AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm dưới dấu tích phânintegrand

integrandVietnamese: hàm dưới dấu tích phân

Hàm dưới dấu tích phân (integrand) là hàm số nằm giữa dấu tích phân và dx, tức là hàm mà ta đem đi lấy tích phân.The integrand is the function between the integral sign and $dx$ , that is, the function being integrated.

Trực giác: Như nguyên liệu bỏ vào máy xay: máy là phép tích phân, nguyên liệu là hàm. Đổi nguyên liệu thì thành phẩm đổi theo.Intuition: Think of a blender: the integral is the machine and the integrand is what you put in. Change the ingredients and the result changes with them.

Công thức chínhKey formula

\int_a^b f(x)\,dx

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm dưới dấu tích phân (integrand) là hàm số nằm giữa dấu $\int$ và $dx$ . Đó là hàm mà ta đem đi tích phân. Trong $\int_1^2 3x^2\,dx$ , hàm dưới dấu tích phân là $3x^2$ .

Hai cận $1$ và $2$ không thuộc hàm này. Chúng chỉ cho biết lấy tích phân trên đoạn nào. Chữ đứng sau $d$ chỉ là tên biến, nên $\int_1^2 3x^2\,dx=\int_1^2 3t^2\,dt=7$ .

The integrand is the function that sits between the $\int$ sign and $dx$ . It is the function being integrated. In $\int_1^2 3x^2\,dx$ , the integrand is $3x^2$ .

The limits $1$ and $2$ are not part of the integrand; they only specify the interval of integration. The letter after $d$ is just the name of the variable, so $\int_1^2 3x^2\,dx=\int_1^2 3t^2\,dt=7$ .

Ký hiệuNotation

•Trong $\int_a^b f(x)\,dx$ , hàm dưới dấu tích phân là $f(x)$
• $a$ , $b$ là các cận, dx cho biết biến lấy tích phân. Với tích phân bất định, ta viết $\int f(x)\,dx$ .

Đơn vịUnitsĐơn vị của hàm dưới dấu tích phân nhân với đơn vị của biến lấy tích phân (ví dụ lít/phút nhân phút cho ra lít).

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{\int_a^b} \htmlClass{fp-1}{f(x)}\,\htmlClass{fp-2}{dx}

Dùng để xác định $f(x)$ là hàm dưới dấu tích phân, rồi rút gọn nó trước khi tìm nguyên hàm.Use this to identify $f(x)$ as the integrand, then simplify it before finding an antiderivative.

Trong đóWhere

f(x)

hàm dưới dấu tích phân, tức hàm số được lấy tích phân

x

biến lấy tích phân; có thể thay bằng chữ khác như

t

hay

r

mà giá trị tích phân không đổi

a

cận dưới của tích phân

b

cận trên của tích phân

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Hàm dưới dấu tích phân không phải kết quả của phép tích phân.

Nó là $f(x)$ , thứ ta đem đi tích phân. Kết quả là nguyên hàm $F(x)$ (với $F'(x)=f(x)$ ) hoặc một con số.

Đổi biến xong, hàm dưới dấu tích phân mới phải kèm nhân tử từ $dx$ .

Chỉ thay $x$ trong hàm cũ là chưa đủ. Với $x=\sin^2 y$ thì $dx=2\sin y\cos y\,dy$ . Thiếu nhân tử này thì hàm mới sai.

The integrand is not the result of integration.

It is $f(x)$ , the function you integrate. The result is an antiderivative $F(x)$ (where $F'(x)=f(x)$ ) or a number.

After a change of variable, the new integrand must include the factor from $dx$ .

Substituting for $x$ in the old function is not enough. For $x=\sin^2 y$ , $dx=2\sin y\cos y\,dy$ , and leaving out this factor makes the new integrand wrong.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi đổi biến, viết riêng dòng tính vi phân trước khi thay vào.

Ví dụ đặt $u=x^2$ thì viết $du=2x\,dx$ . Bài tự luận AP chấm theo từng bước, nên thiếu dòng này dễ mất điểm bước thay.

Với tích phân xác định, hãy tính số cả tích phân gốc lẫn tích phân sau đổi biến.

Hai giá trị phải bằng nhau. Nếu lệch, thường là bạn quên nhân tử của $dx$ hoặc chưa đổi cận.

When you use substitution, write the differential on its own line before substituting.

For example, if $u=x^2$ , write $du=2x\,dx$ . AP free-response questions are scored step by step, so skipping this line can cost you the substitution point.

For a definite integral, evaluate both the original integral and the substituted integral numerically.

The two values must be equal. If they differ, you most likely forgot the factor from $dx$ or did not change the limits.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNguyên hàm & tích phân bất định: quy tắc cơ bản và ký hiệuTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNguyên hàm & tích phân bất định: quy tắc cơ bản và ký hiệuTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction cận tích phânlimits of integration

Dẫn tớiLeads totích phân xác địnhdefinite integral phương pháp đổi biến sốintegration by substitution

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

nguyên hàmantiderivative

Khác nhau ở đâuHow they differHàm dưới dấu tích phân

f(x)

là hàm được đem đi lấy tích phân. Nguyên hàm

F(x)

là hàm có đạo hàm bằng

f(x)

, tức kết quả của việc lấy tích phân bất định.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho đồ thị của

f

rồi hỏi về

F

hoặc ngược lại, như hàm tích luỹ

g(x)=\int_a^x f(t)\,dt

f

là hàm dưới dấu tích phân còn

g

là nguyên hàm, nên

g'(x)=f(x)

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 411, 433, 437.