the term whose exponent is $4$ , then multiply its coefficient by $4!$ .

For the series $\sum \dfrac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$ , the exponent $2n=4$ gives $n=2$ , so the coefficient is $\dfrac{1}{2}$ . Therefore $f^{(4)}(0)=4!\cdot\dfrac12=12$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

giữa thế kỷ 18 (Maclaurin công bố trường hợp đặc biệt); 1715 (Taylor công bố phương pháp tổng quát)Colin MaclaurinBrook TaylorNewton

Giữa thế kỷ 18, Colin Maclaurin công bố và dùng nhiều trường hợp tâm tại 0, nên chuỗi mang tên ông, dù không phải người đầu tiên nghĩ ra.

In the mid-18th century, Colin Maclaurin published and made extensive use of the case centered at 0, so the series bears his name even though he was not the first to discover it.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên "chuỗi Maclaurin" gắn với Colin Maclaurin vì ông là nhà toán học Scotland đã công bố và sử dụng rộng rãi trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor (Taylor series), tức trường hợp tâm (center) của khai triển nằm tại 0. Cái tên vì vậy không chỉ người đầu tiên tìm ra chuỗi: Newton đã viết một phát biểu tường minh từ khoảng 1691–1692, còn Taylor công bố phương pháp tổng quát năm 1715. Chính tên "chuỗi Taylor" cũng đến muộn, vì theo một nguồn thì L'Huillier có lẽ là người đầu tiên dùng cụm này vào năm 1786, trong khi Condorcet lại gán công thức cho cả Taylor lẫn d'Alembert. Các nguồn cũng không đưa ra câu trả lời dứt khoát về người đầu tiên lập ra chuỗi Maclaurin.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi Taylor và Maclaurin của một hàm sốDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ hàm bằng đa thức TaylorDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termBán kính và khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừaDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstchuỗi TaylorTaylor series đạo hàm cấp caohigher-order derivative

Dẫn tớiLeads tocận sai số LagrangeLagrange error bound

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

chuỗi TaylorTaylor series

Khác nhau ở đâuHow they differChuỗi Maclaurin luôn khai triển quanh tâm

x=0

. Chuỗi Taylor khai triển quanh tâm

x=a

tùy ý nên Maclaurin chỉ là trường hợp

a=0

Hay nhầm khiMixed up whenĐề yêu cầu khai triển hàm số quanh một điểm khác

0

, chẳng hạn

x=1

hay

x=\pi

, thì phải dùng chuỗi Taylor với

(x-a)^n

chứ không dùng công thức Maclaurin có

x^n

đa thức MaclaurinMaclaurin polynomial

Khác nhau ở đâuHow they differChuỗi Maclaurin có vô hạn số hạng và có thể hội tụ về chính hàm số. Đa thức Maclaurin chỉ lấy hữu hạn số hạng đầu nên chỉ cho giá trị xấp xỉ.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi "đa thức Maclaurin bậc 3" thì chỉ viết đến số hạng

x^3

; nếu hỏi cả chuỗi thì phải viết số hạng tổng quát với ký hiệu sigma.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 9, 799, 802.