AP Calculus BCAP Calculus AB

quy tắc L'HôpitalL’Hôpital’s rule

L’Hôpital’s ruleVietnamese: quy tắc L'Hôpital

Còn gọi:Also called: L'Hospital's rule

Quy tắc L'Hôpital (L’Hôpital’s rule) là cách tính giới hạn dạng vô định không trên không hoặc vô cực trên vô cực bằng cách lấy đạo hàm tử và mẫu.L’Hôpital’s rule is a method for evaluating limits of the indeterminate forms $0/0$ or $\infty/\infty$ by taking the derivatives of the numerator and denominator.

Trực giác: Hai xe cùng về đích một lúc. Sát đích, quãng đường còn lại bằng tốc độ nhân thời gian còn lại, nên tỉ số quãng đường gần bằng tỉ số tốc độ.Intuition: Imagine two cars reaching the finish line at the same moment. Near the finish, the remaining distance equals speed times remaining time, so the ratio of the remaining distances is approximately the ratio of the speeds.

Công thức chínhKey formula

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Quy tắc L'Hôpital giúp tính giới hạn của thương $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ khi $x\to a$ , lúc tử và mẫu cùng tiến về $0$ hoặc cùng tiến về vô cực. Ta đạo hàm tử và mẫu riêng rẽ, rồi tính giới hạn mới. Ví dụ: $\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}$ có dạng $\dfrac{0}{0}$ , nên bằng $\lim_{x\to 1}\dfrac{2x}{1}=2$ .

Cần $f$ , $g$ có đạo hàm quanh $a$ và $g'(x)\neq 0$ gần $a$ . Giới hạn của $\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ phải tồn tại hoặc bằng $\pm\infty$ . Sau một lần mà vẫn còn dạng vô định thì áp dụng lại. Dạng $0\cdot\infty$ và $\infty-\infty$ phải đưa về thương trước. Dạng $1^\infty$ , $0^0$ thì lấy $\ln$ trước.

L’Hôpital’s rule evaluates the limit of a quotient $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ as $x\to a$ when the numerator and denominator both approach $0$ or both approach infinity. Differentiate the numerator and denominator separately, then take the limit of the new quotient. For example, $\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}$ has the form $\dfrac{0}{0}$ , so it equals $\lim_{x\to 1}\dfrac{2x}{1}=2$ .

The rule requires that $f$ and $g$ be differentiable near $a$ and that $g'(x)\neq 0$ near $a$ . The limit of $\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ must exist or equal $\pm\infty$ . If the result after one application is still indeterminate, apply the rule again. Forms $0\cdot\infty$ and $\infty-\infty$ must first be rewritten as a quotient. For forms $1^\infty$ and $0^0$ , take the natural log first.

Ký hiệuNotation

• $\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$
•dạng vô định $\dfrac{0}{0}$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ . Đề AP có thể viết L'Hospital.

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}}=\htmlClass{fp-2}{\lim_{x\to a}\htmlClass{fp-1}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}}

Dùng khi thương $\dfrac{f}{g}$ có dạng $\dfrac{0}{0}$ hoặc $\dfrac{\infty}{\infty}$ khi $x\to a$ ; kiểm tra dạng trước mỗi lần áp dụng, còn vô định thì áp dụng lại.Use this when the quotient $\dfrac{f}{g}$ has the form $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$ as $x\to a$ . Check the form before each application, and apply the rule again if the result is still indeterminate.

Trong đóWhere

f(x),\ g(x)

hai hàm số khả vi trên một khoảng chứa

a

, có thể trừ tại

a

, tạo nên tử số và mẫu số

a

giá trị mà

x

tiến tới;

a

có thể là số thực,

\infty

hoặc

-\infty

f'(x),\ g'(x)

đạo hàm của

f

và của

g

theo

x

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

L'Hôpital không phải là đạo hàm của thương.

Ta đạo hàm riêng tử và mẫu để được $\lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ , không dùng $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ . Lỗi này hay gặp ngay sau khi học quy tắc đạo hàm của thương.

Chỉ dùng L'Hôpital khi giới hạn có dạng $\dfrac{0}{0}$ hoặc $\dfrac{\infty}{\infty}$ .

Nếu mẫu tiến về số khác $0$ , chỉ cần thay số, ví dụ $\lim_{x\to 0}\dfrac{x+1}{\cos x}=1$ . Đạo hàm máy móc sẽ cho kết quả sai.

Nếu $\lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ không tồn tại thì chưa kết luận được gì về giới hạn ban đầu.

