AP Calculus BCAP Calculus AB

tổng RiemannRiemann sum

Riemann sumVietnamese: tổng Riemann

Tổng Riemann (Riemann sum) là tổng diện tích các hình chữ nhật mỏng dựng trên các đoạn con của đoạn [a, b], dùng để xấp xỉ diện tích dưới đồ thị hàm số.A Riemann sum is the total area of thin rectangles built on the subintervals of $[a, b]$ , used to approximate the area under the graph of a function.

Trực giác: Giống như lát gạch hình chữ nhật lên một mảnh sân có mép cong: gạch càng nhỏ thì phần hở hay phần thừa ở mép càng ít.Intuition: Imagine tiling a courtyard that has a curved edge with rectangular bricks: the smaller the bricks, the less gap or overhang remains along the edge.

Công thức chínhKey formula

S_n=\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tổng Riemann xấp xỉ diện tích dưới đồ thị bằng nhiều hình chữ nhật. Ta chia đoạn $[a,b]$ thành $n$ đoạn con. Trên mỗi đoạn con, ta chọn một điểm mẫu $x_i^*$ : mút trái, mút phải hoặc trung điểm. Hình chữ nhật có chiều cao $f(x_i^*)$ và chiều rộng bằng bề rộng đoạn con. Cộng $n$ diện tích lại ta được tổng Riemann.

Ví dụ: $f(x)=x$ trên $[0,2]$ , $n=2$ , mút phải. Mỗi đoạn rộng $1$ , nên tổng là $1\cdot 1+2\cdot 1=3$ . Khi $f$ liên tục và mọi đoạn con càng hẹp, tổng tiến tới $\int_a^b f(x)\,dx$ . Nếu chia không đều, cần đoạn rộng nhất tiến về $0$ , không chỉ $n\to\infty$ .

A Riemann sum approximates the area under a graph using many rectangles. Divide the interval $[a,b]$ into $n$ subintervals. On each subinterval, choose a sample point $x_i^*$ : the left endpoint, the right endpoint, or the midpoint. Each rectangle has height $f(x_i^*)$ and width equal to the width of its subinterval. Adding the $n$ rectangle areas gives the Riemann sum.

Example: let $f(x)=x$ on $[0,2]$ with $n=2$ and right endpoints. Each subinterval has width $1$ , so the sum is $1\cdot 1+2\cdot 1=3$ . When $f$ is continuous and every subinterval gets narrower, the sum approaches $\int_a^b f(x)\,dx$ . If the subintervals are unequal, the width of the widest one must approach $0$ ; having $n\to\infty$ alone is not enough.

Ký hiệuNotation

• $\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x$
• $L_n$ , $R_n$ , $M_n$ lần lượt là tổng trái, tổng phải, tổng điểm giữa với $n$ đoạn con.

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

S_n=\htmlClass{fp-3}{\sum_{i=1}^{n} \htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{f(x_i^*)}\,\htmlClass{fp-1}{\Delta x}}}

Dùng khi cần xấp xỉ diện tích dưới đồ thị hoặc giá trị tích phân xác định, nhất là khi đề chỉ cho bảng số liệu hay đồ thị.Use this to approximate the area under a graph or the value of a definite integral, especially when the problem gives only a table of data or a graph.

Trong đóWhere

S_n

tổng Riemann với

n

đoạn con, là giá trị xấp xỉ của diện tích

n

số đoạn con (số hình chữ nhật) mà đoạn

[a,b]

được chia ra

x_i^*

điểm mẫu được chọn trong đoạn con thứ

i

(đầu mút trái, đầu mút phải hoặc trung điểm)

f(x_i^*)

giá trị hàm tại điểm mẫu, dùng làm chiều cao của hình chữ nhật thứ

i

\Delta x

bề rộng của mỗi đoạn con

\Delta x=\dfrac{b-a}{n}

Dùng đầu tiên để tính bề rộng mỗi đoạn con khi chia đều $[a,b]$ thành $n$ phần, trước khi lập tổng.Use this first to find the width of each subinterval when $[a,b]$ is divided into $n$ equal parts, before setting up the sum.

Trong đóWhere

a,\ b

hai đầu mút của đoạn lấy tích phân

n

số đoạn con bằng nhau

\Delta x

độ dài mỗi đoạn con

\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x

Dùng khi cần định nghĩa tích phân xác định như giới hạn của tổng Riemann khi $n\to\infty$ .Use this to define the definite integral as the limit of Riemann sums as $n\to\infty$ .

Trong đóWhere

\int_a^b f(x)\,dx

tích phân xác định của

f

từ

a

đến

b

n\to\infty

số đoạn con tăng vô hạn, kéo theo

\Delta x\to 0

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Tổng phải không phải lúc nào cũng thừa.

Nếu $f$ đồng biến trên cả đoạn thì tổng phải thừa. Nếu $f$ nghịch biến thì tổng phải thiếu, vì mút phải cho giá trị nhỏ nhất trên mỗi đoạn con. Hàm không đơn điệu thì chưa kết luận được.

