AP Calculus BC

tiêu chuẩn tỉ sốratio test

ratio testVietnamese: tiêu chuẩn tỉ số

Tiêu chuẩn tỉ số (ratio test) là phép thử so sánh số hạng sau với số hạng trước: giới hạn tỉ số nhỏ hơn một thì hội tụ, lớn hơn một thì phân kỳ.The ratio test compares each term of a series with the one before it: if the limit of the ratio is less than 1, the series converges, and if it is greater than 1, the series diverges.

Trực giác: Khi $n$ lớn, số hạng sau xấp xỉ $\rho$ lần số hạng trước, như cấp số nhân: $\rho<1$ thì tổng hữu hạn, $\rho>1$ thì tổng vô hạn.Intuition: For large $n$ , each term is roughly $\rho$ times the previous one, as in a geometric series: if $\rho<1$ the sum is finite, and if $\rho>1$ the sum is infinite.

Công thức chínhKey formula

\rho=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Với chuỗi $\sum a_n$ ( $a_n$ là số hạng thứ $n$ , khác $0$ ), gọi $\rho$ là giới hạn của $\left|a_{n+1}/a_n\right|$ khi $n$ rất lớn. Nếu $\rho<1$ , chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu $\rho>1$ hoặc $\rho=\infty$ , chuỗi phân kỳ. Nếu $\rho=1$ , chưa kết luận được.

Ví dụ: với $a_n=1/2^n$ , tỉ số luôn bằng $\frac12$ , nên $\rho=\frac12<1$ và chuỗi hội tụ. Với chuỗi lũy thừa, giải $\rho<1$ để tìm bán kính hội tụ. Hai đầu mút phải kiểm tra bằng cách khác.

The ratio test applies to a series $\sum a_n$ in which $a_n$ , the $n$ th term, is nonzero. Let $\rho$ be the limit of $\left|a_{n+1}/a_n\right|$ as $n$ becomes very large. If $\rho<1$ , the series converges absolutely. If $\rho>1$ or $\rho=\infty$ , the series diverges. If $\rho=1$ , the test is inconclusive.

Example: for $a_n=1/2^n$ , the ratio is always $\frac12$ , so $\rho=\frac12<1$ and the series converges. For a power series, solve $\rho<1$ to find the radius of convergence. The endpoints must be checked by another method.

Ký hiệuNotation

• $\rho=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
•với chuỗi lũy thừa $\sum c_n(x-a)^n$ thì $a_n=c_n(x-a)^n$ , và điều kiện $\rho<1$ cho ra $|x-a|<R$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\rho=\htmlClass{fp-2}{\lim_{n\to\infty}\htmlClass{fp-1}{\left|\htmlClass{fp-0}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\right|}}

Dùng cho chuỗi có mọi số hạng khác $0$ , nhất là khi có giai thừa hoặc $c^n$ ; so $\rho$ với 1 để kết luận.Use this for a series whose terms are all nonzero, especially when they involve factorials or $c^n$ ; compare $\rho$ with 1 to reach a conclusion.

Trong đóWhere

\rho

giới hạn của tỉ số độ lớn hai số hạng liên tiếp; số đem so sánh với

1

a_n

số hạng thứ

n

của chuỗi

\sum a_n

, giả thiết

a_n\ne 0

a_{n+1}

số hạng đứng ngay sau

a_n

n

chỉ số của số hạng, nguyên dương và cho tiến ra vô cùng

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Khi $\rho=1$ , tiêu chuẩn tỉ số không kết luận, chứ không phải chuỗi phân kỳ.

$\sum 1/n$ phân kỳ còn $\sum 1/n^2$ hội tụ, nhưng cả hai đều cho $\rho=1$ . Gặp $\rho=1$ , hãy đổi sang so sánh hoặc chuỗi $p$ .

Tỉ số phải là $\left|a_{n+1}/a_n\right|$ , không được viết ngược.

Viết ngược cho nghịch đảo của $\rho$ nên kết luận bị đảo. Với $a_n=e^n/n!$ , tỉ số đúng là $e/(n+1)\to 0<1$ , chuỗi hội tụ.

Phải tính trọn giới hạn, không chỉ nhìn hằng số.

Với $a_n=n^n/2^n$ , tỉ số bằng $\frac12(n+1)\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\to\infty$ . Chuỗi phân kỳ dù có thừa số $\frac12<1$ . Chú ý $\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\to e$ , không phải $1$ .

