AP Calculus BC

tiêu chuẩn so sánh giới hạnlimit comparison test

limit comparison testVietnamese: tiêu chuẩn so sánh giới hạn

Tiêu chuẩn so sánh giới hạn (limit comparison test) là quy tắc: hai chuỗi dương có tỉ số số hạng tiến đến số dương thì cùng hội tụ hay cùng phân kỳ.The limit comparison test states that if two series with positive terms have a ratio of terms approaching a positive finite number, then both series converge or both diverge.

Trực giác: Về sau, bước người này xấp xỉ một bội cố định (khác 0) của bước người kia, nên tổng quãng đường hai người cùng hữu hạn hoặc cùng vô hạn.Intuition: Eventually, one walker's steps are approximately a fixed nonzero multiple of the other's, so their total distances are either both finite or both infinite.

Công thức chínhKey formula

\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c,\quad 0<c<\infty

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hai chuỗi dương có số hạng thứ $n$ xấp xỉ một số lần cố định của nhau khi $n$ lớn thì cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Ví dụ, với $a_n=\frac{n}{n^2+1}$ và $b_n=\frac1n$ , tỉ số $\frac{a_n}{b_n}=\frac{n^2}{n^2+1}$ tiến đến $1$ . Vì $\sum\frac1n$ phân kỳ nên $\sum a_n$ cũng phân kỳ.

Điều kiện: $a_n>0$ , $b_n>0$ và $L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}$ nằm trong khoảng $0<L<\infty$ . Nếu $L=0$ hoặc $L=\infty$ , kết luận chỉ đúng một chiều. Chuỗi có số hạng âm thì xét $|a_n|$ trước.

The limit comparison test says that if the $n$ th terms of two positive series are approximately a fixed multiple of each other for large $n$ , then the two series either both converge or both diverge. For example, let $a_n=\frac{n}{n^2+1}$ and $b_n=\frac1n$ . The ratio $\frac{a_n}{b_n}=\frac{n^2}{n^2+1}$ approaches $1$ . Since $\sum\frac1n$ diverges, $\sum a_n$ also diverges.

The test requires $a_n>0$ , $b_n>0$ , and $L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}$ with $0<L<\infty$ . If $L=0$ or $L=\infty$ , the conclusion holds in only one direction. For a series with negative terms, first apply the test to $|a_n|$ .

Ký hiệuNotation

• $\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=L$ với $a_n,b_n>0$
•trong đề AP thường ghi là Limit Comparison Test (LCT).

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

\htmlClass{fp-1}{\lim_{n\to\infty}\htmlClass{fp-0}{\frac{a_n}{b_n}}}=\htmlClass{fp-2}{c,\quad 0<c<\infty}

Dùng khi $a_n$ , $b_n$ dương, $a_n$ giống $b_n$ ở luỹ thừa cao nhất, còn bất đẳng thức trực tiếp không đúng chiều.Use this when $a_n$ and $b_n$ are positive, $a_n$ behaves like $b_n$ in its highest power, and a direct inequality goes the wrong way.

Trong đóWhere

a_n

số hạng tổng quát (dương) của chuỗi cần xét

\sum a_n

b_n

số hạng tổng quát (dương) của chuỗi so sánh

\sum b_n

, đã biết hội tụ hay phân kì

c

giá trị giới hạn của tỉ số

a_n/b_n

, phải là số hữu hạn và lớn hơn

0

\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=0,\ \sum b_n<\infty\ \Rightarrow\ \sum a_n<\infty

Dùng khi $L=0$ và $\sum b_n$ hội tụ; nếu $\sum b_n$ phân kỳ thì không kết luận được.Use this when $L=0$ and $\sum b_n$ converges; if $\sum b_n$ diverges, the test is inconclusive.

Trong đóWhere

a_n

số hạng tổng quát (không âm) của chuỗi cần xét

b_n

số hạng tổng quát (không âm) của chuỗi so sánh hội tụ

\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty,\ \sum b_n=\infty\ \Rightarrow\ \sum a_n=\infty

Dùng khi $L=\infty$ và $\sum b_n$ phân kỳ; nếu $\sum b_n$ hội tụ thì không kết luận được.Use this when $L=\infty$ and $\sum b_n$ diverges; if $\sum b_n$ converges, the test is inconclusive.

Trong đóWhere

a_n

số hạng tổng quát (không âm) của chuỗi cần xét

b_n

số hạng tổng quát (không âm) của chuỗi so sánh phân kì

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Nếu $L=0$ hoặc $L=\infty$ , đừng kết luận hai chuỗi cùng số phận.

Chỉ khi $0<L<\infty$ mới đúng. Ví dụ $a_n=\frac1{n^2}$ , $b_n=\frac1n$ có $L=0$ , nhưng $\sum b_n$ phân kỳ còn $\sum a_n$ hội tụ.

Chuỗi so sánh phải biết trước hội tụ hay phân kỳ.

Thường chọn chuỗi hình học hoặc chuỗi $p$ . Chuỗi chỉ trông giống mà ta chưa biết kết quả thì phép so sánh không giúp được gì.

Chọn $b_n$ từ số hạng bậc cao nhất của tử và mẫu, bỏ hệ số.

Với $a_n=\dfrac{n^2}{n^3+1}$ lấy $b_n=\dfrac1n$ . Vì $\sum\frac1n$ phân kỳ nên $\sum a_n$ phân kỳ. Nếu tử là $2n^2$ , vẫn lấy $b_n=\dfrac1n$ , chỉ có $L=2$ thay vì $1$ .