Tổng trung điểm không theo quy tắc đồng biến hay nghịch biến.

Dấu sai số phụ thuộc $f''$ . Nếu $f''<0$ trên cả đoạn thì tổng thừa, nếu $f''>0$ thì tổng thiếu. Đừng áp quy tắc của tổng trái và tổng phải cho tổng trung điểm.

Các đoạn con không phải lúc nào cũng bằng nhau.

Với bảng số liệu có mốc cách không đều, mỗi số hạng là $f(x_i)\cdot\Delta x_i$ , với $\Delta x_i$ là bề rộng đoạn con thứ $i$ . Nhân chung một $\Delta x$ sẽ ra kết quả sai.

A right Riemann sum is not always an overestimate.

If $f$ is increasing on the whole interval, it overestimates; if $f$ is decreasing, it underestimates, because the right endpoint gives the smallest value on each subinterval. If $f$ is not monotonic, no conclusion can be drawn.

The midpoint sum does not follow the increasing/decreasing rule.

The sign of its error depends on $f''$ : if $f''<0$ on the whole interval, it overestimates, and if $f''>0$ , it underestimates. Do not apply the left- and right-sum rules to the midpoint sum.

The subintervals are not always the same width.

For a table of data with unevenly spaced values, each term is $f(x_i)\cdot\Delta x_i$ , where $\Delta x_i$ is the width of the $i$ th subinterval. Multiplying everything by one common $\Delta x$ gives a wrong result.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Với bảng số liệu, hãy viết tổng cụ thể trước khi bấm máy, ví dụ $2\cdot f(4)+3\cdot f(7)+\dots$ .

Giám khảo AP chấm cách lập tổng. Chỉ ghi một số thập phân thì dễ mất điểm, nhất là khi số đó sai.

Đề hỏi tổng Riemann thừa hay thiếu thì phải nêu lý do.

Chỉ ghi kết luận thì thường mất điểm phần lý do. Hãy viết kiểu “ $f$ đồng biến nên tổng phải lớn hơn tích phân”. Với tổng trung điểm, lý do dựa vào dấu $f''$ .

For a table of data, write out the sum explicitly before using a calculator, for example $2\cdot f(4)+3\cdot f(7)+\dots$ .

AP graders score the setup of the sum. A lone decimal answer can lose credit, especially if the number is wrong.

When asked whether a Riemann sum is an overestimate or underestimate, always give a reason.

A conclusion alone usually loses the justification point. Write something like " $f$ is increasing, so the sum is greater than the integral." For a midpoint sum, base the reason on the sign of $f''$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

thế kỷ 19Bernhard Riemann

Tổng Riemann mang tên Bernhard Riemann, nhà toán học Đức thế kỷ 19, người dùng các tổng diện tích hình chữ nhật để định nghĩa tích phân một cách chặt chẽ.

The Riemann sum is named after Bernhard Riemann, a 19th-century German mathematician who used sums of rectangle areas to define the integral rigorously.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi gồm hai phần. Phần đầu là tên của Bernhard Riemann (1826–1866), nhà toán học người Đức từng học toán tại Đại học Göttingen. Ông là người định nghĩa tích phân Riemann (Riemann integral) thông qua các tổng này, nên về sau chúng được gọi theo tên ông. Phần sau là "tổng", vì diện tích gần đúng chính là kết quả của việc cộng diện tích các hình chữ nhật đã chia. Việc cắt miền thành những dải mỏng đã có từ thời Archimedes, nên cái tên này ghi nhận người đã biến cách làm cũ thành nền tảng của định nghĩa tích phân, chứ không phải người đầu tiên nghĩ ra việc cắt dải.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo số mảnh n, đổi trái–phải–hình thang — xem tổng thừa hay thiếu

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ diện tích bằng tổng RiemannTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ diện tích bằng tổng RiemannTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstphân hoạchpartition ký hiệu sigmasigma notation

Dẫn tớiLeads totích phân xác địnhdefinite integral tích phân sốnumerical integration

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tích phân xác định (definite integral)definite integral

Khác nhau ở đâuHow they differTổng Riemann là một giá trị xấp xỉ, tính được bằng hữu hạn hình chữ nhật. Tích phân xác định là giới hạn của các tổng ấy, nên cho giá trị chính xác.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho bảng số liệu và yêu cầu ước lượng bằng một số hình chữ nhật hữu hạn thì đó là tổng Riemann, không phải giá trị đúng của tích phân.

tổng hình thang (trapezoidal sum)trapezoidal sum

Khác nhau ở đâuHow they differTổng Riemann dùng hình chữ nhật với chiều cao lấy tại một điểm của mỗi đoạn con. Tổng hình thang dùng hình thang nối hai đầu mút nên thường sát hơn.

Hay nhầm khiMixed up whenBảng số liệu có các khoảng chia không đều: tổng hình thang cộng diện tích từng hình thang, còn tổng Riemann nhân chiều cao với độ rộng từng đoạn.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 18, 417, 454.