AP Calculus BC

chuỗi pp-series

p-seriesVietnamese: chuỗi p

Chuỗi p (p-series) là chuỗi cộng vô hạn các số 1 chia cho n mũ p, hội tụ khi p lớn hơn 1 và phân kỳ khi p nhỏ hơn hoặc bằng 1.A p-series is an infinite series of the form 1 divided by n raised to the power p; it converges when p is greater than 1 and diverges when p is less than or equal to 1.

Trực giác: Ly thứ n chứa 1/n^p lít nước. Nếu p > 1 thì tổng nước dừng ở một mức. Nếu p ≤ 1 thì tổng nước vượt mọi mức.Intuition: Imagine that the nth cup holds $1/n^p$ liters of water. If p > 1, the total amount of water levels off at a finite value. If p ≤ 1, the total eventually exceeds any given amount.

Công thức chínhKey formula

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Chuỗi p (p-series) là chuỗi cộng vô hạn các số $\frac{1}{n^p}$ với $n=1,2,3,\dots$ , trong đó $p$ là số thực cố định. Với $p=2$ ta có $1+\frac14+\frac19+\dots$ , và chuỗi này hội tụ.

Với $p=\frac12$ , chuỗi phân kỳ. Chuỗi hội tụ khi và chỉ khi $p>1$ . Điều kiện này chỉ cho biết chuỗi có hội tụ hay không, không cho biết tổng. Khi $p=1$ ta có chuỗi điều hòa.

A p-series is an infinite series whose terms are $\frac{1}{n^p}$ for $n=1,2,3,\dots$ , where $p$ is a fixed real number. For $p=2$ , the series is $1+\frac14+\frac19+\dots$ , which converges.

For $p=\frac12$ , the series diverges. A p-series converges if and only if $p>1$ . This condition tells you only whether the series converges, not what its sum is. When $p=1$ , the p-series is the harmonic series.

Ký hiệuNotation

• $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^p}$ , trong đó $p$ là hằng số thực
• $p>1$ hội tụ, $p\le 1$ phân kỳ.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-2}{\sum_{n=1}^{\infty}\htmlClass{fp-1}{\frac{1}{\htmlClass{fp-0}{n^{p}}}}}

Dùng để nhận ra chuỗi p, kể cả dạng căn như $1/\sqrt{n}$ , và để chọn làm chuỗi so sánh trong so sánh giới hạn.Use this form to recognize a p-series, including radical forms such as $1/\sqrt{n}$ , and to choose it as the comparison series in the limit comparison test.

Trong đóWhere

n

chỉ số của số hạng, chạy qua các số nguyên dương

1, 2, 3, \dots

p

số mũ cố định (hằng số thực), không đổi khi

n

thay đổi

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}\ \begin{cases}\text{converges}, & p>1\\ \text{diverges}, & p\le 1\end{cases}

Dùng để kết luận hội tụ hay phân kỳ của chuỗi p chỉ bằng cách so $p$ với $1$ ; $p=1$ là chuỗi điều hòa, phân kỳ.Use this to decide whether a p-series converges or diverges just by comparing $p$ with $1$ ; $p=1$ gives the harmonic series, which diverges.

Trong đóWhere

p

số mũ của

n

ở mẫu số; chỉ cần so

p

với

1

là biết chuỗi hội tụ hay phân kỳ

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Chuỗi p hội tụ khi $p>1$ , không phải khi $p\ge 1$ .

Với $p=1$ ta có chuỗi điều hòa $1+\frac12+\frac13+\dots$ . Chuỗi này phân kỳ: cộng đủ nhiều số hạng thì tổng vượt mọi số cho trước, dù tăng rất chậm.

Số hạng tiến về $0$ chưa đủ để kết luận chuỗi p hội tụ.

Với $0<p\le 1$ , $\frac{1}{n^p}\to 0$ nhưng chuỗi vẫn phân kỳ. Tiêu chuẩn số hạng thứ n chỉ cho kết luận phân kỳ. Muốn kết luận hội tụ phải so $p$ với $1$ .

Tổng chuỗi p không bằng giá trị tích phân.

