AP Calculus BCAP Calculus AB

nguyên hàmantiderivative

antiderivativeVietnamese: nguyên hàm

Nguyên hàm (antiderivative) là hàm số F có đạo hàm bằng f trên một khoảng, và hai nguyên hàm của f chỉ khác nhau một hằng số.An antiderivative of $f$ is a function $F$ whose derivative equals $f$ on an interval; any two antiderivatives of $f$ differ only by a constant.

Trực giác: Biết đồng hồ tốc độ ghi gì suốt chuyến đi, nguyên hàm giúp dựng lại quãng đường đã đi, chỉ còn thiếu điểm xuất phát.Intuition: If you know what the speedometer read throughout a trip, an antiderivative lets you reconstruct the distance traveled, except for the starting point.

Công thức chínhKey formula

F'(x)=f(x)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Nguyên hàm là kết quả của phép ngược với lấy đạo hàm. Hàm $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên một khoảng nếu $F'(x)=f(x)$ với mọi $x$ trong khoảng đó. Ví dụ, $(x^2)'=2x$ nên $x^2$ là một nguyên hàm của $2x$ .

Đạo hàm của hằng số bằng $0$ . Vì vậy $F(x)+C$ cũng là nguyên hàm, với $C$ là hằng số bất kỳ. Ta viết $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ và gọi là tích phân bất định. Điều kiện ban đầu, như $F(0)=4$ , giúp tìm $C$ . Nếu $f$ liên tục trên $[a,b]$ và $F$ là một nguyên hàm của $f$ thì $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ . Hằng số $C$ bị triệt tiêu khi trừ.

An antiderivative is the result of reversing differentiation. A function $F$ is an antiderivative of $f$ on an interval if $F'(x)=f(x)$ for every $x$ in that interval. For example, $(x^2)'=2x$ , so $x^2$ is an antiderivative of $2x$ .

The derivative of a constant is $0$ , so $F(x)+C$ is also an antiderivative for any constant $C$ . We write $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ and call this the indefinite integral. An initial condition, such as $F(0)=4$ , lets us solve for $C$ . If $f$ is continuous on $[a,b]$ and $F$ is an antiderivative of $f$ , then $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ . The constant $C$ cancels in the subtraction.

Ký hiệuNotation

• $\int f(x)\,dx = F(x)+C$
• $F'(x)=f(x)$
• $\left. F(x)\right|_a^b = F(b)-F(a)$

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

F'(x)=f(x)

Kiểm tra một hàm có phải nguyên hàm của $f$ không: lấy đạo hàm của nó rồi so với $f$ .To check whether a function is an antiderivative of $f$ , differentiate it and compare the result with $f$ .

Trong đóWhere

F(x)

nguyên hàm cần tìm hoặc cần kiểm tra

F'(x)

đạo hàm của

F

tại

x

f(x)

hàm số cho trước, cần tìm nguyên hàm của nó

\int x^n\,dx=\htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{x^{n+1}}}{n+1}}\htmlClass{fp-2}{+C},\quad \htmlClass{fp-3}{n\neq -1}

Tìm nguyên hàm từng số hạng của hàm lũy thừa, tức đa thức, với $n\neq -1$ .Find the antiderivative of a power function, and so of a polynomial, term by term, with $n\neq -1$ .

Trong đóWhere

n

số mũ của

x

, là số thực khác

-1

C

hằng số tùy ý

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)

Tính tích phân xác định của $f$ liên tục trên $[a,b]$ khi đã biết một nguyên hàm $F$ ; hằng số $C$ triệt tiêu.Evaluate the definite integral of a function $f$ that is continuous on $[a,b]$ once you know an antiderivative $F$ ; the constant $C$ cancels.

Trong đóWhere

f(x)

hàm liên tục trên

[a,b]

F(x)

một nguyên hàm bất kỳ của

f

a,\ b

cận dưới và cận trên của tích phân

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Mỗi hàm có vô số nguyên hàm, không chỉ một.

Cộng thêm hằng số vẫn được nguyên hàm khác. Ví dụ $x^2$ và $x^2+5$ đều là nguyên hàm của $2x$ , vì cùng có đạo hàm $2x$ .

Không phải nguyên hàm nào cũng có công thức quen thuộc.

Hàm $\sqrt{1+x^3}$ là ví dụ: nó liên tục nên có nguyên hàm, nhưng không viết được bằng các hàm sơ cấp. Đừng cố đoán công thức cho nguyên hàm đó.

A function has infinitely many antiderivatives, not just one.

Adding a constant always produces another antiderivative. For example, $x^2$ and $x^2+5$ are both antiderivatives of $2x$ , because both have derivative $2x$ .

