AP Calculus BCAP Calculus AB

tổng Riemann tráileft-endpoint approximation

left-endpoint approximationVietnamese: tổng Riemann trái

Còn gọi:Also called: left Riemann sum · left sum

Tổng Riemann trái (left-endpoint approximation) là phép xấp xỉ diện tích dưới đường cong bằng các hình chữ nhật có chiều cao tại đầu mút trái.A left-endpoint approximation estimates the area under a curve using rectangles whose heights are the function values at the left endpoints of the subintervals.

Trực giác: Như xếp các tấm ván đứng cạnh nhau dưới đường cong, mỗi tấm cao bằng độ cao của đường cong tại mép trái của tấm đó.Intuition: Picture standing boards side by side under the curve, where each board is as tall as the curve at the board's left edge.

Công thức chínhKey formula

L_n=\sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\,\Delta x

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tổng Riemann trái $L_n$ chia $[a,b]$ thành $n$ khoảng con bằng nhau, rồi cộng diện tích các hình chữ nhật có chiều cao lấy tại đầu mút trái. Mỗi khoảng rộng $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ .

Ví dụ: với $f(x)=x$ trên $[0;2]$ và $n=2$ thì $\Delta x=1$ và $L_2=1\cdot[f(0)+f(1)]=1$ . Giá trị $f(b)$ không xuất hiện trong tổng. Nếu $f$ liên tục, $L_n$ tiến đến $\int_a^b f(x)\,dx$ khi $n$ càng lớn. Nếu $f$ đồng biến trên $[a,b]$ thì $L_n$ nhỏ hơn tích phân. Nếu $f$ nghịch biến trên $[a,b]$ thì $L_n$ lớn hơn.

A left-endpoint approximation $L_n$ divides $[a,b]$ into $n$ subintervals of equal width $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ and adds the areas of rectangles whose heights are taken at the left endpoint of each subinterval.

Example: for $f(x)=x$ on $[0,2]$ with $n=2$ , $\Delta x=1$ and $L_2=1\cdot[f(0)+f(1)]=1$ . The value $f(b)$ never appears in the sum. If $f$ is continuous, $L_n$ approaches $\int_a^b f(x)\,dx$ as $n$ gets larger. If $f$ is increasing on $[a,b]$ , $L_n$ is less than the integral; if $f$ is decreasing on $[a,b]$ , $L_n$ is greater than the integral.

Ký hiệuNotation

• $L_n$ hoặc $\text{LRAM}_n$ : tổng Riemann trái với $n$ khoảng con
• $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ : độ rộng mỗi khoảng
• $\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)\,\Delta x$ : dạng viết bằng ký hiệu sigma.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

L_n=\htmlClass{fp-3}{\sum_{i=1}^{n} \htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{f(x_{i-1})}\,\htmlClass{fp-1}{\Delta x}}}

Dùng để xấp xỉ diện tích dưới đồ thị hoặc $\int_a^b f(x)\,dx$ , nhất là khi đề cho bảng giá trị: đọc $f$ tại mốc trái mỗi đoạn.Use this to approximate the area under a graph or $\int_a^b f(x)\,dx$ , especially when a table of values is given: read $f$ at the left endpoint of each subinterval.

Trong đóWhere

L_n

giá trị xấp xỉ diện tích bằng tổng Riemann trái với

n

đoạn con

n

số đoạn con (cũng là số hình chữ nhật)

f(x_{i-1})

giá trị hàm tại đầu mút trái của đoạn con thứ

i

, dùng làm chiều cao hình chữ nhật

\Delta x

chiều rộng của mỗi đoạn con

\Delta x=\frac{b-a}{n},\qquad x_i=a+i\,\Delta x

Dùng để tìm độ rộng đoạn con và các mốc chia, từ đó xác định đầu mút trái $x_{i-1}$ của từng đoạn.Use this to find the width of each subinterval and the partition points, which then give the left endpoint $x_{i-1}$ of each subinterval.