If $L=0$ or $L=\infty$ , you cannot conclude that the two series behave the same way.

That conclusion is guaranteed only when $0<L<\infty$ . For example, $a_n=\frac1{n^2}$ and $b_n=\frac1n$ give $L=0$ , yet $\sum b_n$ diverges while $\sum a_n$ converges.

The comparison series must be one whose convergence or divergence you already know.

Geometric series and $p$ -series are common choices. A series that merely looks similar, but whose behavior is unknown, tells you nothing.

Choose $b_n$ from the highest-degree terms of the numerator and denominator, ignoring coefficients.

For $a_n=\dfrac{n^2}{n^3+1}$ , take $b_n=\dfrac1n$ . Since $\sum\frac1n$ diverges, $\sum a_n$ diverges. If the numerator were $2n^2$ , you would still take $b_n=\dfrac1n$ ; the only change is $L=2$ instead of $1$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Trắc nghiệm: chọn $b_n$ dạng $\frac1{n^p}$ hoặc $r^n$ sao cho $L$ hữu hạn và khác $0$ .

Với phân thức, chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$ để tính $L$ nhanh. Nếu ra $L=0$ hoặc $L=\infty$ , hãy đổi $b_n$ .

Tự luận: ghi rõ tỉ số, $L$ , chuỗi so sánh và vì sao nó hội tụ hay phân kỳ.

Ví dụ $\sum\left(\frac45\right)^n$ hội tụ vì là chuỗi hình học có $|r|<1$ . Cuối cùng kết luận về chuỗi gốc.

On multiple choice, choose $b_n$ of the form $\frac1{n^p}$ or $r^n$ so that $L$ is finite and nonzero.

For rational expressions, divide the numerator and denominator by the highest power of $n$ to find $L$ quickly. If you get $L=0$ or $L=\infty$ , choose a different $b_n$ .

On free response, show the ratio, the value of $L$ , the comparison series, and why it converges or diverges.

For example, $\sum\left(\frac45\right)^n$ converges because it is a geometric series with $|r|<1$ . Then state your conclusion about the original series.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

những năm 1880Karl WeierstrassStolz

Tiêu chuẩn so sánh giới hạn được Weierstrass, Stolz và những người khác tinh chỉnh từ các kĩ thuật so sánh chuỗi vào khoảng những năm 1880. Mục đích là có một công cụ linh hoạt để xét chuỗi hội tụ hay phân kì khi khó dựng bất đẳng thức trực tiếp.

The limit comparison test was refined by Weierstrass, Stolz, and others from series comparison techniques around the 1880s. The goal was a flexible tool for deciding convergence or divergence when a direct inequality is hard to construct.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi ghép từ hai ý. Chữ "so sánh" xuất phát từ tinh thần chung của cả họ tiêu chuẩn này: lấy một "thư viện" các chuỗi mẫu như chuỗi hình học và chuỗi p làm mốc, rồi đo chuỗi mới theo những mốc đó. Chữ "giới hạn" cho biết tiêu chuẩn này dựa vào khái niệm giới hạn thay vì dựng bất đẳng thức trực tiếp giữa các số hạng, nên mới linh hoạt hơn tiêu chuẩn so sánh thông thường. Có một mối liên hệ lịch sử đáng chú ý ở đây. Khái niệm giới hạn được Cauchy chính thức hoá năm 1821, rồi Weierstrass tiếp tục hoàn thiện thành định nghĩa (ε, δ). Do đó, khi Weierstrass cùng đồng nghiệp tinh chỉnh tiêu chuẩn so sánh vào những năm 1880, nền tảng giới hạn chặt chẽ đã sẵn sàng để họ dựa vào.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo số mũ p — tìm b_n để tỉ số a_n/b_n đi ngang

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn so sánh cho hội tụDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi điều hòa và chuỗi pDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi hình học: nhận diện và tính tổngDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstchuỗi vô hạninfinite series giới hạnlimit

Dẫn tớiLeads tochuỗi hình họcgeometric series tích phân suy rộngimproper integral

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tiêu chuẩn so sánhcomparison test

Khác nhau ở đâuHow they differTiêu chuẩn so sánh giới hạn dùng giới hạn của tỉ số

a_n/b_n

dương hữu hạn. Tiêu chuẩn so sánh trực tiếp cần bất đẳng thức

a_n\le b_n

hoặc

a_n\ge b_n

với mọi

n

đủ lớn.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi số hạng có dạng phân thức như

\dfrac{1}{n^2+3n}

thì bất đẳng thức khó chọn chiều, nên so giới hạn với

\dfrac{1}{n^2}

sẽ gọn hơn.

tiêu chuẩn tỉ sốratio test

Khác nhau ở đâuHow they differTiêu chuẩn so sánh giới hạn lấy tỉ số của hai chuỗi khác nhau

a_n/b_n

. Tiêu chuẩn tỉ số lấy tỉ số hai số hạng liên tiếp

a_{n+1}/a_n

của cùng một chuỗi.

Hay nhầm khiMixed up whenCả hai đều viết giới hạn của một tỉ số, nên dễ nhầm khi đề cho số hạng có giai thừa hoặc luỹ thừa

n

, vốn hợp với tiêu chuẩn tỉ số hơn.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 761–762, 816.