Ví dụ $\lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}=1$ , nhưng $1+\cos x$ không có giới hạn. Khi đó thử chia cho lũy thừa cao nhất hoặc dùng định lý kẹp.

L’Hôpital’s rule does not differentiate the quotient.

You differentiate the numerator and denominator separately to get $\lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ , not $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ . This mistake is common right after students learn the quotient rule.

L’Hôpital’s rule applies only to limits of the form $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$ .

If the denominator approaches a nonzero number, simply substitute, as in $\lim_{x\to 0}\dfrac{x+1}{\cos x}=1$ . Differentiating mechanically gives a wrong answer.

If $\lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ does not exist, you cannot conclude anything about the original limit.

For example, $\lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}=1$ , yet $1+\cos x$ has no limit. In that case, try dividing by the highest power of $x$ or use the squeeze theorem.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Ghi rõ dạng $\dfrac{0}{0}$ hoặc $\dfrac{\infty}{\infty}$ trước khi đạo hàm.

Chẳng hạn viết $\lim f(x)=0$ và $\lim g(x)=0$ . Chỉ viết thẳng $\lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ có thể mất điểm lập luận dù đáp số đúng.

Với dạng $0\cdot\infty$ hoặc lũy thừa, hãy biến đổi về thương rồi mới dùng quy tắc.

Với $\lim_{x\to 0^+}x^x$ , đặt $y=x^x$ và viết $\ln y=\dfrac{\ln x}{1/x}$ . Tính ra $\ln y\to 0$ , rồi phải kết luận $y\to e^0=1$ . Nhiều bạn quên bước cuối này.

State the form $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$ before differentiating.

For instance, write $\lim f(x)=0$ and $\lim g(x)=0$ . Jumping straight to $\lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ can cost you justification points even if the answer is correct.

Rewrite $0\cdot\infty$ and exponential indeterminate forms as a quotient before applying the rule.

For $\lim_{x\to 0^+}x^x$ , let $y=x^x$ and write $\ln y=\dfrac{\ln x}{1/x}$ . You find $\ln y\to 0$ , and you must then conclude $y\to e^0=1$ . Many students forget this last step.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1694–1696Johann BernoulliGuillaume de l'Hôpital

Năm 1694 Johann Bernoulli gửi quy tắc cho l'Hôpital để tính giới hạn dạng 0/0; năm 1696 l'Hôpital là người đầu tiên cho in nó trong sách.

In 1694, Johann Bernoulli sent the rule to l’Hôpital for evaluating limits of the form 0/0; in 1696, l’Hôpital became the first to publish it in a book.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên quy tắc là tên người cho in nó, không phải tên người tìm ra nó. Johann Bernoulli là người phát hiện kết quả này cho dạng vô định (indeterminate form) 0/0. Tuy nhiên, theo hợp đồng giữa hai người, Bernoulli đồng ý dạy phép tính mới cho l'Hôpital, báo cho ông những phát hiện của mình để ông dùng tùy ý, và không chia sẻ ghi chép với ai khác. Vì vậy, khi l'Hôpital cho in quy tắc trong cuốn Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (tạm dịch: Phân tích các đại lượng vô cùng bé để hiểu các đường cong) năm 1696, tên ông gắn vào quy tắc. Cuốn sách ấy là bản trình bày có hệ thống đầu tiên của phép tính vi phân (differential calculus), được tái bản và dịch sang nhiều thứ tiếng, nên quy tắc theo sách mà lan rộng. Nhờ đó, tên l'Hôpital đi cùng quy tắc này, dù không phải ông tìm ra nó. Tên ông cũng được viết là l'Hospital, nên đề thi và tài liệu có thể dùng một trong hai cách viết.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc L'Hospital cho giới hạn dạng vô địnhỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn phương pháp tính giới hạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc L'Hospital cho giới hạn dạng vô địnhỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn phương pháp tính giới hạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstdạng vô địnhindeterminate form đạo hàmderivative

Dẫn tớiLeads totích phân suy rộngimproper integral

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

quy tắc đạo hàm của thươngquotient rule

Khác nhau ở đâuHow they differQuy tắc L'Hôpital dùng để tính giới hạn của thương

f/g

bằng cách đạo hàm riêng tử và mẫu. Quy tắc đạo hàm của thương dùng để tính đạo hàm của

f/g

và cho ra một phân thức mới.

Hay nhầm khiMixed up whenThấy một thương hai hàm số nên đạo hàm cả thương theo công thức

\dfrac{f'g-fg'}{g^2}

thay vì lấy

\dfrac{f'}{g'}

; hoặc ngược lại, đem L'Hôpital vào bài đang yêu cầu tính đạo hàm.