AP Calculus BCAP Calculus AB

tổng hình thangtrapezoidal sum

trapezoidal sumVietnamese: tổng hình thang

Còn gọi:Also called: trapezoidal rule · trapezoidal approximation

Tổng hình thang (trapezoidal sum) là phép xấp xỉ tích phân xác định bằng tổng diện tích các hình thang dựng trên các khoảng chia nhỏ.The trapezoidal sum is an approximation of a definite integral by the total area of trapezoids built on the subintervals of a partition.

Trực giác: Thay vì lát vùng dưới đường cong bằng gạch chữ nhật mép răng cưa, ta lát gạch có mép trên vát nghiêng nên thường ôm sát đường cong hơn.Intuition: Instead of tiling the region under a curve with rectangles that leave jagged edges, you use tiles with slanted tops, which usually hug the curve more closely.

Công thức chínhKey formula

T_n=\frac{\Delta x}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tổng hình thang xấp xỉ $\int_a^b f(x)\,dx$ bằng cách chia $[a,b]$ thành $n$ đoạn nhỏ, với các điểm chia $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ . Trên mỗi đoạn, ta nối hai điểm của đồ thị bằng một đoạn thẳng rồi cộng diện tích các hình thang. Tổng này gọi là $T_n$ .

Nếu các đoạn bằng nhau thì $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ và $x_i=a+i\,\Delta x$ . Công thức thứ nhất chỉ dùng khi chia đều. Công thức dạng $\sum$ dùng được cả khi chia không đều. Ví dụ: $f(x)=x^2$ trên $[0;2]$ , $n=2$ cho $T_2=\frac12(0+2\cdot1+4)=3$ , còn tích phân bằng $\frac83$ .

The trapezoidal sum approximates $\int_a^b f(x)\,dx$ by splitting $[a,b]$ into $n$ subintervals with partition points $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ . On each subinterval, a straight segment joins the two corresponding points on the graph, and the areas of the resulting trapezoids are added. This sum is called $T_n$ .

If the subintervals have equal width, then $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ and $x_i=a+i\,\Delta x$ . The first formula applies only to equal subintervals, while the $\sum$ form also works for unequal ones. Example: for $f(x)=x^2$ on $[0;2]$ with $n=2$ , $T_2=\frac12(0+2\cdot1+4)=3$ , while the integral equals $\frac83$ .

Ký hiệuNotation

• $T_n$ (hoặc $T$ ) là tổng hình thang với $n$ khoảng con
• $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ là độ rộng mỗi khoảng
• $x_0=a,\ x_n=b$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

T_n=\htmlClass{fp-0}{\frac{\Delta x}{2}}\htmlClass{fp-4}{\left[\htmlClass{fp-1}{f(x_0)}+\htmlClass{fp-2}{2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})}+\htmlClass{fp-3}{f(x_n)}\right]}

Dùng khi chia $[a,b]$ thành $n$ đoạn bằng nhau để xấp xỉ tích phân. Lõm xuống thì $T_n$ nhỏ hơn; lõm lên thì $T_n$ lớn hơn.Use this when $[a,b]$ is divided into $n$ equal subintervals to approximate the integral. If the graph is concave down, $T_n$ underestimates the integral; if it is concave up, $T_n$ overestimates it.

Trong đóWhere

T_n

giá trị xấp xỉ của

\int_a^b f(x)\,dx

bằng

n

hình thang

\Delta x

độ rộng mỗi đoạn con,

\Delta x=\dfrac{b-a}{n}

n

số hình thang (số đoạn con)

x_i

các điểm chia,

x_i=a+i\,\Delta x

, với

x_0=a

và

x_n=b

f(x_i)

giá trị hàm tại điểm chia

x_i

, tức độ dài một đáy của hình thang

T=\htmlClass{fp-3}{\sum_{i=1}^{n}\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}}\,\htmlClass{fp-1}{(x_i-x_{i-1})}}}

Dùng khi các đoạn con có độ rộng không bằng nhau, như bảng giá trị có mốc $x$ tùy ý: tính từng hình thang rồi cộng lại.Use this when the subintervals have unequal widths, such as a table of values with arbitrary $x$ points: compute each trapezoid's area separately, then add them.

Trong đóWhere

T

giá trị xấp xỉ của

\int_a^b f(x)\,dx

bằng tổng hình thang

x_{i-1},\ x_i

hai đầu của đoạn con thứ

i

f(x_{i-1}),\ f(x_i)

giá trị hàm tại hai đầu đoạn con, tức độ dài hai đáy

n

số đoạn con

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Tổng hình thang không phải lúc nào cũng nhỏ hơn tích phân.

Lõm xuống thì $T_n$ nhỏ hơn, lõm lên thì $T_n$ lớn hơn. Cạnh nghiêng là đoạn thẳng nối hai điểm của đồ thị. Đoạn này nằm dưới đường cong khi lõm xuống và nằm trên khi lõm lên.

Dấu của $f'$ không quyết định tổng hình thang thừa hay thiếu.

$f'$ chỉ cho biết tổng trái và tổng phải lệch về phía nào. Hướng lệch của $T_n$ do dấu của $f''$ quyết định. Hàm đồng biến mà lõm xuống vẫn cho $T_n$ nhỏ hơn tích phân.

