DucklingStudyDucklingStudy
Đăng nhậpSign in

AP Calculus BC

tiêu chuẩn so sánhcomparison test

comparison testVietnamese: tiêu chuẩn so sánh

Tiêu chuẩn so sánh (comparison test) là cách xét chuỗi hay tích phân suy rộng hội tụ hoặc phân kỳ bằng cách so nó với một chuỗi đã biết kết quả, các số hạng đều không âm.The comparison test determines whether a series or improper integral with nonnegative terms converges or diverges by comparing it with a series whose behavior is already known.

Trực giác: Hai vòi nước chỉ chảy ra, không hút lại. Vòi A chảy không nhiều hơn vòi B. B tổng cộng hữu hạn thì A hữu hạn. A đã vô hạn thì B vô hạn.Intuition: Picture two faucets that only pour water out and never draw any back. Faucet A never runs faster than faucet B. If B's total output is finite, so is A's. If A's total output is already infinite, so is B's.

Công thức chínhKey formula

0≤an≤bn for n≥N, ∑n=1∞bn<∞  ⟹  ∑n=1∞an<∞0\le a_n\le b_n \text{ for } n\ge N,\ \sum_{n=1}^{\infty} b_n<\infty \;\Longrightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty} a_n<\infty
Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tiêu chuẩn so sánh dùng một chuỗi đã biết kết quả để suy ra kết quả của chuỗi cần xét. Mọi số hạng đều không âm. Chuỗi cần xét nhỏ hơn một chuỗi hội tụ thì hội tụ. Chuỗi cần xét lớn hơn một chuỗi phân kỳ thì phân kỳ. "Nhỏ hơn", "lớn hơn" nghĩa là so từng số hạng.

Ví dụ: 0<1n2+1≤1n20<\dfrac1{n^2+1}\le\dfrac1{n^2} và ∑1n2\sum\dfrac1{n^2} hội tụ, nên ∑1n2+1\sum\dfrac1{n^2+1} hội tụ. Bất đẳng thức chỉ cần đúng từ một số hạng nào đó trở đi. Hai chiều ngược lại thì không kết luận được. Khi bất đẳng thức không thuận chiều, với số hạng dương có thể thử tiêu chuẩn so sánh giới hạn. Tích phân suy rộng của hàm không âm cũng có quy tắc tương tự.

The comparison test uses a series whose convergence behavior is known to decide the behavior of the series in question. All terms must be nonnegative. If the given series is smaller than a convergent series, it converges. If it is larger than a divergent series, it diverges. "Smaller" and "larger" refer to a term-by-term comparison.

Example: 0<1n2+1≤1n20<\dfrac1{n^2+1}\le\dfrac1{n^2} and ∑1n2\sum\dfrac1{n^2} converges, so ∑1n2+1\sum\dfrac1{n^2+1} converges. The inequality only needs to hold from some term onward. The two opposite cases (smaller than a divergent series, larger than a convergent series) give no conclusion. When the inequality goes the wrong way, the limit comparison test may work for series with positive terms. Improper integrals of nonnegative functions have an analogous rule.

Ký hiệuNotation
  • •0≤an≤bn0 \le a_n \le b_n với n≥Nn \ge N
  • •∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n và ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n là hai chuỗi được so sánh
  • •∫a∞f(x) dx\int_a^{\infty} f(x)\,dx với f(x)≥g(x)≥0f(x) \ge g(x) \ge 0 là dạng cho tích phân suy rộng.
Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas
0≤an≤bn for n≥N, ∑n=1∞bn<∞  ⟹  ∑n=1∞an<∞\htmlClass{fp-0}{0\le a_n\le b_n} \text{ for } \htmlClass{fp-1}{n\ge N},\ \htmlClass{fp-2}{\sum_{n=1}^{\infty} b_n<\infty} \;\Longrightarrow\; \htmlClass{fp-3}{\sum_{n=1}^{\infty} a_n<\infty}

Chứng minh chuỗi không âm hội tụ: chặn trên nó bằng một chuỗi hội tụ đã biết, như chuỗi hình học hoặc chuỗi pp với p>1p>1.To show that a nonnegative series converges, bound it above by a known convergent series, such as a geometric series or a pp-series with p>1p>1.

Trong đóWhere

ana_nsố hạng tổng quát của chuỗi cần xét, không âmbnb_nsố hạng tổng quát của chuỗi dùng để so sánh, đã biết hội tụNNchỉ số từ đó bất đẳng thức an≤bna_n\le b_n bắt đầu đúng mãi mãi
an≥bn≥0 for n≥N, ∑n=1∞bn=∞  ⟹  ∑n=1∞an=∞\htmlClass{fp-0}{a_n\ge b_n\ge 0} \text{ for } \htmlClass{fp-1}{n\ge N},\ \htmlClass{fp-2}{\sum_{n=1}^{\infty} b_n=\infty} \;\Longrightarrow\; \htmlClass{fp-3}{\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\infty}

Chứng minh chuỗi phân kỳ: chặn dưới nó bằng một chuỗi không âm đã biết phân kỳ, như chuỗi điều hòa hoặc chuỗi pp với p≤1p\le 1.To show that a series diverges, bound it below by a known divergent series with nonnegative terms, such as the harmonic series or a pp-series with p≤1p\le 1.

