DucklingStudyDucklingStudy
Đăng nhậpSign in

AP Calculus BC

tích phân suy rộngimproper integral

improper integralVietnamese: tích phân suy rộng

Tích phân suy rộng (improper integral) là tích phân có cận vô hạn, hoặc có hàm tiến ra vô cực gần một điểm của khoảng, và được tính bằng giới hạn.An improper integral is an integral with an infinite limit of integration, or with an integrand that becomes unbounded near a point of the interval, and it is evaluated as a limit.

Trực giác: Như sơn một dải băng dài vô tận: dải thu hẹp đủ nhanh thì lượng sơn hữu hạn, thu hẹp quá chậm thì sơn mãi không đủ.Intuition: Think of painting an infinitely long strip: if the strip narrows fast enough, a finite amount of paint covers it, but if it narrows too slowly, you never have enough paint.

Công thức chínhKey formula

∫a∞f(x) dx=lim⁡t→∞∫atf(x) dx\int_a^{\infty} f(x)\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_a^{t} f(x)\,dx
Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tích phân suy rộng là tích phân mà ta chưa thể thay cận vào nguyên hàm ngay. Có hai trường hợp: một cận là vô cực, hoặc hàm tiến ra vô cực gần một cận. Ta thay cận đó bằng số tt, tính tích phân, rồi cho tt tiến tới cận đó. Ví dụ: ∫1∞dxx2=lim⁡t→∞(1−1t)=1\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2}=\lim_{t\to\infty}\left(1-\frac1t\right)=1. Giới hạn là số thực thì tích phân hội tụ. Giới hạn bằng vô cực hoặc không tồn tại thì tích phân phân kì.

Nếu điểm làm hàm tiến ra vô cực nằm giữa khoảng, ta tách tích phân tại điểm đó. Cả hai phần phải hội tụ. Hàm tiến về 00 khi x→∞x\to\infty chưa đủ để hội tụ: trên [1,∞)[1,\infty), 1x2\frac1{x^2} hội tụ còn 1x\frac1x phân kì.

An improper integral is an integral whose limits cannot simply be substituted into an antiderivative. There are two cases: a limit of integration is infinite, or the integrand becomes unbounded near a limit of integration. In either case, replace the troublesome limit with a number tt, evaluate the integral, and then let tt approach that limit. For example, ∫1∞dxx2=lim⁡t→∞(1−1t)=1\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2}=\lim_{t\to\infty}\left(1-\frac1t\right)=1. If the limit is a real number, the integral converges. If the limit is infinite or does not exist, the integral diverges.

If the point where the integrand becomes unbounded lies inside the interval, split the integral at that point. Both pieces must converge. An integrand that approaches 00 as x→∞x\to\infty is not enough to guarantee convergence: on [1,∞)[1,\infty), 1x2\frac1{x^2} converges but 1x\frac1x diverges.

Ký hiệuNotation
  • •∫a∞f(x) dx\int_a^{\infty} f(x)\,dx, ∫−∞bf(x) dx\int_{-\infty}^{b} f(x)\,dx, ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx
  • •lim⁡t→∞∫atf(x) dx\lim_{t\to\infty}\int_a^t f(x)\,dx
  • •lim⁡t→a+∫tbf(x) dx\lim_{t\to a^+}\int_t^b f(x)\,dx
Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas
∫a∞f(x) dx=lim⁡t→∞∫atf(x) dx\htmlClass{fp-2}{\int_a^{\infty} f(x)\,dx}=\htmlClass{fp-1}{\lim_{t\to\infty}\htmlClass{fp-0}{\int_a^{t} f(x)\,dx}}

Dùng khi cận trên là +∞+\infty: tìm nguyên hàm trên [a,t][a,t] rồi cho t→∞t\to\infty. Giới hạn hữu hạn thì tích phân hội tụ.Use this when the upper limit is +∞+\infty: find an antiderivative on [a,t][a,t], then let t→∞t\to\infty. If the limit is finite, the integral converges.

Trong đóWhere

f(x)f(x)Hàm dưới dấu tích phân, liên tục trên [a,∞)[a,\infty)aaCận dưới cố định của tích phânttCận trên tạm thời, là số thực hữu hạn, sau đó cho tiến ra vô cực
∫abf(x) dx=lim⁡t→b−∫atf(x) dx\int_a^{b} f(x)\,dx=\lim_{t\to b^-}\int_a^{t} f(x)\,dx

Dùng khi ff không bị chặn gần cận phải bb: tính trên [a,t][a,t] rồi cho t→b−t\to b^-. Gián đoạn ở cận trái thì dùng t→a+t\to a^+.Use this when ff is unbounded near the right endpoint bb: evaluate on [a,t][a,t], then let t→b−t\to b^-. If the discontinuity is at the left endpoint, use t→a+t\to a^+ instead.

Trong đóWhere

f(x)f(x)Hàm có gián đoạn vô hạn tại x=bx=ba, ba,\ bHai cận của tích phân, trong đó bb là điểm làm hàm không bị chặnttCận trên tạm thời, nằm trong [a,b)[a,b) và tiến tới bb từ bên trái
∫1∞dxxp=1p−1(p>1)\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}=\frac{1}{p-1}\quad (p>1)

Mốc so sánh: ∫1∞x−p dx\int_1^\infty x^{-p}\,dx hội tụ khi p>1p>1 (bằng 1p−1\frac{1}{p-1}), phân kì khi p≤1p\le 1.This is the standard comparison benchmark: ∫1∞x−p dx\int_1^\infty x^{-p}\,dx converges when p>1p>1 (to 1p−1\frac{1}{p-1}) and diverges when p≤1p\le 1.