Trong đóWhere

a,\ b

hai đầu mút của đoạn

[a,b]

cần tính diện tích

n

số đoạn con

x_i

mốc chia thứ

i

, với

x_0=a

và

x_n=b

\Delta x

chiều rộng mỗi đoạn con

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Tổng Riemann trái không phải lúc nào cũng ước lượng thiếu.

Chỉ khi $f$ đồng biến trên cả đoạn thì mới thiếu; nghịch biến thì thừa. Nếu $f$ tăng rồi giảm thì chưa kết luận được. Hãy xét dấu $f'(x)$ trên cả đoạn.

Tổng Riemann trái không dùng $f(b)$ .

Cộng từ $f(x_1)$ đến $f(x_n)$ là đã tính tổng phải. Với bảng giá trị, hãy bỏ dòng cuối trước khi cộng.

Khi các khoảng không đều, không có một $\Delta x$ chung.

Mỗi hình chữ nhật có diện tích riêng $f(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})$ , với $x_{i-1}$ và $x_i$ là hai mốc của khoảng đó. Tính từng khoảng rồi cộng lại.

A left-endpoint approximation is not always an underestimate.

It underestimates only when $f$ is increasing on the entire interval, and it overestimates when $f$ is decreasing. If $f$ increases and then decreases, you cannot draw a conclusion this way, so check the sign of $f'(x)$ across the whole interval.

A left-endpoint approximation does not use $f(b)$ .

Adding $f(x_1)$ through $f(x_n)$ gives the right-endpoint approximation instead. With a table of values, drop the last row before summing.

When the subintervals are unequal, there is no single common $\Delta x$ .

Each rectangle has its own area, $f(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})$ , where $x_{i-1}$ and $x_i$ are the endpoints of that subinterval. Compute each area separately, then add them.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết dòng khai triển tổng trước khi bấm máy.

Ví dụ $L_4=\Delta x\,[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)]$ . Giám khảo chấm bước lập biểu thức, nên bấm nhầm số vẫn giữ được điểm thiết lập.

Hỏi thiếu hay thừa thì phải nêu lý do bằng tính đơn điệu.

Viết như " $f$ is increasing on $[a,b]$ , so the left Riemann sum is an underestimate". Đáp án không có lý do thường không được điểm.

Write out the expanded sum before using your calculator.

For example, $L_4=\Delta x\,[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)]$ . Graders award points for setting up the expression, so you keep the setup credit even if you make an arithmetic slip.

When asked whether the approximation is an underestimate or an overestimate, justify your answer with monotonicity.

Write something like " $f$ is increasing on $[a,b]$ , so the left Riemann sum is an underestimate." An answer without a reason usually earns no credit.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo số mảnh n — hình chữ nhật mép trái ôm dần đường cong

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ diện tích bằng tổng RiemannTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ diện tích bằng tổng RiemannTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstphân hoạchpartition

Dẫn tớiLeads totích phân xác địnhdefinite integral

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tổng Riemann phải (right-endpoint approximation)right-endpoint approximation

Khác nhau ở đâuHow they differTổng Riemann trái lấy chiều cao hình chữ nhật tại mút trái của mỗi đoạn con. Tổng Riemann phải lấy chiều cao tại mút phải.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề cho bảng giá trị và hỏi ước lượng quãng đường hay diện tích, dễ dùng nhầm mút phải thay vì mút trái, hoặc không nhớ hàm đồng biến thì tổng trái nhỏ hơn giá trị thật.

tổng Riemann điểm giữa (midpoint rule)midpoint rule

Khác nhau ở đâuHow they differTổng Riemann trái lấy giá trị hàm tại mút trái của đoạn con. Quy tắc điểm giữa lấy giá trị tại trung điểm của đoạn con.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi bảng số liệu có các mốc cách đều, dễ lẫn giữa việc lấy giá trị đầu mỗi khoảng và lấy giá trị ở giữa khoảng.

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Học tiếp từ đâyKeep learning

Hay nhầm vớiOften confused with

Cùng chủ đềSame topic