Trong đóWhere

ana_nsố hạng tổng quát của chuỗi cần xétbnb_nsố hạng tổng quát của chuỗi dùng để so sánh, không âm và đã biết phân kìNNchỉ số từ đó bất đẳng thức an≥bna_n\ge b_n bắt đầu đúng mãi mãi
Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Chuỗi nhỏ hơn một chuỗi phân kỳ, hoặc lớn hơn một chuỗi hội tụ, thì chưa kết luận được.

Ví dụ 1n2≤1n\dfrac1{n^2}\le\dfrac1n và ∑1n\sum\dfrac1n phân kỳ, nhưng ∑1n2\sum\dfrac1{n^2} lại hội tụ.

Phải kiểm tra số hạng không âm trước khi so sánh.

Ví dụ 0<4+sin⁡n≤50<4+\sin n\le 5 nên 0<4+sin⁡nn2≤5n20<\dfrac{4+\sin n}{n^2}\le\dfrac{5}{n^2}. Thiếu vế 0<0< thì phép so sánh không có cơ sở.

Bất đẳng thức không cần đúng với mọi số hạng, chỉ cần đúng từ một số hạng nào đó trở đi.

Vài số hạng đầu không làm thay đổi việc chuỗi hội tụ hay phân kỳ.

A series smaller than a divergent series, or larger than a convergent series, gives no conclusion.

For example, 1n2≤1n\dfrac1{n^2}\le\dfrac1n and ∑1n\sum\dfrac1n diverges, yet ∑1n2\sum\dfrac1{n^2} converges.

You must check that the terms are nonnegative before comparing.

For example, 0<4+sin⁡n≤50<4+\sin n\le 5 gives 0<4+sin⁡nn2≤5n20<\dfrac{4+\sin n}{n^2}\le\dfrac{5}{n^2}. Without the lower bound 0<0<, the comparison has no justification.

The inequality does not have to hold for every term; it only has to hold from some term onward.

The first few terms do not affect whether a series converges or diverges.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết đủ ba ý: bất đẳng thức, chuỗi so sánh hội tụ hay phân kỳ kèm lý do, rồi kết luận.

Đề AP chấm theo từng ý. Chẳng hạn: 0<4+sin⁡nn2≤5n20<\dfrac{4+\sin n}{n^2}\le\dfrac{5}{n^2}, ∑1n2\sum \dfrac1{n^2} là chuỗi pp với p=2>1p=2>1 nên hội tụ, vậy chuỗi đã cho hội tụ.

Chuỗi so sánh phải lớn hơn chuỗi đề cho và hội tụ, hoặc nhỏ hơn và phân kỳ.

Chuỗi phân kỳ nhưng lớn hơn chuỗi đề cho là bẫy quen thuộc ở câu trắc nghiệm. Hãy kiểm tra chiều bất đẳng thức trước.

Write all three parts: the inequality, whether the comparison series converges or diverges with a reason, and the conclusion.

AP graders award points for each part. For example: 0<4+sin⁡nn2≤5n20<\dfrac{4+\sin n}{n^2}\le\dfrac{5}{n^2}, and ∑1n2\sum \dfrac1{n^2} is a pp-series with p=2>1p=2>1, so it converges; therefore the given series converges.

The comparison series must be larger than the given series and convergent, or smaller and divergent.

A divergent series that is larger than the given series is a classic multiple-choice trap. Check the direction of the inequality first.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn so sánh cho hội tụDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân suy rộng: xử lý cận vô cực và hàm không bị chặnTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC
Cần trướcLearn firsttổng riêngpartial sum
Dẫn tớiLeads tochuỗi pp-serieschuỗi hình họcgeometric series
Liên quanRelatedchuỗi vô hạninfinite seriestiêu chuẩn so sánh giới hạnlimit comparison test
Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

tiêu chuẩn so sánh giới hạnlimit comparison test
Khác nhau ở đâuHow they differTiêu chuẩn so sánh dùng bất đẳng thức giữa các số hạng an≤bna_n \le b_n hoặc an≥bna_n \ge b_n. Tiêu chuẩn so sánh giới hạn dùng giá trị lim⁡an/bn\lim a_n/b_n là số dương hữu hạn.
Hay nhầm khiMixed up whenVới số hạng như 1n2−1\dfrac{1}{n^2-1} hay nn3+5\dfrac{n}{n^3+5}, bất đẳng thức khó kiểm tra hoặc đi sai chiều, nên đề thường cần so sánh giới hạn; còn khi chặn đơn giản như 1n2+1<1n2\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2} thì dùng tiêu chuẩn so sánh trực tiếp.
tiêu chuẩn tích phânintegral test
Khác nhau ở đâuHow they differTiêu chuẩn so sánh đặt chuỗi cạnh một chuỗi khác đã biết hội tụ hay phân kỳ. Tiêu chuẩn tích phân đặt chuỗi cạnh một tích phân suy rộng của hàm tương ứng.
Hay nhầm khiMixed up whenVới chuỗi dương có dạng gần chuỗi p thì so sánh với chuỗi p là nhanh nhất; còn khi số hạng là hàm dễ lấy nguyên hàm như 1nln⁡n\dfrac{1}{n\ln n} thì nên dùng tiêu chuẩn tích phân.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

  1. [1]Stewart. tr. 9, 565, 759.

Biên soạn bởi DucklingStudy, bản quyền thuộc DucklingStudy.Written by DucklingStudy. © DucklingStudy. Xuất bảnPublished .