Tổng hình thang là trung bình cộng của tổng trái $L$ và tổng phải $R$ , không phải một trong hai tổng đó.

Với các đoạn chia đều, $T=\frac{L+R}{2}$ nên $T$ nằm giữa $L$ và $R$ . Hàm đồng biến và lõm xuống cho $L<T<\int_a^b f(x)\,dx<R$ .

The trapezoidal sum is not always less than the integral.

When the graph is concave down, $T_n$ underestimates the integral, and when it is concave up, $T_n$ overestimates it. The slanted side of each trapezoid is a chord joining two points on the graph, and a chord lies below the curve where it is concave down and above it where it is concave up.

The sign of $f'$ does not decide whether the trapezoidal sum overestimates or underestimates.

The sign of $f'$ only tells you which way the left and right sums are off, while the direction of the error in $T_n$ is set by the sign of $f''$ . An increasing function that is concave down still gives a $T_n$ smaller than the integral.

The trapezoidal sum is the average of the left sum $L$ and the right sum $R$ , not one of those two sums.

With equal subintervals, $T=\frac{L+R}{2}$ , so $T$ lies between $L$ and $R$ . For an increasing, concave-down function, $L<T<\int_a^b f(x)\,dx<R$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Nói thừa hay thiếu thì phải nêu lõm xuống hay lõm lên.

Mẫu: "Vì $f''<0$ , đồ thị lõm xuống, diện tích dưới đường cong lớn hơn tổng các hình thang, nên đây là ước lượng thiếu." Chỉ ghi "thiếu" thường mất điểm giải thích.

Với bảng có khoảng không đều, hãy viết từng số hạng trước khi bấm máy.

Mỗi số hạng có dạng (độ rộng) × (trung bình hai đáy). Không dùng công thức có $\Delta x$ chung. Viết đủ thì dù kết quả cuối sai, giám khảo vẫn chấm điểm cách làm.

To call an estimate an overestimate or underestimate, you must cite the concavity.

A model answer: "Since $f''<0$ , the graph is concave down, so the area under the curve is greater than the sum of the trapezoids, and this is an underestimate." Writing only "underestimate" usually loses the justification point.

For a table with unequal intervals, write out each term before using your calculator.

Each term has the form (width) × (average of the two bases), so do not use a formula with a single common $\Delta x$ . Showing every term earns method credit even if the final answer is wrong.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

khoảng năm 200 trước Công nguyên (dấu vết trên bảng đất sét Babylon)

Dấu vết của cách xấp xỉ bằng hình thang có trên các bảng đất sét Babylon khoảng năm 200 trước Công nguyên, dùng để dự đoán chuyển động của sao Mộc.

Traces of trapezoidal approximation appear on Babylonian clay tablets from about 200 BCE, where it was used to predict the motion of Jupiter.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi mô tả đúng hình dạng của các mảnh được cộng lại. Miền dưới đường cong được chia thành nhiều dải đứng, và ở mỗi dải, cung cong phía trên được thay bằng một đoạn thẳng nối hai đầu mút. Mỗi dải vì vậy là một hình thang (trapezoid) với hai cạnh song song là hai giá trị của hàm số ở hai đầu dải. "Tổng hình thang" nghĩa là tổng diện tích của các hình thang ấy. Cùng một ý đó, người ta cũng gọi phương pháp là quy tắc hình thang (trapezoidal rule) khi dùng nó để tính gần đúng tích phân, tức là tích phân số (numerical integration). Các dải không nhất thiết phải bằng nhau về bề rộng, nên tên gọi chỉ nói về hình dạng của mảnh, không đòi hỏi cách chia đều. Các nguồn đã đọc không cho biết ai là người đầu tiên đặt ra cái tên này.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo số mảnh — hình thang luôn nằm giữa tổng trái và tổng phải

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ diện tích bằng tổng RiemannTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ diện tích bằng tổng RiemannTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstphân hoạchpartition

Dẫn tớiLeads totích phân sốnumerical integration tích phân xác địnhdefinite integral

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tổng Riemann điểm giữamidpoint rule

Khác nhau ở đâuHow they differTổng hình thang dùng giá trị hàm ở hai đầu mỗi đoạn con để tạo hình thang. Tổng điểm giữa chỉ dùng giá trị hàm ở trung điểm để tạo hình chữ nhật.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề cho bảng giá trị có các mốc không cách đều, thí sinh hay áp dụng nhầm công thức điểm giữa. Với bảng như vậy chỉ tính được tổng hình thang, bằng cách cộng diện tích từng hình thang với độ rộng riêng.

tổng Riemann tráileft-endpoint approximation

Khác nhau ở đâuHow they differTổng hình thang lấy trung bình giá trị hàm ở hai đầu mỗi đoạn con. Tổng Riemann trái chỉ lấy giá trị ở đầu trái làm chiều cao hình chữ nhật.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi tính xấp xỉ từ bảng số liệu, thí sinh hay quên chia đôi tổng

f(x_{i-1})+f(x_i)

cho mỗi đoạn. Kết quả khi đó gấp đôi giá trị đúng của tổng hình thang.

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Học tiếp từ đâyKeep learning

Hay nhầm vớiOften confused with

Cùng chủ đềSame topic