Trong đóWhere

ppSố mũ của xx ở mẫu số, là hằng số thực
Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Không thay thẳng ∞\infty vào nguyên hàm.

Hãy viết lim⁡t→∞∫1tdxx2\lim_{t\to\infty}\int_1^t\frac{dx}{x^2} trước, rồi mới tìm nguyên hàm. Thay thẳng là coi ∞\infty như một số thực.

Khoảng hữu hạn vẫn có thể suy rộng.

Ví dụ 1x\frac1{\sqrt x} trên [0,1][0,1] tiến ra vô cực tại 00. Khi đó phải dùng giới hạn một phía. Nếu điểm đó nằm giữa khoảng, tách thành hai phần. Cả hai phần phải hội tụ.

Hàm tiến về 00 khi x→∞x\to\infty chưa chắc làm tích phân hội tụ.

Với t>1t>1, ∫1tdxx=ln⁡t→∞\int_1^t\frac{dx}{x}=\ln t\to\infty nên phân kì, còn ∫1∞dxx2=1\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}=1. Trên [1,∞)[1,\infty), 1xp\frac1{x^p} hội tụ khi p>1p>1 và phân kì khi p≤1p\le1.

Do not substitute ∞\infty directly into the antiderivative.

Write lim⁡t→∞∫1tdxx2\lim_{t\to\infty}\int_1^t\frac{dx}{x^2} first, then find the antiderivative. Direct substitution treats ∞\infty as if it were a real number.

An integral over a finite interval can still be improper.

For example, 1x\frac1{\sqrt x} is unbounded at 00 on [0,1][0,1], so you must use a one-sided limit. If the bad point lies inside the interval, split the integral into two pieces, and both must converge.

An integrand that tends to 00 as x→∞x\to\infty does not guarantee that the integral converges.

For t>1t>1, ∫1tdxx=ln⁡t→∞\int_1^t\frac{dx}{x}=\ln t\to\infty, so it diverges, while ∫1∞dxx2=1\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}=1. On [1,∞)[1,\infty), 1xp\frac1{x^p} converges when p>1p>1 and diverges when p≤1p\le1.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Mở bằng dòng giới hạn, kết bằng kết luận.

AP thường cho riêng một điểm cho dòng giới hạn. Hội tụ thì ghi giá trị chính xác, không chỉ số thập phân. Phân kì thì nói rõ là phân kì.

Với giới hạn một phía, phải ghi rõ hướng tiến tới.

Xét ∫−30dxx+3\int_{-3}^{0}\frac{dx}{\sqrt{x+3}}, hàm tiến ra vô cực tại x=−3x=-3. Cho t→−3+t\to-3^+ thì t+3→0+t+3\to0^+. Khi đó ∫t0dxx+3=23−2t+3→23\int_t^0\frac{dx}{\sqrt{x+3}}=2\sqrt3-2\sqrt{t+3}\to2\sqrt3.

Begin with the limit statement and end with a conclusion.

The AP scoring guidelines often award a separate point for writing the limit. If the integral converges, give the exact value, not just a decimal approximation; if it diverges, say so explicitly.

For a one-sided limit, state the direction of approach explicitly.

In ∫−30dxx+3\int_{-3}^{0}\frac{dx}{\sqrt{x+3}}, the integrand is unbounded at x=−3x=-3. Let t→−3+t\to-3^+, so t+3→0+t+3\to0^+. Then ∫t0dxx+3=23−2t+3→23\int_t^0\frac{dx}{\sqrt{x+3}}=2\sqrt3-2\sqrt{t+3}\to2\sqrt3.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân suy rộng: xử lý cận vô cực và hàm không bị chặnTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn tích phân cho hội tụ của chuỗi sốDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn so sánh cho hội tụDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC
Cần trướcLearn firsttích phân xác địnhdefinite integral
Dẫn tớiLeads totiêu chuẩn tích phânintegral test
Liên quanRelatedgiới hạn tại vô cựclimit at infinityđiểm gián đoạn vô cựcinfinite discontinuityquy tắc L'HôpitalL’Hôpital’s rule
Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

tích phân xác địnhdefinite integral
Khác nhau ở đâuHow they differTích phân xác định có cận hữu hạn và hàm bị chặn trên đoạn đó, nên luôn cho một số thực. Tích phân suy rộng có cận vô cực hoặc hàm không bị chặn, nên có thể phân kỳ.
Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho ∫011x dx\int_0^1 \dfrac{1}{x}\,dx trông như tích phân xác định thường vì cận đẹp, nhưng hàm không xác định tại x=0x=0 nên phải xử lý bằng giới hạn.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

  1. [1]Stewart. tr. 7, 561, 565.

Biên soạn bởi DucklingStudy, bản quyền thuộc DucklingStudy.Written by DucklingStudy. © DucklingStudy. Xuất bảnPublished .