Chuỗi và tích phân chỉ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Ví dụ $\int_1^{\infty}x^{-2}dx=1$ , nhưng $\sum \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ .

A p-series converges when $p>1$ , not when $p\ge 1$ .

For $p=1$ the series is the harmonic series $1+\frac12+\frac13+\dots$ , which diverges: with enough terms, the partial sums exceed any given number, even though they grow very slowly.

Terms approaching $0$ is not enough to conclude that a p-series converges.

For $0<p\le 1$ , $\frac{1}{n^p}\to 0$ but the series still diverges. The nth-term test can only show divergence; to show convergence, you must compare $p$ with $1$ .

The sum of a p-series does not equal the value of the corresponding integral.

The series and the integral only converge together or diverge together. For example, $\int_1^{\infty}x^{-2}dx=1$ , but $\sum \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết rõ $p$ so với $1$ rồi mới kết luận.

Ví dụ: $p=\frac{3}{2}>1$ nên chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn chuỗi p. Chỉ viết "hội tụ" thì dễ mất điểm lập luận dù đáp án đúng.

Chọn chuỗi p có $p$ bằng bậc mẫu trừ bậc tử.

Ví dụ $a_n=\frac{n+1}{n^3+5}$ so với $b_n=\frac{1}{n^2}$ . Khi đó $\frac{a_n}{b_n}\to 1$ , là số hữu hạn dương. Vậy chuỗi hội tụ vì $p=2>1$ .

State how $p$ compares with $1$ before you conclude.

For example: $p=\frac{3}{2}>1$ , so the series converges by the p-series test. Writing only "converges" can cost you reasoning points even when the answer is correct.

For limit comparison, choose a p-series whose $p$ equals the degree of the denominator minus the degree of the numerator.

For example, compare $a_n=\frac{n+1}{n^3+5}$ with $b_n=\frac{1}{n^2}$ . Then $\frac{a_n}{b_n}\to 1$ , a finite positive limit, so the series converges because $p=2>1$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

Nicole OresmeJakob BernoulliLeonhard EulerPeter Gustav Lejeune DirichletBernhard Riemann

Chuỗi p không có một người phát minh duy nhất: khoảng năm 1350 Oresme chứng minh chuỗi điều hòa phân kỳ, và năm 1735 Euler tìm ra

\sum 1/n^2=\pi^2/6

The p-series has no single inventor: around 1350, Oresme proved that the harmonic series diverges, and in 1735 Euler found that

\sum 1/n^2=\pi^2/6

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "p" trong tên gọi chính là số mũ trong dạng $\sum_{k=1}^{\infty} k^{-p}$ , tức $\sum 1/k^p$ . Nguồn mô tả "chuỗi p" là cách gọi tắt cho chuỗi có biến $k$ lũy thừa với số mũ âm, nên tên gọi này chỉ đơn giản lấy tên tham số $p$ làm nhãn cho cả họ chuỗi. Khi $p=1$ ta được chuỗi điều hòa, còn khi $p>1$ chuỗi hội tụ. Các nguồn đã đọc không nói ai là người đầu tiên đặt tên "chuỗi p" hay đặt vào năm nào.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi điều hòa và chuỗi pDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn tích phân cho hội tụ của chuỗi sốDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn so sánh cho hội tụDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstsố mũexponent

Dẫn tớiLeads totiêu chuẩn so sánh giới hạnlimit comparison test tiêu chuẩn tích phânintegral test

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

chuỗi hình họcgeometric series

Khác nhau ở đâuHow they differChuỗi p có dạng

\sum 1/n^p

, biến

n

nằm ở cơ số và hội tụ khi

p>1

. Chuỗi hình học có dạng

\sum ar^n

, biến nằm ở số mũ và hội tụ khi

|r|<1

Hay nhầm khiMixed up whenThấy số hạng có luỹ thừa là vội dùng điều kiện

|r|<1

; cần xem

n

nằm ở cơ số hay ở số mũ. Ví dụ

\sum 1/n^2

là chuỗi p, còn

\sum 1/2^n

là chuỗi hình học.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 762, 776, 782.