AP Calculus BCAP Calculus AB

định lý cơ bản của giải tíchfundamental theorem of calculus

fundamental theorem of calculusVietnamese: định lý cơ bản của giải tích

Còn gọi:Also called: fundamental theorem of calculus, part 1 · fundamental theorem of calculus, part 2

Định lý cơ bản của giải tích (fundamental theorem of calculus) là định lý nối đạo hàm với tích phân xác định, cho thấy hai phép toán ngược nhau.The fundamental theorem of calculus connects differentiation with definite integration and shows that the two operations are inverses of each other.

Trực giác: Ống heo: cộng tiền bỏ vào mỗi ngày ra số tiền tăng cả tháng. Ngược lại, số dư tăng nhanh hay chậm cho biết mỗi ngày bỏ bao nhiêu.Intuition: Think of a piggy bank: adding up the money deposited each day gives the total increase over the month. Conversely, how quickly the balance grows shows how much is being deposited each day.

Công thức chínhKey formula

\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Định lý cơ bản của giải tích (fundamental theorem of calculus) nối đạo hàm với tích phân: hai phép này ngược nhau. Cả hai phần đều cần $f$ liên tục trên đoạn $[a,b]$ . Phần 1: đặt $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ , là diện tích tính từ $a$ đến $x$ . Khi đó $g'(x)=f(x)$ , nên $g$ là một nguyên hàm của $f$ . Phần 2: nếu $F$ là một nguyên hàm bất kỳ của $f$ thì $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ . Nhờ vậy không cần tính giới hạn của tổng các hình chữ nhật.

Nếu $f$ không liên tục trên đoạn, ví dụ không xác định tại một điểm trong đoạn, thì không được áp dụng máy móc.

The fundamental theorem of calculus links derivatives and integrals: the two operations undo each other. Both parts require $f$ to be continuous on the interval $[a,b]$ . Part 1: define $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ , the area accumulated from $a$ to $x$ . Then $g'(x)=f(x)$ , so $g$ is an antiderivative of $f$ . Part 2: if $F$ is any antiderivative of $f$ , then $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ . As a result, there is no need to take the limit of a sum of rectangles.

If $f$ is not continuous on the interval, for example if it is undefined at a point inside the interval, the theorem cannot be applied mechanically.

Ký hiệuNotation

• $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ là hàm tích lũy
• $g'(x)=f(x)$ (FTC1)
• $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ với $F'=f$ (FTC2)
•cũng viết $F(x)\Big|_a^b$ cho hiệu $F(b)-F(a)$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{\int_a^b f(x)\,dx} = \htmlClass{fp-3}{\htmlClass{fp-1}{F(b)}-\htmlClass{fp-2}{F(a)}}

Dùng khi $f$ liên tục trên $[a,b]$ và biết nguyên hàm $F$ : lấy $F$ tại hai đầu mút trừ nhau, không cần giới hạn tổng Riemann.Use this when $f$ is continuous on $[a,b]$ and an antiderivative $F$ is known: subtract the values of $F$ at the two endpoints, with no need to take a limit of Riemann sums.

Trong đóWhere

f

hàm dưới dấu tích phân, liên tục trên

[a,b]

F

một nguyên hàm bất kì của

f

, tức

F'(x)=f(x)

a,\ b

cận dưới và cận trên của đoạn lấy tích phân

\htmlClass{fp-1}{\dfrac{d}{dx}\htmlClass{fp-0}{\int_a^x f(t)\,dt}} = \htmlClass{fp-2}{f(x)}

Phần 1, khi $f$ liên tục: cận trên là $x$ thì đạo hàm là $f(x)$ ; cận trên là $u(x)$ thì nhân thêm $u'(x)$ .Part 1, when $f$ is continuous: if the upper limit is $x$ , the derivative is $f(x)$ ; if the upper limit is $u(x)$ , multiply by an extra factor of $u'(x)$ .

Trong đóWhere

f

hàm liên tục trên đoạn đang xét

t

biến chạy trong tích phân, chỉ là biến giả

x

cận trên biến thiên của tích phân

a

cận dưới cố định

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Đạo hàm của $\int_a^x f(t)\,dt$ là $f(x)$ , không phải chính tích phân đó.

Tích phân này là diện tích tích lũy, còn $f(x)$ là tốc độ tăng của diện tích. Hỏi đạo hàm thì thay cận vào $f$ . Hỏi giá trị tích phân thì phải tìm nguyên hàm.

Cận trên là $u(x)$ thì phải nhân thêm $u'(x)$ .

Cận dưới là $x$ thì phải đổi dấu. Đây là đạo hàm hàm hợp: $\dfrac{d}{dx}\int_1^{x^2}\sin t\,dt=2x\sin(x^2)$ . Còn $\dfrac{d}{dx}\int_x^b f(t)\,dt=-f(x)$ , vì đổi chỗ hai cận thì tích phân đổi dấu.