When $\rho=1$ , the ratio test is inconclusive; it does not show that the series diverges.

The series $\sum 1/n$ diverges and $\sum 1/n^2$ converges, yet both give $\rho=1$ . If you get $\rho=1$ , switch to a comparison test or the $p$ -series test.

The ratio must be $\left|a_{n+1}/a_n\right|$ , not its inverse.

Inverting it gives the reciprocal of $\rho$ and reverses the conclusion. For $a_n=e^n/n!$ , the correct ratio is $e/(n+1)\to 0<1$ , so the series converges.

You must evaluate the entire limit, not just look at the constant factor.

For $a_n=n^n/2^n$ , the ratio equals $\frac12(n+1)\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\to\infty$ . The series diverges even though it has a factor $\frac12<1$ . Note that $\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\to e$ , not $1$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Trình bày đủ bốn bước: biểu thức tỉ số, giá trị $\rho$ , so sánh với 1, kết luận.

Người chấm cho điểm theo bước; chỉ ghi "hội tụ" hoặc thiếu câu " $\rho<1$ nên chuỗi hội tụ" thì mất điểm lập luận.

Dùng tiêu chuẩn tỉ số khi số hạng có giai thừa hoặc lũy thừa như $2^n$ .

Tránh khi số hạng là hàm hữu tỉ của $n$ . Với $1/(n^2+1)$ , tỉ số tiến về $1$ nên không kết luận được. Hãy dùng so sánh hoặc chuỗi $p$ .

Show all four steps: the ratio expression, the value of $\rho$ , the comparison with 1, and the conclusion.

Graders award points by step, so writing only "converges" or omitting the statement " $\rho<1$ , so the series converges" loses reasoning points.

Use the ratio test when the terms contain factorials or exponentials such as $2^n$ .

Avoid it when the terms are rational functions of $n$ . For $1/(n^2+1)$ , the ratio approaches $1$ , so the test is inconclusive. Use a comparison test or the $p$ -series test instead.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

Jean le Rond d'Alembert

d'Alembert là người đầu tiên công bố tiêu chuẩn này để xét một chuỗi số có hội tụ hay không, nên nó còn mang tên ông.

d'Alembert was the first to publish this test for deciding whether a numerical series converges, which is why it also bears his name.

Vì sao mang đúng cái tên này? Trong tiếng Anh, từ "test" của tên gọi này cũng được gọi là "criterion", nên tiếng Việt dịch là "tiêu chuẩn", tức một phép thử dùng để kết luận chuỗi có hội tụ hay không. Tên gọi này còn có các biến thể theo người: tiêu chuẩn tỉ số d'Alembert (d'Alembert's ratio test) ghi nhận người đầu tiên công bố, và tiêu chuẩn tỉ số Cauchy (Cauchy ratio test) là cách gọi khác cũng được dùng. Nguồn không giải thích vì sao có chữ "tỉ số" trong tên.

Nguồn đối chiếuSources

en.wikipedia.orgRatio test — Wikipedia

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn tỉ số cho hội tụDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termBán kính và khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừaDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termHội tụ tuyệt đối & hội tụ có điều kiệnDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstchuỗi vô hạninfinite series giới hạnlimit

Dẫn tớiLeads tobán kính hội tụradius of convergence hội tụ tuyệt đốiabsolute convergence

Liên quanRelatedtiêu chuẩn cănroot test

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tiêu chuẩn cănroot test

Khác nhau ở đâuHow they differTiêu chuẩn tỉ số tính giới hạn của

|a_{n+1}/a_n|

. Tiêu chuẩn căn tính giới hạn của

\sqrt[n]{|a_n|}

Hay nhầm khiMixed up whenSố hạng có giai thừa hoặc tích các nhân tử thì chọn tỉ số; số hạng có dạng

(\cdots)^n

thì chọn căn. Cả hai đều vô kết luận khi giới hạn bằng 1.

tiêu chuẩn so sánh giới hạnlimit comparison test

Khác nhau ở đâuHow they differTiêu chuẩn tỉ số chia hai số hạng liên tiếp của cùng một chuỗi. Tiêu chuẩn so sánh giới hạn chia số hạng của chuỗi cho số hạng của một chuỗi khác đã biết.

Hay nhầm khiMixed up whenVới chuỗi dạng

\dfrac{1}{n^2+1}

, tỉ số liên tiếp có giới hạn 1 nên vô kết luận; khi đó phải so sánh với chuỗi p.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 782, 798, 816.