Not every antiderivative has a familiar closed-form formula.

The function $\sqrt{1+x^3}$ is an example: it is continuous, so it has an antiderivative, but that antiderivative cannot be written using elementary functions. Do not try to guess a formula for it.

Mẹo phòng thiExam tips3 mẹo3 tips

Tìm nguyên hàm không cận thì viết $+C$ , rồi dùng điều kiện ban đầu tính $C$ .

Thiếu $+C$ ở phần tự luận thường mất điểm.

Hỏi hàm nào là nguyên hàm của $f$ , hãy lấy đạo hàm từng đáp án.

Đáp án đúng là hàm có đạo hàm bằng $f(x)$ . Với $f(x)=\sqrt{1+x^3}$ , hàm $\int_a^x\sqrt{1+t^3}\,dt$ có đạo hàm $\sqrt{1+x^3}$ theo Định lý cơ bản.

Nếu cận trên là $x^2$ thì hàm đó không phải nguyên hàm của $f$ .

Đạo hàm của nó là $f(x^2)\cdot 2x$ , theo quy tắc đạo hàm hàm hợp.

For an indefinite antiderivative, always write $+C$ , then use the initial condition to find $C$ .

Leaving out $+C$ on a free-response question usually costs a point.

To decide which function is an antiderivative of $f$ , differentiate each answer choice.

The correct choice is the one whose derivative equals $f(x)$ . For $f(x)=\sqrt{1+x^3}$ , the function $\int_a^x\sqrt{1+t^3}\,dt$ has derivative $\sqrt{1+x^3}$ by the Fundamental Theorem of Calculus.

If the upper limit is $x^2$ , the function is not an antiderivative of $f$ .

Its derivative is $f(x^2)\cdot 2x$ by the chain rule.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

Cuối thế kỷ 17, Newton và Leibniz độc lập xây dựng giải tích đầy đủ; khi cần tính tích phân, nguyên hàm trở thành công cụ trung tâm.

In the late 17th century, Newton and Leibniz independently developed calculus in full; once integrals needed to be evaluated, the antiderivative became a central tool.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên "antiderivative" ghép tiền tố "anti-" (ngược lại) với "derivative" (đạo hàm). Cái tên nói thẳng việc nó làm: đi ngược lại phép lấy đạo hàm. Cách định nghĩa $F' = f$ cho thấy rõ điều này, vì ta biết đạo hàm $f$ rồi đi tìm hàm $F$ đã sinh ra nó. Phép tìm nguyên hàm vì vậy được gọi là phép lấy nguyên hàm (antidifferentiation), và đối lập của nó là phép lấy đạo hàm. Một hàm có nhiều tên gọi khác nhau trong tài liệu, như hàm nguyên thủy (primitive function) hay tích phân bất định (indefinite integral). Cách gọi sau gắn nguyên hàm với tích phân thông qua định lý cơ bản thứ hai của giải tích (second fundamental theorem of calculus). Các nguồn đã đọc không nói ai đặt ra tên "antiderivative" hay vào năm nào, nên không thể khẳng định thêm về xuất xứ của riêng từ này.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo điểm đầu — đường nguyên hàm trượt lên xuống, hình dạng không đổi

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNguyên hàm & tích phân bất định: quy tắc cơ bản và ký hiệuTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích & tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn kỹ thuật tìm nguyên hàmTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNguyên hàm & tích phân bất định: quy tắc cơ bản và ký hiệuTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích & tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn kỹ thuật tìm nguyên hàmTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Dẫn tớiLeads tođịnh lý cơ bản của giải tíchfundamental theorem of calculus bài toán giá trị ban đầuinitial value problem phương pháp đổi biến sốintegration by substitution

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tích phân xác địnhdefinite integral

Khác nhau ở đâuHow they differNguyên hàm là một họ hàm số có dạng

F(x)+C

. Tích phân xác định

\int_a^b f(x)\,dx

là một con số, bằng diện tích có dấu dưới đồ thị.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi "tìm

\int f(x)\,dx

" thì đáp án là hàm số kèm

+C

, còn có cận

a,b

thì đáp án là một số và không có

C

đạo hàmderivative

Khác nhau ở đâuHow they differĐạo hàm biến

F

thành

f=F'

và cho kết quả duy nhất. Lấy nguyên hàm làm ngược lại, đi từ

f

về

F

và cho cả một họ hàm sai khác hằng số.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề cho

f'(x)

và một điều kiện đầu, thí sinh cần lấy nguyên hàm chứ không lấy đạo hàm thêm lần nữa.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 6, 388, 437.