Phải kiểm tra $f$ liên tục trên cả $[a,b]$ trước khi thay cận.

Với $\int_{-1}^{1}\dfrac{1}{x^2}\,dx$ , hàm không xác định tại $x=0$ . Thay cận vào $-\dfrac1x$ ra $-2$ , vô lý vì hàm luôn dương.

The derivative of $\int_a^x f(t)\,dt$ is $f(x)$ , not the integral itself.

The integral is the accumulated area, and $f(x)$ is the rate at which that area grows. To find the derivative, substitute the upper limit into $f$ ; to find the value of the integral, you must find an antiderivative.

If the upper limit is $u(x)$ , multiply by $u'(x)$ ; if the lower limit is $x$ , change the sign.

This is the chain rule at work: $\dfrac{d}{dx}\int_1^{x^2}\sin t\,dt=2x\sin(x^2)$ . Likewise, $\dfrac{d}{dx}\int_x^b f(t)\,dt=-f(x)$ , because swapping the two limits reverses the sign of the integral.

Check that $f$ is continuous on all of $[a,b]$ before substituting the limits.

For $\int_{-1}^{1}\dfrac{1}{x^2}\,dx$ , the function is undefined at $x=0$ . Substituting the limits into $-\dfrac1x$ gives $-2$ , which is impossible because the function is always positive.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết rõ nguyên hàm và bước $F(b)-F(a)$ trước khi ra số, với $F$ là một nguyên hàm của $f$ .

Bài tự luận thường chấm theo từng bước, nên ghi đủ bước để không mất điểm. Câu được dùng máy tính vẫn ghi $\int_a^b f(x)\,dx$ trước giá trị số.

Cho đồ thị của $f$ , hãy suy ra tính chất của $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ qua $g'=f$ và nêu rõ lý do.

Nếu $f>0$ thì $g$ đồng biến, nếu $f<0$ thì $g$ nghịch biến. Viết như “ $g'(x)=f(x)$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=c$ nên $g$ đạt cực tiểu tại $c$ ”. Đổi dấu từ dương sang âm thì là cực đại.

Write out the antiderivative and the step $F(b)-F(a)$ before giving a number, where $F$ is an antiderivative of $f$ .

Free-response problems are usually scored step by step, so showing every step protects your points. Even when a calculator is allowed, write $\int_a^b f(x)\,dx$ before the numerical value.

Given the graph of $f$ , use $g'=f$ to deduce properties of $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ , and state your reason.

If $f>0$ , then $g$ is increasing; if $f<0$ , then $g$ is decreasing. Write something like " $g'(x)=f(x)$ changes sign from negative to positive at $x=c$ , so $g$ has a minimum at $c$ ." A sign change from positive to negative gives a maximum.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

khoảng 1670 (nội dung); 1907 (tên gọi được phổ biến trong tiếng Anh)James GregoryIsaac BarrowIsaac NewtonGottfried Wilhelm LeibnizErnest W. Hobson

Khoảng năm 1670, Barrow và Gregory chứng minh dạng đầu tiên của phần hai, cho thấy đạo hàm và tích phân liên quan chặt chẽ với nhau.

Around 1670, Barrow and Gregory proved the first form of Part 2, showing that derivatives and integrals are closely related.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "cơ bản" (fundamental) phản ánh vị trí trung tâm của định lý: chính cái tên đã cho thấy định lý này quan trọng thế nào đối với toàn bộ sự phát triển của giải tích. Tuy vậy, tên gọi này không có ngay từ đầu. Cụm từ "định lý cơ bản" được Ernest W. Hobson phổ biến trong tiếng Anh vào năm 1907, khi ông viết sách để đưa các thành tựu mới của giải tích thực đến với giới toán học nói tiếng Anh. Trong nhiều năm sau đó, nhiều giáo trình vẫn gọi đầy đủ là "định lý cơ bản của giải tích tích phân" (Fundamental Theorem of Integral Calculus), có sách dùng đến tận năm 1968. Chỉ đến khoảng thập niên 1950, các tác giả mới bắt đầu bỏ chữ "tích phân" và gọi gọn như ngày nay. Ví dụ sớm nhất mà nguồn tìm được là một giáo trình xuất bản năm 1954.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích và hàm tích lũyTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích & tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích và hàm tích lũyTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích & tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstnguyên hàmantiderivative

Dẫn tớiLeads tođịnh lý biến thiên ròngnet change theorem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tích phân bất địnhindefinite integral

Khác nhau ở đâuHow they differTích phân bất định cho ra cả một họ nguyên hàm có thêm hằng số

C

. Định lý cơ bản của giải tích nối họ nguyên hàm đó với tích phân xác định, vốn là một con số.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi tính

\int_a^b f(x)\,dx

thí sinh hay thêm

+C

vào kết quả, hoặc bỏ cận khi đã tìm được nguyên hàm.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 7, 424, 428.