AP Calculus BC

tổng riêngpartial sum

partial sumVietnamese: tổng riêng

Còn gọi:Also called: nth partial sum

Tổng riêng (partial sum) là tổng của k số hạng đầu tiên của một chuỗi vô hạn; dãy các tổng riêng quyết định chuỗi đó hội tụ hay phân kỳ.A partial sum is the sum of the first $k$ terms of an infinite series; whether the sequence of partial sums converges determines whether the series converges or diverges.

Trực giác: Như số tiền trong ống heo sau mỗi lần bỏ thêm hoặc rút bớt: ta hỏi số tiền có tiến dần tới một mức cố định không.Intuition: Think of the money in a piggy bank after each deposit or withdrawal: the question is whether the balance settles toward a fixed amount.

Công thức chínhKey formula

S_k=\sum_{n=1}^{k} a_n = a_1+a_2+\cdots+a_k

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tổng riêng $S_k$ của chuỗi $\sum a_n$ là tổng của $k$ số hạng đầu. Ta không cộng được vô hạn số hạng, nên cộng từng đoạn hữu hạn. Cho $k=1,2,3,\dots$ ta được dãy các tổng riêng.

Chuỗi hội tụ khi $\lim_{k\to\infty}S_k$ tồn tại và hữu hạn; giá trị đó là tổng của chuỗi. Nếu không, chuỗi phân kỳ. Chẳng hạn chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^n}$ có các tổng riêng $0{,}5;\ 0{,}75;\ 0{,}875;\dots$ tiến đến $1$ . Hiệu hai tổng riêng liên tiếp cho lại một số hạng: $a_k=S_k-S_{k-1}$ với $k\ge2$ .

The partial sum $S_k$ of the series $\sum a_n$ is the sum of its first $k$ terms. Since we cannot add infinitely many terms directly, we add finite pieces instead. Letting $k=1,2,3,\dots$ produces the sequence of partial sums.

The series converges if $\lim_{k\to\infty}S_k$ exists and is finite, and that limit is the sum of the series. Otherwise, the series diverges. For example, the series $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^n}$ has partial sums $0.5;\ 0.75;\ 0.875;\dots$ , which approach $1$ . The difference of two consecutive partial sums gives back a single term: $a_k=S_k-S_{k-1}$ for $k\ge2$ .

Ký hiệuNotation

• $S_k$ hoặc $s_n$ là tổng riêng thứ $k$ (thứ $n$ )
• $S_k=\sum_{n=1}^{k}a_n$
•tổng của chuỗi là $\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{k\to\infty}S_k$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{S_k}=\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-1}{\sum_{n=1}^{k}} a_n} = \htmlClass{fp-3}{a_1+a_2+\cdots+a_k}

Dùng để khảo sát chuỗi vô hạn: tính $S_1, S_2, S_3,\dots$ rồi xem chúng có tiến về một số cố định không.Use this to investigate an infinite series: compute $S_1, S_2, S_3,\dots$ and see whether they approach a fixed number.

Trong đóWhere

S_k

tổng riêng thứ

k

, tức tổng của

k

số hạng đầu tiên của chuỗi

a_n

số hạng thứ

n

của chuỗi

n

chỉ số chạy của số hạng, nhận các giá trị

1, 2, \dots, k

k

số lượng số hạng đầu được cộng, là số nguyên dương

\htmlClass{fp-0}{\sum_{n=1}^{\infty} a_n} = \htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-1}{\lim_{k\to\infty}} S_k}

Dùng để tìm tổng và xét hội tụ của chuỗi. Với $\sum \dfrac{1}{2^n}$ , $S_k=1-\dfrac{1}{2^k}\to1$ nên tổng bằng $1$ .Use this to find the sum of a series and determine whether it converges. For $\sum \dfrac{1}{2^n}$ , $S_k=1-\dfrac{1}{2^k}\to1$ , so the sum equals $1$ .

Trong đóWhere

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

tổng của chuỗi vô hạn, nếu giới hạn ở vế phải tồn tại và hữu hạn

S_k

tổng riêng thứ

k

của chuỗi

k

số số hạng đầu được cộng, cho tiến tới vô cùng

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Tổng riêng không phải là tổng của chuỗi.

$S_n$ chỉ cộng $n$ số hạng đầu nên luôn hữu hạn. Tổng của chuỗi, nếu có, là $\lim_{n\to\infty}S_n$ . Với $S_n=(-1)^{n+1}$ , dãy nhảy giữa $1$ và $-1$ nên không có giới hạn, chuỗi phân kỳ.

Công thức $a_n=S_n-S_{n-1}$ chỉ đúng từ $n\ge2$ .

Hiệu hai tổng riêng liên tiếp cho đúng một số hạng. Số hạng đầu là $a_1=S_1$ , phải tính riêng.

A partial sum is not the sum of the series.

$S_n$ adds only the first $n$ terms, so it is always finite, while the sum of the series, if it exists, is $\lim_{n\to\infty}S_n$ . For $S_n=(-1)^{n+1}$ , the sequence alternates between $1$ and $-1$ , so it has no limit and the series diverges.

The formula $a_n=S_n-S_{n-1}$ holds only for $n\ge2$ .

The difference of two consecutive partial sums gives exactly one term, but the first term, $a_1=S_1$ , must be found separately.

Mẹo phòng thiExam tips1 mẹo1 tip

Đề cho công thức $S_n$ thì tính ngay $\lim_{n\to\infty}S_n$ .

Giới hạn đó chính là tổng của chuỗi. Nếu giới hạn không tồn tại (như $S_n$ dao động) hoặc bằng vô cực, hãy ghi rõ và kết luận chuỗi phân kỳ.

When given a formula for $S_n$ , compute $\lim_{n\to\infty}S_n$ right away.

That limit is the sum of the series. If the limit does not exist (for example, $S_n$ oscillates) or is infinite, state this explicitly and conclude that the series diverges.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi vô hạn hội tụ và phân kỳDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi hình học: nhận diện và tính tổngDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstdãy sốsequence ký hiệu sigmasigma notation

Dẫn tớiLeads tochuỗi hình họcgeometric series cận sai số chuỗi đan dấualternating series error bound

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

dãy sốsequence

Khác nhau ở đâuHow they differDãy số liệt kê các số hạng

a_n

riêng lẻ. Tổng riêng cộng dồn các số hạng đó từ

a_1

đến

a_n

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi

\lim a_n

hay

\lim S_n

: giới hạn của số hạng bằng 0 chưa đủ để kết luận chuỗi hội tụ, vì chuỗi hội tụ phải xét giới hạn của

S_n

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 39, 740, 747.